C,R u(+ R 0.368-(t1)+ + t RC电路零输入响应的变化曲线 (a)uc、lg的变化曲线(b)的变化曲线 从理论上讲,换路后的电路一般需要经过无限长的时间(t->∞) 到稳定状态。但是,由于指数函数Ae-开始衰减较快,往后逐渐馮 际上经过4x~5x的时间,就可以认为电路达到了稳定状态
从理论上讲，换路后的电路一般需要经过无限长的时间（t → ）才能达 到稳定状态。但是，由于指数函数 t Ae− 开始衰减较快，往后逐渐减慢，实 际上经过 4 ～5 的时间，就可以认为电路达到了稳定状态。 RC电路零输入响应的变化曲线 (a)uC、uR的变化曲线 (b)i的变化曲线
【例7一3】在图(a)所示电路中,开关S打开前电路已处于稳态,在t=0 时,将S打开。试求t>0时的电压c和电流,并作出它们随时间变化的曲线。 解法一: 3gS(t=0) (1)根据换路定律,确定电路的初始条件。根据换 路前的电路,计算出电容元件电压在t0时的值为 12V c20 2 lc(0)= 12=3 3+-×2 (a)原始电路 开关S打开时,根据换路定律,电容元件电压的 初始值为 lC(0)=l(0)=3V 2叫2F 十 (2)根据基尔霍夫定律和元件的伏安关系,列 写出描述换路后的电路的微分方程。 (b)换路后的 0 动态电路
解法一： （1）根据换路定律，确定电路的初始条件。根据换 路前的电路，计算出电容元件电压在t=0-时的值为 uC 12 V 3 V 2 2 1 3 2 2 1 (0 ) = + − = 开关S打开时，根据换路定律，电容元件电压的 初始值为 uC (0+ ) = uC (0− ) = 3 V （2）根据基尔霍夫定律和元件的伏安关系，列 写出描述换路后的电路的微分方程。 2 + C = 0 C u dt du 【例7－3】 在图（a）所示电路中，开关S打开前电路已处于稳态，在t = 0 时，将S打开。试求t＞0时的电压uC和电流i，并作出它们随时间变化的曲线
(3)求微分方程的通解。该微分方程特征方程为 2S+1=0 特征根为 微分方程的通解为lCc=Ae”=Ae2 (4)根据电路的初始条件,确定微分方程通解中的积分常数,从而求 得微分方程的特解(即待求电路响应) A=lc(0)=3 微分方程的特解为lc=Ae2=3e2Vt>0 (5)由求得的电路响应,求得其他响应。由v可求得电流 3 A t>0
（3）求微分方程的通解。该微分方程特征方程为 2S +1= 0 特征根为 2 1 S = − 微分方程的通解为 2 t st uC Ae Ae − = = （4）根据电路的初始条件，确定微分方程通解中的积分常数，从而求 得微分方程的特解（即待求电路响应）。 A = uC (0+ ) = 3 微分方程的特解为 3 0 2 2 = = − − u Ae e V t t t C （5）由求得的电路响应，求得其他响应。由uC可求得电流 A 0 2 3 2 2 = = − e t u i t C
3gS〔t=0) 解法二: 直接应用由前面分析得到的RC电路零输入响应 12V c|2 的计算公式进行计算。计算电路的初始条件 (a)原始电路 lc(0+)=lC(0.)= 3×12V=3V 根据初始条件,确定微分方程通解中的积分常数 十 22F千c凵2g A=lc(0)=3 将换路后的电路变换后的等效电路如图(c)所示 (b)换路后的 动态电路 计算换路后的电路中的等效电阻 R=-×2g=19 2F 十 1 计算电路的时间常数 R T=RC=1×2s=2s (c)换路后的 等效电路
解法二： 直接应用由前面分析得到的RC电路零输入响应 的计算公式进行计算。计算电路的初始条件 uC uC 12 V 3 V 3 1 1 (0 ) (0 ) = + + = − = 根据初始条件，确定微分方程通解中的积分常数 A = uC (0+ ) = 3 将换路后的电路变换后的等效电路如图（c）所示。 计算换路后的电路中的等效电阻 = 2 =1 2 1 R 计算电路的时间常数 = RC =12 s = 2 s
3gS(t=0) 十 求得电容元件的电压 12V( 29 2FTuc2Q2 u= Ae 2=3e 2v t>0 (a)原始电路 由电容元件的电压,求得电路中电流 e2v t>0 22
求得电容元件的电压 由电容元件的电压，求得电路中电流 3 0 2 2 = = − − u Ae e V t t t C 0 2 3 2 2 = = − e V t u i t C