32 电力系统继电保护原理及新技术 2.3.1正弦函数模型算法 正弦模型网数算法有半周波积分算法、导数算法和采样值乘积算法等多种。 这些算法均建立在假设电力系统故李电压、电流均严格按正弦规律变化的基础上， 因此需斐对故障信息先进行数字滤波，滤除非周期分量和无关的谐波成分，提取有 用的止弦信马后，算法小有效。 导数算法是利用电压，电流在同一采样时刻耨时值的采样值和导数的采样值 计算电流、电压的有效值，相角差及测量阻抗等。由于导数的采样值不能直接求 得，只能用差分值代替，因此算法本身存在一定误差。 积分算法的数据窗大于半周波，不能满足某些快速反映的继电保护要求。下 血介绍采样值乘积算法。 1.采样值两点乘积算法 假定频卡f已知，设在t=t和t=+1时刻，电压和电流的采样值分别是 u=2Usin(wts aw),u2 =2Usin(at+aot:) (2-57) i:=2Isin(ats +ao),iz =2Isin(cls +aor) 令t+!-t=△T,△T是采样时刻与，：的时间间隔。那么，在两个采样时刻 上，电压和电流的采样值之间有如下的关系： 2=2Lsin(autaou+AT) (258) iz=Usin(wt,ag +AT) 下面我们来观察电压和电流的采样值的乘积关系。 1)取同一时刻的电压和电流采样值，相乘得 ui=2Isin(ot+auu )sin(t+)] =UI[cos(aou-aar)-c0s(2wt +aoua)] (2-59) 42i2=UI[cos(aou-ar）-s(2u+aau+ao1+2w△T)】(2-60) 2)取不同时刻的电压和电流采样值，交叉相乘得 uiz=U[2Isin(wt:+aou)sin(wt+an)] =UI[cos(aou -am-wAT) cos(2avt:aou ao:+wT)] (2-61)
第一章徽型计算机继电保护的数字信号基础 33 u2i:-UI[os(aw uor wAT) -cos(2ut&+aw+eu1+w△T)】 (2-62) 同一时刻的电流和电压采样值乘积之和为 uri+u2i2 =2UI[cos(awu-ao:)-cos(WAT) ·s(2awA+aae+ar+w△7)] (2-63) 不同时刻的电流和电压采样值乘积之和为 u1i2+42i,=2UI[cos(aot-ar)cos(w△T） -cos(2at:aou aar T)] (2-64) 从式(2-61)和式(262)中，消去s(2w:+aou+a:+wAT)项得 2uiomow-w)aa-尝aal2-6s 从式(2-59》利式(260)可得 u2i1-u1i2=UI[cos(oou -aa:wAT)-cs(aou-a0:-WAT)] =-2 UJIsinw△Tsin(aou-aar） (2-66) 所以 2 VIsin(aear）-(a2- a (2-67) 3)取在采样刻t。与41上的电压采样值，相乘得 u=2Usin(wt,+aou)sin(ct+a) IJ2[cOsAT-cos(2wt,+WAT +2aou)] (2-68) wi=L2[1-c0s2(ant:aou)] (2-69) =[1-002(at aou+)] (2-70) 所以有 u+u=202-U2[c062(at:aou)+cos2(at aou wAT)] =2UU2-2 cosw.△7cos(2aa+2aow+w△T) (271) 通过式(2-68)和式(2-71)得
34 电力系统缣电保护原理及新技术 u+ui·2u1zaaw△T-2U2sin'a△T (2-72) 2U2=(u+u-2u,4 T） sin wAT (2-73) 同里，利用电流在与，采样时刻的采样值，和i2也能求出电流的有效 值1即 (2-74) 由于采样时刻t与k-1之间的时间间隔△T=4+1一是已知的，那么，在频 率f心知时(w=2f),sinu△T和co8w△T都是已知数。所以利州式(2-73)和 (2-74)就能由电压和吨流的采样值41，：和1，i:计算出电压和电流的有效值U 和1。