x(o)cos wtd(wt) 2 k(Asin wt-)cos wtd(wt)+/a k(A-s)cos wtd(wt)+k(Asin wt+a)cos wtd(wt) cos 2wt-KEsin wt+k(A-s)sin wr 4 oS 2wt+ kesin wt T-a -(1-1)-KE+k(A-E)sin a,-k(A-8) (1-cos 2a1)-KEsin a kA KA 2 kE+k(A-E)(1--)-k(A-E)
= 2 0 1 ( ) cos ( ) 1 A x t wtd wt = − + − + + − − 2 0 2 ( sin ) cos ( ) ( ) cos ( ) ( sin ) cos ( ) 2 1 k A wt wtd wt k A wtd wt k A wt wtd wt = + − + − + − − − − 1 1 cos 2 sin 4 cos 2 sin ( )sin 4 2 2 2 0 wt K wt k A wt K wt k A wt k A = − − − − + − 1 − − + − − 1 − 1 (1 cos 2 ) sin 4 ( 1 1) ( )sin ( ) 4 2 K k A K k A k A k A = − − − + − − − − − + − − ) 2 ) (1 2 1 2(1 4 4 ) ( ) 2 ( )(1 2 2 2 A K A k A k A k A A k k A k A
2KA 2ke2 ka 2ka- 2k +2ka A A 2k (-2kE+ 4ka (-1 B,=_J x()sin wtdwr 1k(Asin wt-e)sin wtwt+ K(A-e)sin wtdwr+ k(Asin wt+E)sin wtdwt I k4=m20+m4一10+2mm20 arcsin(1--)+2(1 A A A N(A)=B+A_V42+B2 arc 4 A 2+ arcsin( 1-22 4k )+2(1 AVA j-(-1)A≥E (4)继电特性描述函数x()奇对称A6=0 0< wt <a1 x(O=M a1<Wt<丌-a2 丌-a<wI<丌 A1 x(ocos wtdwt Mcos wtdt 2M (sin a2 -sin au) 2Me )
= − − + − + − + A k A k k k A A k k k k A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = ) 2 ( 2 2 2 A k k − + = ( 1 ) 4 A k − − = 2 0 1 ( )sin 1 B x t wtdwt = = − + − + + − − 2 0 2 1 1 ( sin )sin ( )sin ( sin )sin 2 k A wt wtdwt k A wtdwt k A wt wtdwt 1 1 1 sin 2 ) cos 4 1 2 1 sin 2 cos ( )cos ( 4 1 2 1 ( 2 2 2 0 2 0 − − − + − − k A wt − wt + k wt − k A− wt k A wt wt k wt = + − + − ) (1− ) 2 ) 2(1 2 arcsin(1 2 A A A A k A 1 2 1 1 2 1 1 1 ( ) B A arctg e A A B A A j A B N A + = + = = ( 1) 4 ) (1 ) 2 ) 2(1 2 arcsin(1 2 + − + − + − − A A k j A A A A k A （4）继电特性描述函数 x(t) 奇对称 A0 = 0 − − = wt M wt wt x t 2 1 2 1 0 0 0 ( ) = 2 0 1 ( ) cos 1 A x t wtdwt − = 2 1 cos 2 M wtdwt 2 1 sin 2 − = M wt (sin sin ) 2 2 1 = − M ( 1) 2 0 = m − A Me
BI x()sin wtdwt Msin wtdt M(cos a2 +cosa,) 2M A B N(A) 2M 2+1-(0)2+ 2Me (M-1) On2 m=1 4M N(A) 4M
= 2 0 1 ( )sin 1 B x t wtdwt = − + − = + = − 0 2 0 2 2 1 1 ( ) 1 ( ) 2 (cos cos ) 2 sin 2 2 1 A e A M me M M wtdwt A A j A B N A 1 1 ( ) = + ( 1) 2 ( 1 ( ) 1 ( ) 2 0 2 0 2 0 = − + − + M − A Me j A e A me A M m =1 0 2 1 ( ) 4 ( ) A e A M N A = − e0 = 0 A M N A 4 ( ) =
→N(A) 2-4M N k2/ N (5)变增益特性的描述函数N(A)=N1(A)+N2(A) =M1(4)-N12(A)+N13(A)+N2(A) N1(A)=k1 A1=0,A0=0 k, Asin wt sin wtdwt
M = −1 （5）变增益特性的描述函数 ( ) ( ) ( ) N A = N1 A + N2 A = ( ) ( ) ( ) ( ) N11 A − N12 A + N13 A + N2 A 11 1 N (A) = k A1 = 0, A0 = 0 B k Asin wtsin wtdwt 1 2 0 1 = 1 2 0 2 4 0 1 ( ) 4 ( ) A Me j A e A M N A = − −
k1Asin- tdwr k 2wt k1 k,a k N(A) e= asin wt 三非线性控制系 f)=∩ 统的描述函数分 N(A) 析(1)控制系统的 稳定性分析 COw) N(AG(w) RO +N(AGOw 特征方程为 1+N(AGOw=0 N(A) 非线性特性的负倒描述函数 比较线性系统特征方程G(o)=-1 线性系统,(-1,j0)点是判断稳定的关键点 非线性系统,判断稳定性不是点(-1,j0),而是一条线-1/N。(A/d)。 由线形部分与描述函数负侧特性之间相对位置可以判断非线性系统的稳定及自激振荡,即可 利用奈奎斯稳定判据进行分析 3.判据内容: 在开环幅相平面上,G(ω)条件,最小位相,无右极点 1)若K。Gω)轨迹不包围时线性负侧特性-1/N。(A/d),则此非线性系统稳定。 2)若K。(()轨迹包围-1/N。(A/d),则非线性系统不稳定。 3)若K。G(jo)与-1/N。(A/d)相交,则在交点处,系统处于临界稳定,可能产生周 期持续震荡,这种持续震荡可以用正弦振荡来近似,其振荡的振幅和频率可以分别用交点处 1/N。(A/d)轨迹上的A值K。G(j)曲线上对应的ω值来表征
k A k A k A wt wt k A wtdwt 1 1 2 0 1 2 0 2 1 0 4 4 sin 2 4 1 2 4 1 sin 4 = = − = − = e A wt x k e k A wt sin 1 1 sin = = = 1 1 ( ) k A B N A = = 三.非线性控制系 统的描述函数分 析(1)控制系统的 稳定性分析 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N A G jw N A G jw R jw C jw + = 特征方程为 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 0 N A G jw N A G jw = − + = 非线性特性的负倒描述函数 比较线性系统特征方程 G(jω)=–1 线性系统，（–1，j0）点是判断稳定的关键点。 非线性系统，判断稳定性不是点（–1，j0）,而是一条线 –1∕N。（A∕d） 。 由线形部分与描述函数负侧特性之间相对位置可以判断非线性系统的稳定及自激振荡，即可 利用奈奎斯稳定判据进行分析。 3.判据内容： 在开环幅相平面上， G(jω)条件，最小位相，无右极点。 1）若 K。G(jω)轨迹不包围时线性负侧特性–1∕N。（A∕d）,则此非线性系统稳定。 2）若 K。G(jω)轨迹包围–1∕N。（A∕d），则非线性系统不稳定。 3）若 K。G(jω)与–1∕N。（A∕d）相交，则在交点处，系统处于临界稳定，可能产生周 期持续震荡，这种持续震荡可以用正弦振荡来近似，其振荡的振幅和频率可以分别用交点处 –1∕N。（A∕d）轨迹上的 A 值 K。G(jω)曲线上对应的ω值来表征。 Im Im Im