一、晶格振动和谐振子 1.系统能量的普遍表示 一维单原子链中,平衡时距原点为na2 的原子,谢时刻的绝对位移是q所有可能的 N个值的特解的线性叠加: U ( A e gnaea t e
2 1 一、晶格振动和谐振子 1．系统能量的普遍表示 一维单原子链中，平衡时距原点为na 的原子，t时刻的绝对位移是q所有可能的 N个值的特解的线性叠加： ( ) i(qna t) q Un t Aq e − ＝ ( ) iqna q ＝ Aq t e
其中A(1)=Aem按经典力学,系 统的总能量为动能和势能之和: E=7+,∑mn+(0=-0P 该表示式中有(Un+1×Un)的交叉项存 在,对建立物理模型和数学处理都带来 困难。用坐标变换的方法 消去交叉项
其中Aq（t）＝Aq e -iωt 按经典力学，系 统的总能量为动能和势能之和： + + ( − ) + • n n n n E T W m Un U U 2 1 2 2 2 1 ＝ ＝ 该表示式中有（Un+1×Un）的交叉项存 在，对建立物理模型和数学处理都带来 困难。用坐标变换的方法 消去交叉项
2.坐标变换(变量置换)设 √Mm4 U,0)∑QGkm (3-51) 式中Q()称为简正坐标,容易证明: ei (9-q)na ∑已 "=N q9 i(n-n")qa ∑C ENs q asson, n (3≈52)
2．坐标变换（变量置换） 设 ( ) ( ) q iqna n q Q t e Nm U t 1 ＝ （3－51） 式中Qq (t)称为简正坐标，容易证明： ( ) ＝ ’ q q n i q q n a e N , ' − ( ) ＝ ’ n n q i n n q a e N , ' − （3－52）
q1时,显然成立 q≠q时,为等比级数求和,亦可证。 由式(3-51),(3-52)可得 O U2()∑Qn(km q (3—513) 5方 ()√>,()e 2-Ig ONnc ∑U(k ,qnaa(3532)
证明要点： q=q ’时，显然成立； q≠q ’时，为等比级数求和，亦可证。 由式（3－51），（3－52）可得 ( ) ( ) − q iqna n Qq t e Nm U t 1 ＝ ( ) ( ) iqna n q Un t e N m Q t ＝ − ( ) ( ) iqna n q Un t e N m Q t ＝ （3－51’） （3－53’）
3.系统能量的重新表示 由式(3-51)(3-53)可得系统势能 2 l 2 2。 Q (3-54) 2 RAB q 2 ga 式中024=m22 不含交叉项了
3．系统能量的重新表示 由式（3－51）～（3－53’）可得系统势能 q q q W q Q Q 2 2 1 ＝ 2 2 2 1 q q = q Q (3-54’ ) 式中ω2 q = 2 sin 4 2 qa m 不含交叉项了