复旦大学：《固体物理学》课程教学资源（讲义）第一章 金属自由电子气体模型_自由电子气的其他性质

T≠0电子被热激发,看被积函数 ■■■ D(E)=C√E f(E)D(E)=C√E f(E)D(E)=0 ■■■"■""■■■■ √E f(E)D(E) (E-EF)/K N=f(E)D(E)dE s U=S f(ED(EEde 气 的

自由电子气的其他性质 6 电子被热激发，看被积函数   0 N f (E)D(E)dE   0 N f (E)D(E)dE T  0 D(E)  C E EF ( ) ( ) 0 ( ) ( ) F F E E E E f E D E f E D E C E     1 ( ) ( ) ( )/ F   EE kBT e C E f E D E kBT   0 U f (E)D(E)EdE

低温时费米分布的数学性质 af OE ≠0 kBT<< Ep 1类画函数且是(B一E)的偶函数 aE 20 4 6 so 100 1≥o

自由电子气的其他性质 7 T  0 E f    T  0 BT EF k  类 函数, 且是(E EF )的偶函数 Ef     低温时费米分布的数学性质

d(E)/dE的对称性 对费米分x=(E-k 布,其对E 的导数总是Af(E)()+1C+1 f(x) x=(E-)的 偶函数 e 当T→0时, ,x≥0 才是d函de 数 e2+1 x<0 自由电子气的其他性质

自由电子气的其他性质 8                                          , 0 1 , 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 B B x e e x e e e e dx df f x e e f E x E k T x x x x x x E  k T x  -df(E)/dE的对称性 • 对费米分 布，其对 E 的导数总是 x=(E- μ ) 的 偶函数 • 当 T 0时， 才是delta 函 数

A.比热(kBT<EP 总能量 U=L D(E)(E)EdE 总电子数 f(eD(e)dE ∥EN=Ef(B)D(EE U 对这两个式子求导,得==「 dEED(E) T aT 10= dEE D(E) aT 相减后,得c=,aE(E-EDOE f OT 根据(EE)JT的类δ函数性质,可以近似得 到 c≈D(E"dE(E-E)O T

自由电子气的其他性质 9 A. 比热(kBT<<EF) • 总能量   0 U D(E) f (E)EdE • 总电子数   0 N f (E)D(E)dE • 对这两个式子求导，得      0 el ( ) Tf dEED E TU CV T f dEE D E    0 F 0 ( )   0 F F E N E f (E)D(E)dE • 相减后，得       0 F el ( ) Tf CV dE E E D E • 根据(E-EF)df/dT的类δ函数性质，可以近似得 到       0 F F el ( ) Tf CV D E dE E E

对费米分布求导可E=E (E-EF)KRT Tk72[E-1)k7+1 进行变量替换,x=(E-E)k7 c≈D( f EpIdE(E-Ees e 0 ot=kgTD(Ep )__e /sr dax e+1 低温时,可将积分下限推至负无穷大,得 2 e axx e+1 于是C=2k2D(E)=2k T-N 32E B F 与前面的半经典估计比较 cel e nk 自由电子气的其他性质

自由电子气的其他性质 10 • 对费米分布求导       2 / / 2 B F 1 F B F B        E E k T E E k T e e k T E E T f • 进行变量替换， x   E  E F  / k B T                E k T x x V e e k TD E dxx T f C D E dE E E F B / 2 2 F 2 B 0 F F el 1 ( ) ( ) • 低温时，可将积分下限推至负无穷大，得   1 3 2 2 2        x x e e dxx F B 2 F 2 B 2 F 2 B 2 el 2 2 3 3 ( ) 3 T T N Nk E C V k TD E k T    • 于是    • 与前面的半经典估计比较 F B el T T C Nk V 