第六章6.1Kuhn- Tucker条件 不等式约束问题的 Khun-Tucker条件:(续) 可能的KT点出现在下列情况: ①两约束曲线的交点:g1与g2g1与g3:g1与g42与g3g2与gn3与 ②目标函数与一条曲线相交的情况:g1,g28g4 对每一个情况求得满足(1)(6)的点(x1x2)及乘子uu2m2,验 证当满足可得,且u≥0时,即为一个KT点。 下面举几个情况: ●g与g2交点:x=(2,1)∈S,={1,2}则3==0解 ∫2(x1-3)+242x1+22=0 12(x2-2)+2u1x2+2u2=0 得 0 3 3 故x=(2,1)是K-T点
第六章 6.1 Kuhn-Tucker 条件 二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件：（续） 可能的K-T点出现在下列情况： ①两约束曲线的交点：g1与g2 ,g1与g3 ,g1与g4 ,g2与g3 ,g2与g4 ,g3与 g4。 ②目标函数与一条曲线相交的情况： g1，g2 , g3 , g4 对每一个情况求得满足(1)~(6)的点(x1 ,x2 ) T及乘子u1 ,u2 ,u3 ,u4 ,验 证当满足可得，且ui≥ 0时，即为一个K-T点。 下面举几个情况： ● g1与g2交点：x=(2,1)T∈S ,I={1,2} 则u3=u4=0 解 故 是 点。 得 x K T u u x u x u x u x u T = − = = − + + = − + + = (2,1) 0 3 2 , 3 1 2( 2) 2 2 0 2( 3) 2 0 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2
第六章61Kuhn- Tucker条件 二、不等式约束问题的Khun- Tucker条件:(续) g1与83交点x+x2-5=0 得x=(0 0,√5)=S,故不是K-T点; (0,√5)≤S,不满足g2≤0,故不是K-7点 8384交点:x=(00)∈S={34故1=2=0 解 ∫20-3)- 0修 6<0,u4=-4<0 2(0-2)-u4=0 故非K一T点
第六章 6.1 Kuhn-Tucker 条件 二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件：（续） ● ● 不满足 故不是 点。 故不是 点； 与 交点： 得 S g K T S K T x x x x g g T T T − − − = = + − = (0, 5) , 0, (0, 5) , (0, 5) 0 5 0 2 1 2 2 2 1 1 3 . 6 0, 4 0 2(0 2) 0 2(0 3) 0 , : (0,0) {3,4} 0 3 4 4 3 3 4 1 2 故非 点 解 得 交点 故 K T u u u u g g x S I u u T − = − = − − − = − − = = = = =
第六章6.1Kuhn- Tucker条件 不等式约束问题的 Khun-Tucker条件:(续) 目标函数f(x)与g1(x)=0相切的情况: I={1},则 0 3)+2x1 2(x1-3) =0 解2(x2-2)+2x41=0得(骨,土)S 5=0 故均不是K-7点g2(x,x2)=√+2僧-4=7-4=034>0
第六章 6.1 Kuhn-Tucker 条件 二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件：（续） ● ( , ) 2 4 7 4 0.34 0 ( , ) 5 0 2( 2) 2 0 2( 3) 2 0 {1} , 0 ( ) ( ) 0 1 3 5 1 3 2 0 1 3 4 5 2 1 2 1 3 2 0 1 3 4 5 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 3 4 1 − = + − = − = + − = − + = − + = = = = = = K T g x x S x x x x u x x u I u u u f x g x 故均不是 点 解 得 则 目标函数 与 相切的情况：
第六章61Kuhn- Tucker条件 一般约束问题的Kuhn- Tucker条件 min f(x) (gb)s.g,(x)≤01=1,2…,m h,、(x)=0j=1,2,…, 定理:问题(gh,x∈S={xg(x)≤0,h(x)=0},为起作用集。 设g(x)(i∈1)在x可微,g(x)i1)在x连续,h,(=1,2 在x的某邻域内连续可微。(CQ约束规格)。 向量组…,Vg(x^i∈D)…,Vh(x)…Vh(x')线性无关
第六章 6.1 Kuhn-Tucker 条件 三、一般约束问题的Kuhn-Tucker 条件 向量组 ， 线性无关。 在 的某邻域内连续可微。（ 约束规格）。 设 在 可微 在 连续， ，（ ） 定理： 问题 ， 为起作用集。 { ( )( ), , ( ), , ( )} , ( )( ) , ( )( ) 1,2, , ( ) { | ( ) 0, ( ) 0} , ( ) 0 1,2, , . . ( ) 0 1,2, , min ( ) ( ) 1 = = = = = = g x i I h x h x x C Q g x i I x g x i I x h j l fgh x S x g x h x I h x j l st g x i m f x fgh i l i i j j i