例3讨论几何级数(或等比级数) ∑qm=a+mg+aq2+…+mqn+ (其中a≠A0,q称为级数的公比,n=m"为它的一般项) 的敛散性.若收敛,则求出其和 解当q≠1时,部分和 mq+mq+…+aq a(1-q q 1)当|q|<1时,imS=lima(-q) q 2)当|q|>1时 lim s =lim n→0∥ n→0 q (3)当|q|=1时
6 例3 讨论几何级数(或等比级数) 1 2 1 1 n n n aq a aq aq aq − − = = + + + + + 解 当 q ≠1时, 部分和 (1 ) 1 n a q q − = − (1)当∣q ∣< 1时, (1 ) lim lim 1 1 n n n n a q a S → → q q − = = − − (2)当∣ q ∣>1时, (1 ) lim lim 1 n n n n a q S → → q − = = − (其中a≠0, q 称为级数的公比, 为它的一般项) n 1 u aq n − = (3)当∣q ∣=1时, 的敛散性. 若收敛, 则求出其和. 2 1 n S a aq aq aq n − = + + + +
(i)若q=1时,则 lim S= limna (ⅱ)若q=-1时,则级数成为a-a+a-a+…+a-a+…, 当n为偶数时,Sn=0 当n为奇数时,Sn=a,从而 lim s不存在 n→0 故原级数发散 综上所述有重要结论: 几何级数,∑mn=a+mg+m2+…+mqrn1+ 当|q1<1时,收敛于 q 当q|≥1时,发散
7 (ⅰ)若 q = 1时, 则 lim lim n n n S na → → = = (ⅱ)若 q =–1时, 则级数成为a – a+a – a+…+a – a+…, 0 当 n 为偶数时, Sn = 当 n 为奇数时, , S a n = lim n n S → 几何级数, 1 2 1 1 n n n aq a aq aq aq − − = = + + + + + 1 a − q 故原级数发散. 从而 不存在. 综上所述有重要结论: 当∣ q ∣≥1时, 发散. 当∣q ∣<1时, 收敛于