CHINA U"= 夕-+2N2L 2EA EA i=1 i 外力余能 "=-NA 表1-2 籽号 杆长 内 1-2 2=L M2=-V22M 2-3 h=L N2-3.=-V22M 34 44=L N4=-V2/2 4-1 1=L N41=-V22M 2-4 马4=2Z N24=N 1-3 41=2L M13=N 系统总余能 r-0t'L-Na EA 将r变分，并令6厂=0，则有 8r=2+y5-4N=0 EA 由于8N的任意性，有 20+2)L-4=0 EA 由上式解得 N=_ EA4-W2-1)E4 0+√2)L 2L 由上表可得各杆内力为 N,=M,=2-E44 2L A,=,=N4=N,=2-②4 4L (2)切断23杆，设轴力为N,由几何关系和平衡条件可得各杆杆长及内力，如表13所示。 表13 杆号 杆长 内力 1-2 -2=L N2=N 2-3 4=U N23=N 3-4 4=L N34=N 15
CHINA 41 14=L N=N 2-4 44=2L N2=-2N 1-3 4,=2 Ni3--2N 系统的内力余能 20+V2)W2L 台2EA EA 外力余能 y*=NaATL 这里说明一下，因为这里相当于杆在温度的作用下有T江的伸长，然后再强迫装配起来，所以杆相当 于有负的伸长“-aATL”,这便是外力余能为正号的原因。 系统总余能 NNCATL EA 将T变分，并令8厂=0，则有 8r=4+y2L+4Z5N=0 EA 由于8N的任意性，有 4L+2)L+aZ=0 EA 由上式解得 N=_(V2-I)EAaAT 4 由上表可得各杆内力 M-2=-3=N4=N41=-5-B4o4T N-4=州.3=亿-②E4aar 1.4最小势能、余能原理衍生的变分原理 1.4.1应变能与余应变能 我们称 Ulaltehdv (1.4-1） 为应变能，而称 图1.5 16
CHINA r=片o"oaan （1.4-2) 为余应变能（或应变余能）。 对于一维问题，U和U的关系如图1.5所示，明显可见，对线性弹性体有U=U。 在应用能量法解决力学问题时，正确地写出应变能和余应变能的表达式是重要的。 按照与前面的例题中类似的方法，可以写出等轴力杆和等截面梁的应变能和余应变能的 表达式如下： (1)等轴力杆 U-EACAD).U-N2I 21 2EA (2)等截面粱 1.4.2最小应变能原理和最小余应变能原理 由最小势能原理可得 87=8(UU+八=8UU+8V=0 (1.4-3) 当8V=0时，则有 6U=0 (1.44) 这就是最小应变能原理。 类似地，由最小余能原理可得 8P=8U+V)=8U+8V'=0 (1.45) 当8V=0时，则有 60U°=0 (1.4-6) 这就是最小余应变能原理。 1.4.3 Castigliano定理 当体积力为零，而面积力为离散的广义力时，最小势能原理的泛函可表示为 17
CHINA n=U-2g,4 (1.4-7) 将1变分，并令6I=0,则有 8w-2Q4)=0 (1.48) 假设U处理为4的函数，则上式可以变换为 oU -2)84=0 (1.49) 由于δ4的任意性，由上式可得 aU (1.4-10) 04 -2=0或者 -0 84, 这就是Castigliano第-~定理的表达式，它表明：如果弹性结构的应变能U可以表示为广义 位移△，的函数，则该应变能函数对任一广义位移4的一阶偏导数等于相应的广义力2。 类似的，如果弹性结构的余应变能心为离散的广义力2的函数，则最小余能原理 的泛函表示为 r=r-240 (1.4-11) 将T变分，并令δ广=0，则有 8w-242)-0 (1.412) 进而可得 名器480-0 (1.413) 由于δO的任意性，由上式可得 18
CHINA ov' -4=0 或者 U=4 (1.4-14) 82, a 这就是Castigliano第二定理的表达式，它表明：如果弹性结构的余应变能U`可以表示为广 义力2的函数，则该余应变能函数对任意广义力2，的一阶偏导数等于相应的广义位移4。 1.4.4单位位移法和单位载荷法 (l)单位位移法及其与Castigliano第一定理的关系 某些著作中，这样论述单位位移法：为了确定弹性结构中某处某方向的广义力2， 施加一个与该广义力对应的广义虚位移合4。于外力虚功等于虚应变能，故有 084=jo,86,+o,8e,+o,88,+rn8g+tδy,e+ta8yd7(1.4l5) 由于δ4与8E,δ6y,8e2,8yy,δyz,8Yx之间仅需要满足几何条件和位移边界条件，故 可以认为它们之间成比例，可得 284=∬a,8a+o,8,+c:8.+r87,+r67=+r67.)64dW(1416) 式中，8，δ8,6E,δ7p,δ7z,δ7x为单位广义虚位移引起的虚应变。 由等号两边约去84，可得 2=o,ò远.+o,8,+o.82.+rn87w+r.87:+r.87adr(1417) 这就是单位位移法的计算公式。它表示：为了确定弹性结构中某处某方向的广义力， 只要施加一个与该广义力对应的单位广义位移，则由实位移和单位位移引起的应变能U 在数值上就等于该单位位移对应的广义力。 以下讨论单位位移法与Castigliano第一定理的关系。 由Castigliano第一定理可得 2器a时qear--aer器ap (1.4-18) 19