第四章白由曲线与曲面 (二) 哈尔滨工业大学计算机学院 苏小红
第四章 自由曲线与曲面 （二） 哈尔滨工业大学计算机学院 苏小红
Bezier曲线 1962年,法国雷诺汽车公司 PE Bezier工程师 以“逼近”为基础 UNISURE系统 1972年雷诺汽车公司正式使用一
2 Bezier曲线 1962年，法国雷诺汽车公司 P.E.Bezier工程师 以“逼近”为基础 UNISURF系统 1972年雷诺汽车公司正式使用
Bezier曲线(119) Bezie基函数- Bernstein多项式的定义 BEZ(1)=C7(1-),t∈[0,1 次 Bezier曲线的四个混合函数 i!(n-1)
3 Bezier曲线（1/19） Bezier基函数--Bernstein多项式的定义 ( ) (1 ) , [0,1] , = − − BEZ t C t t t i i n i i n n !( )! ! i n i n C i n − = 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 BEZ (u) 0.2 0.4 0.6 0.8 1 BEZ (u) BEZ (u) u u 1 0.8 0.6 0.4 0.2 BEZ (u) 0.8 0.2 0.4 0.2 0.4 0.6 0.6 0.8 1 1 u 0.2 0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.8 0.6 u 1 0.2 三次Bézier曲线的四个混合函数
Bezier曲线(2/19) Bernstein基函数的性质 正性BEz,()≥0,t∈[O,1 权性 ∑BEZn()=1,t∈[0,1 i=0 对称性。BEZ1()=BEn1(1-0) 降阶公式BEZ10(1)=(1-1)BEZn()+1BEZ=1n1() 升阶公式BEZn() BEZ n+1 BEZa(t) 1+l i+1,n+1 n+1
4 Bezier曲线（2/19） Bernstein基函数的性质 ◼ 正性 ◼ 权性 ◼ 对称性 ◼ 降阶公式 ◼ 升阶公式 ( ) (1 ) , , BEZ t BEZ t i n = n−i n − ( ) 0 , [0,1] BEZi,n t t ( ) 1 , [0,1] 0 , = = BEZ t t n i i n ( ) (1 ) ( ) ( ) , , 1 1, 1 BEZ t t BEZ t tBEZ t i n = − i n− + i− n− ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) , 1, 1 , 1 BEZ t n n i BEZ t n i i BEZ t i n i+ n+ i n+ + + − + + + =
Bezier曲线(319) 数 BEZin(t)=n(BEZ-Ln-(t)-tBEZn-(t)) 积分「BEZ,A()= n+1 最大值 在t=in处取得最大值 线性无关性 {BEZ(O)是n次多项式空间的一组基一
5 Bezier曲线（3/19） ◼ 导数 ◼ 积分 ◼ 最大值 在t = i/n处取得最大值 ◼ 线性无关性 是n次多项式空间的一组基 1 1 ( ) 1 0 , + = n BEZ t i n n n i i BEZ t , 0 ( ) = ( ) ( ( ) ( )) , 1, 1 , 1 BEZ t n BEZ t tBEZ t i n = i− n− − i n−