同时，利用式(265)和式(2-67)还能计算出有功功率P和无功功率Q: 测量阻抗的电阻和电抗也可求出： Ro(oue -n)) (k) X=(）(ae-au）=（ug (+) (2-75) 由式(2-73)和式(2-74)可见，计算电压和电流有效值的两点乘积算法还可以 进一步简化，即人为榨制采样间隔4T,使得仙△T=90时， 2U2-+4i,212=行+ (2-76) 这种算决可以简化运算，提高计算速度，称之为90°采样算法。 在电力系统发生放障时，系统频率f经常偏离额定值运行。若按50H频率 运行米确定采样间隔的电角度ω△T,那么，很难保证在实际系统运行时，w△T是 固定不变的：当系统运行频率发生变化时，将使电压和电流的有效值的计算结果 产生一定的误差。下面介绍的三点采样值乘积算法能解决这一问题。 2,三点采样值乘积算法 所谓的三点采样值乘积算法是，利用正弦电韭和电流的三个连续的等时间采 样间隔的采样值，计算出弦电压和电流的有效值，从而避免系统频率f的变化 对计算结果的影响。设在第三个采样时刻，2，+2=【！+△T,电压和电流的采 样值分别为 a=/Usin(l2ou)=2Usin(wh aou 2wAT)
第二章微型计算机继保护的数字信号基础 (2-77） 则有 ui3=21Isin(ot auu +2wAT)sin(at ao +2mAT) UI[cos(aou:aor)-cus(2ot aou anr +4wAT)](2-78) -202wATcos(2ct+am:+aor +2wAT)] (2-79) 从式(2-79)减去式(2-60)乘2c02wAT中消去含有a的项，得 2UIcos(ao-)=i+uis -2220os2w△T] 2sin(@AT) (2-80) 将式(2-80)中的地流(：)的采样值i1,2,i分别用电压u(x)在相同时刻的采样 值41,2,3代人，且ao心-a1=0,得 2U:(witu-2uico2wAT) 2(in△7) (2-81) 同理可得 2r=(i+-2经o2@AT） 2(sinw△T) (2-82) 以相隔一个采样时间间隔△T的两个采样值41,2和w:,,按上述方法同样可 得 2U2=(u+号-241u2osu△T) 2(sin'wAT) 2-(u+a-2u,owAT) 2(sinw△T) (2-83) 经整理得 Ty) (ui-uj) (2-84) 将式(284)代人式(2-81)可得出，直接利用电压u(t)的二个等采样间隔的采 样值“，“2，“3，求出电压有效值V的计算公式为
36 电力系统继电保护原理及新技术 2=(a号-u) 1-,+ (2u2）2 4u(ai-1u3） =4（+ (2-85) 同理，直接利用在二个连线采样时刻4，，和，2的电流采样值，2,3， 计算出电流有效值的公式为 4设-) 2= (2-86) 以上两式给出了直接利用电压和电流在三个连续的等时间间隔△T的采样值 来计算也压和电流有效值的公式。从算法原理不难看击，只要保址采样间隔△T 的相同性，完全可以消除系统频率∫偏离额定值运行时对计算结果的能响。 2.3.2周期函数模型算法（傅里叶算法） 正弦函数模型算法要求输人信号为纯正弦信号。电力系统发生故障时，输人 继电保护装置的信号，往往有较多的非正弦成分，虽不能视为正弦模型但可以近似 看成周期性变化函数(-一般衰减的非周期分量比例校小)，可以作为周期函数模型 处理。 周期函数模型算法有傅里叶算法（以下简称傅氏算法）和沃尔什函数算法等几 种，现就常用的傅氏算法作一介绍。 1.全周波博氏算法的基本原理 周期函数x(t)可以用傅氏级数的形式来表示，即可将调期函数进行傅氏分解 成直流分量基波及整数倍谐波分量之和的形式： (t)=(a,sinnot +hcosnw!)(n =0,1,2,.)(2-87) 式中：m1为基波角频率，w1=2πf1,万=50H: a。为n次谐被正弦项幅值（系数）： b.为”次谐波余弦项幅值（系数）。 银茶正交系数定义，飘分为层X-已：(e)山中如保待分析的时变酒 数x(:)可以分解为一个级数，且级数各项都同属于正交函数，则X的结果是x(t) 中与样品函数y(:)相同分量的模值。由正弦交流在复平面的相量表示，很容易导