线性代数_行列式的性质

§1.3行列式的性质 阶行列式共有n!项,因此定义计算n阶行列式是较 为困难的,只有少数行列式用定义计算比较方便 我们已经知道三角行列式的值就是主对角线上各元 素的乘积.因此我们想到能否把一般的行列式化成三角 行列式来计算,这就需要研究行列式的性质 首页 页 返回 下而 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 §1.3 行列式的性质 首页 上页 返回 下页 结束 铃 n阶行列式共有n!项 因此定义计算n阶行列式是较 为困难的 只有少数行列式用定义计算比较方便 我们已经知道三角行列式的值就是主对角线上各元 素的乘积 因此我们想到能否把一般的行列式化成三角 行列式来计算 这就需要研究行列式的性质

行列式的转置 将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置 行列式,记为D或D,即如果 1121 D=a21a22n,则D7=42a22a2 ann 显然,若D=D=b则bn=a(产=1,2 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 行列式的转置 将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置 行列式 记为DT或D 即如果 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 n n n n n n a a a a a a a a a D        =  则 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 n n n n n n T a a a a a a a a a D        =  1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 n n n n n n a a a a a a a a a D        =  则 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 n n n n n n T a a a a a a a a a D        =  显然 若D=|aij| DT=|bij| 则bij=aji(i j=1 2   n) 下页

行列式的转置 将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置 行列式,记为D或D 性质1将行列式转置,行列式的值不变,即D=D7 证:记D=D=b则ban(=1,2,…,m,按定义及定 理1.3,D的一般项为 (-1)O)bb2…bm1=(-1)M)1(12amn N(i2…jn)+N(12m) i12 这也是D的一般项,所以D=Dr 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 行列式的转置 将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置 行列式 记为DT或D 性质1 将行列式转置 行列式的值不变 即D=DT  证 记D=|aij| DT=|bij| 则bij=aji (i j=1 2  n) 按定义及定 理13 DT的一般项为 n n j j nj N j j j − b b b  1 2 1 2 1 2 ( ) ( 1) j j j n N j j j n = − n a a a  1 2 ( ) 1 2 1 2 ( 1) j j j n N j j j N n n ( 1) n a 1 a 2 a ( ) (1 2 ) 1 2 1 2 = −   +   这也是D的一般项 所以D=DT  n n j j nj N j j j − b b b  1 2 1 2 1 2 ( ) ( 1) j j j n N j j j n = − n a a a  1 2 ( ) 1 2 1 2 ( 1) 下页

性质2互换行列式的两行(列),行列式的值变号. 证:记D交换D的第行与第(s<()行得到的行列式为 D1=b则b=an,b=0(=1,2,…,n),D1的一般项为 (-1)-)bb…b…bm1 =(-1)A(bma =(-1) NGj…jj1列。m =-(1U,/,y,"Jw, asi, a,"ani 它与D的一般项相差一个负号,所以D=D 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 性质2 互换行列式的两行(列)行列式的值变号 记D=|aij| 交换D的第s行与第t(st)行得到的行列式为 D1=|bij| 则bsj=atj  btj=asj(j=1 2  n) D1的一般项为 证 s t n s t n j sj tj n j N j j j j − b b b b    1 1 1 ( ) ( 1) s t n s t n j tj sj n j N j j j j = − a a a a    1 1 1 ( ) ( 1) t s n s t n j sj tj n j N j j j j = − a a a a    1 1 1 ( ) ( 1) t s n t s n j sj tj n j N j j j j =− − a a a a    1 1 1 ( ) ( 1)  它与D的一般项相差一个负号所以D1=−D 下页

性质2互换行列式的两行(列),行列式的值变号. 推论如果行列式中有两行(列的对应元素相同,则此行 列式的值为零 这是因为,将行列式D中具有相同元素的两行互换后所得 的行列式仍为D,但由性质2可知其结果应为一D,因此D=D, 所以D=0 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同则此行 列式的值为零 这是因为 将行列式D中具有相同元素的两行互换后所得 的行列式仍为D 但由性质2可知其结果应为−D因此D=−D 所以D=0 性质2 互换行列式的两行(列)行列式的值变号 下页