、自协方差函数和自相关函数 自协方差函数是描述时间序列随机型结构的重要工具 个随机过程y的两个元素y和Y之间的协方差为 cov(Y, Y=e(Y-E(nIlYk-e(Y+D 称为自协方差( auto cov ariance)协方差度量了单一随机过程两个元素之间 的线性依赖关系。对于=p}1+e1,协方差 cov(Y2,Y1-1)=E(Y1-01[H t+k 0)=p 对于非负整数k,有 cov(,Y+k)=E(Y+k)=E[Y,(1+k-1+e1+k-1) E(,p+k1)+E(e1+k-1)=PE(Yy1+k-1) EIY(PX+-2+e1+k-2)=PE(Y,Y+-1) 这里σ是时间不变量,cov(x,Hk)不依赖于时点t,仅依赖于两个随机变量 之间的时间间隔k,因此可以用γk表示cov,yk)yk是时间间隔k的函数, 且yk=yk自协方差序列y(k=土1,±2,…)称为随机过程Y的自协方差函数 auto cov ariance function
二、自协方差函数和自相关函数 自协方差函数是描述时间序列随机型结构的重要工具。 。 且 。自协方差序列 ， ， ）称为随机过程 的自协方差函数 之间的时间间隔 ，因此可以用 表示 。 是时间间隔 的函数 这里 是时间不变量， 不依赖于时点 ，仅依赖于两个随机变量 对于非负整数 ，有 的线性依赖关系。对于 协方差 称为自协方差（ ）协方差度量了单一随机过程两个元素之间 一个随机过程 的两个元素 和 之间的协方差为： ( cov ) ( 1 2 cov( , ) , cov( , ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) cov( , ) ( ) [ ( )] cov( , ) ([ 0][ 0]) , cov cov( , ) ([ ( )][ ( )]) 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 auto ariance function k Y k Y Y k Y Y t E Y Y e E YY E Y Y E e E YY Y Y E YY E Y Y e k Y Y E Y Y Y Y e auto ariance Y Y E Y E Y Y E Y Y Y Y k k k t k t t k k Y t t k Y k t t k t k t t k t t k t k t t k t t k t t k t t k t k t t t t k Y t t t t t k t t t k t k t t t k = = = = = + = = + = = = + = − − = = + = − − − + + + − + − + − + − + − + − + + + − + − − + − + + + +
自协方差函数y本质上依赖于随机变量的计量单位。例如,工资按美 元和按美分计量的自协方差不同 E(Z121+k)=E(100X7,100X7+)=10000E(,Y2+k) 将自协方差标准化:把每个〃除以随机过程的方差y=1,可以得到自相关 函数( autocorrelation function,ACF k=0.±1+2 对于H=p1+,n=2 p,k=1,2 Yo 由于只有随机过程的样本,只能根据样本数据计算出样本自相关函数 (Sample autocorrelation function) 样本协方差內 ∑(X-Y)(Y+k-Y) 样本方差 ∑(-y) 样本自相关函数:B=
对于 。 函数 ： 将自协方差标准化：把每个 除以随机过程的方差 可以得到自相关 元和按美分计量的自协方差不同： 自协方差函数 本质上依赖于随机变量的计量单位。例如，工资按美 , , 1,2, , 0, 1, 2, ( , ) , E( , ) E(100 ,100 ) 10000E( , ) 2 2 0 1 0 0 = + = = = = = = = = = − + + + Y Y e k k autocorrelation function ACF Z Z Y Y Y Y k Y Y k k t t t k k k k Y t t k t t k t t k k 由于只有随机过程的样本，只能根据样本数据计算出样本自相关函数 （Sample autocorrelation function) ： k ˆ 0 2 0 ˆ ˆ ˆ ) ˆ )( ) ˆ k k t t t k k n Y Y n Y Y Y Y = − = − − = + 样本自相关函数： （ 样本方差 （ 样本协方差
、平稳随机过程 并非所有随机过程的两个元素之间的协方差都只依赖于它们的时间间 隔。我们把任意两个元素之间的协方差都只依赖于它们的时间间隔,且具 有常数均值和有限方差的随机过程,称为平稳过程( stationary process): (1)E(X1)= (2)Var(Y,)<∞ (3)covY1,+k)=E[(Y1-)(Y1+k-1)=yk 显然,白噪声过程是一个平稳过程,而Y=p1+e(|pk1)也是一个 平稳过程。 如果随机过程不满足上述条件,则称为非平稳随机过程。 平稳随机过程产生的时间序列,为平稳序列。平稳性是时间序列的一个 重要的特性,它保证了随机过程基本上没有结构变动,而结构变动会给预测 带来困难,甚至不可预测
三、平稳随机过程 并非所有随机过程的两个元素之间的协方差都只依赖于它们的时间间 隔。我们把任意两个元素之间的协方差都只依赖于它们的时间间隔，且具 有常数均值和有限方差的随机过程，称为平稳过程(stationary process)： t t k t t k k t t Y Y E Y Y Y E Y = − − = = + + (3) cov( , ) [( )( )] 2 var( ) (1) ( ) （ ） 平稳过程。 显然，白噪声过程是一个平稳过程，而Yt = Yt −1 + et （| |1）也是一个 如果随机过程不满足上述条件，则称为非平稳随机过程。 平稳随机过程产生的时间序列，为平稳序列。平稳性是时间序列的一个 重要的特性，它保证了随机过程基本上没有结构变动，而结构变动会给预测 带来困难，甚至不可预测