S1={1,2,3,…,n,…} 52={1,4,9…,n2,…} IS1=IS21 S2 C S “部分等于全体” 吓得我吃了一鲸 4口，1①，43，t夏，30Q0 Hengfeng Wei (hfweiinju.edu.cn 1-11 Set Theory (IV):Infinity 2019年12月17日9/49
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S1 = {1, 2, 3, · · · , n, · · · } S2 = {1, 4, 9, · · · , n2 , · · · } |S1| = |S2| S2 ⊂ S1 “部分等于全体” 说到底，“等于”、“大于” 和 “小于” 诸性质不能用于无限，而 只能用于有限的数量。 — Galileo Galilei 无穷数是不可能的。 — Gottfried Wilhelm Leibniz Hengfeng Wei (hfwei@nju.edu.cn) 1-11 Set Theory (IV): Infinity 2019 年 12 月 17 日 9 / 49
S1={1,2,3,…,n,…} 52={1,4,9…,n2,…} IS1=IS21 S2 C S1 “部分等于全体” 吓得我吃了一鲸 说到底，“等于”、“大于”和“小于”诸性质不能用于无限，而 只能用于有限的数量。 -Galileo Galilei 4口·10,43，t更里0Q0 Hengfong Wei Chiweinjn.ed.cn 1-11 Set Theory (IV):Infinity 2019 1217 9/49
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S1 = {1, 2, 3, · · · , n, · · · } S2 = {1, 4, 9, · · · , n2 , · · · } |S1| = |S2| S2 ⊂ S1 “部分等于全体” 说到底，“等于”、“大于” 和 “小于” 诸性质不能用于无限，而 只能用于有限的数量。 — Galileo Galilei 无穷数是不可能的。 — Gottfried Wilhelm Leibniz Hengfeng Wei (hfwei@nju.edu.cn) 1-11 Set Theory (IV): Infinity 2019 年 12 月 17 日 9 / 49
S1={1,2,3,…,n,…} 52={1,4,9…,n2,…} 1S=1S2 S2 C S1 “部分等于全体” 吓得我吃了一鲸 说到底，“等于”、“大于”和“小于”诸性质不能用于无限，而 只能用于有限的数量。 -Galileo Galilei 无穷数是不可能的。 -Gottfried Wilhelm Leibniz 4口·￥①，43，t夏，里Q0 Hengfeng Wei (hfweixinju.edu.cn) 1-11 Set Theory (IV):Infinity 2019年12月17日9/49
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S1 = {1, 2, 3, · · · , n, · · · } S2 = {1, 4, 9, · · · , n2 , · · · } |S1| = |S2| S2 ⊂ S1 “部分等于全体” 说到底，“等于”、“大于” 和 “小于” 诸性质不能用于无限，而 只能用于有限的数量。 — Galileo Galilei 无穷数是不可能的。 — Gottfried Wilhelm Leibniz Hengfeng Wei (hfwei@nju.edu.cn) 1-11 Set Theory (IV): Infinity 2019 年 12 月 17 日 9 / 49
这些证明一开始就期望那些数要具有有穷数的一切性质，或者 甚至于把有穷数的性质强加于无穷。 相反，这些无穷数，如果它们能多以任何形式被理解的话，倒 是由于它们与有穷数的对应，它们必须具有完全新的数量特征。 这些性质完全依赖于事物的本性，··而并非来自我们的主观 任意性或我们的偏见。 -Georg Cantor (1885) 4口·￥①，43，t夏，里Q0 Hengfeng Wei (hfweiinju.edu.cn)1-11 Set Theory (IV):Infinity 2019年12月17日10/49
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 这些证明一开始就期望那些数要具有有穷数的一切性质，或者 甚至于把有穷数的性质强加于无穷。 相反，这些无穷数，如果它们能够以任何形式被理解的话，倒 是由于它们与有穷数的对应，它们必须具有完全新的数量特征。 这些性质完全依赖于事物的本性，· · · 而并非来自我们的主观 任意性或我们的偏见。 — Georg Cantor (1885) Hengfeng Wei (hfwei@nju.edu.cn) 1-11 Set Theory (IV): Infinity 2019 年 12 月 17 日 10 / 49
Definition (Dedekind-infinite Dedekind-finite (Dedekind,1888)) A set A is Dedekind-infinite if there is a bijective function from A onto some proper subset B of A. A set is Dedekind-finite if it is not Dedekind-infinite. 4口·4043，t夏30Q0 Hengfeng Wei (hfweiinju.edu.cn1-11 Set Theory (IV):Infinity 2019年12月17日11/49
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definition (Dedekind-infinite & Dedekind-finite (Dedekind, 1888)) A set A is Dedekind-infinite if there is a bijective function from A onto some proper subset B of A. A set is Dedekind-finite if it is not Dedekind-infinite. This is a theorem in our theory of infinity. Hengfeng Wei (hfwei@nju.edu.cn) 1-11 Set Theory (IV): Infinity 2019 年 12 月 17 日 11 / 49