由于§在空间任意方向上的投影只能取两个值:, 所以S,S,,S各自的本征值都只能分别取为±h两个 值。它们各自的平方即h。所以本征值平方 4 h 23 S2=3 44 写为角动量算符的一般形式:S2=S(S+1)h2=h2(5) 由(5)得 S 2
由于 在空间任意方向上的投影只能取两个值： ， 所以 ， ， 各自的本征值都只能分别取为 两个 值。它们各自的平方即 。所以本征值平方： 2 222 2 2 2 ˆ ˆ ˆ (3) 4 ˆ 3 3 4 4 x y z SSS S === = = (4) ˆ x S ˆ z S ˆ y S ˆ S 2 2 2 4 写为角动量算符的一般形式： 由(5)得 2 2 2 3 ( 1) (5) 4 S S S = + = 1 (6) 2 S =
2、泡利算符及其对易关系: 1)定义;S、h 20,则(2)式可写为: 0-0,0x=2i0 2 .o.-00.=2i0 y 或 O rio y°z (8) 00x o= 2i ,=2io (8)式可以合写为 2iE ik k 由于S沿任一方向的投影只能取±,所以G的本征 值只能取为±1,c2=a2=a2=σ2=+1 (10
２、泡利算符 及其对易关系： 1)定义： ，则(2)式可写为： (8)式可以合写为 由于 沿任一方向的投影只能取 ，所以 的本征 值只能取为 ， (7) 2 S = 2 2 2 x y y x z y z z y x z x x z y i i i − = − = − = , 2 , 2 (8) , 2 x y z y z x z x y i i i = = = 或 , 2 (9) i j ijk k = i S 2 ˆ i 1 2222 1 (10) i x y z = = = = +
2)泡利算符的反对易关系 用σ分别左乘和右乘(8)-2式: O,O2-010,=2i010x 00,-0O=2i010 两式相加可得:ao,+a1ox=0 作业证 O.6.+0.6.=0 o.o+00.=0 (12) O0.+=0
2)泡利算符的反对易关系 用 分别左乘和右乘(8)-2式： 两式相加可得： 作业证 2 2 (11) y y z y z y y x y z y z y y x y i i − = − = 0 x y y x + = 0 0 0 x y y x y z z y z x x z + = + = + = (12) y
将对易关系(8)式和反对易关系(12)式对应相加,可得 O0.=-0.0.三l0 OO.=-0O.三L0 (14 0 O 00=l0 (14)式概括了O算符的对易和反对易关系,同时(10)限定 了σ的模为1,另外σ算符应为厄米算符: O O (15) 式(10)、(14)和(15)概括了泡利算符的全部代数性质
将对易关系(8)式和反对易关系(12)式对应相加，可得： (14)式概括了 算符的对易和反对易关系，同时(10)限定 了 的模为１，另外 算符应为厄米算符： 式(10)、(14)和(15)概括了泡利算符的全部代数性质。 x y y x z y z z y x z x x z y i i i = − = = − = = − = (14) ˆ i ˆ ˆ ˆ (15) + =
3、泡利矩阵(泡利表象) 1)由自旋S在任何方向的投影只能取±,所以G 的本征值只能取±,对应的本征态分别为自旋向上和 向下两个态: 0 B 而算符在其自身表象中的矩阵表示应为对角矩阵,矩 阵元(对角元)即为本征值,所以,存在一个G对角 化的表象(o,G的共同本征态为基),使 0 (17) 0 这时Gx,G,不一定对角化,可由G对易关系和G2=1 求出
３、泡利矩阵（泡利表象） １）由自旋 在任何方向的投影只能取 ，所以 的本征值只能取 ，对应的本征态分别为自旋向上和 向下两个态： 而算符在其自身表象中的矩阵表示应为对角矩阵，矩 阵元（对角元）即为本征值，所以，存在一个 对角 化的表象（ ， 的共同本征态为基），使 这时 不一定对角化，可由 对易关系和 求出。 S 2 ˆ z 1 1 0 ˆ (17) 0 1 z = − 1 0 , (16) 0 1 = = ˆ z ˆ z 2 ˆ ˆ , ˆ x y ˆ i 2 ˆ 1 i =