第七章过关检测(A卷) (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1.已知某一随机变量X的分布列如下表所示，且EX)=6.3,则a的值为( 4 9 P 0.5 A.5 B.6 C.7 D.8 答案：C 解析：由题意和分布列的性质得0.5+0.1+b=1,且E()=4×0.5+0.1a+9b=6.3,解得 b=0.4,a=7 2.设由01”组成的三位数组中，若用A表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B表 示“第一位数字为‘0’的事件”，则P(AB)等于() A号 B 4 D 答案：C 解析：PB)2g=PMB)-器=PAB-e= P(B) 3.某工程施工在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X单 位：mm)对工期延误天数Y的影响及相应的概率P如下表所示 年降水量X X<100 100≤X<200 200≤X<300 X≥300 工期延误 15 30 天数Y 概率P 0.4 0.2 0.3 在年降水量X至少是100mm的条件下，工期延误小于30天的概率为( A.0.7 B.0.5 C.0.3 D.0.2 答案B 解析：设事件A为“年降水量X至少是100mm”,事件B为“工期延误小于30天”， 则P8A0-=20-05故选B P(A) 4.设随机变量X服从正态分布N(3,4),则PX<1-3a)=PXa2+7)成立的一个必要 不充分条件是( A.a=1或2 B.a=±1或2 C.a=2 D.q=3-V5 2 答案B 解析：X~N(3,4),PX<1-3a)=PXa2+7)
第七章过关检测(A 卷) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.已知某一随机变量 X 的分布列如下表所示,且 E(X)=6.3,则 a 的值为( ) X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A.5 B.6 C.7 D.8 答案:C 解析:由题意和分布列的性质得 0.5+0.1+b=1,且 E(X)=4×0.5+0.1a+9b=6.3,解得 b=0.4,a=7. 2.设由“0”“1”组成的三位数组中,若用 A 表示“第二位数字为‘0’的事件”,用 B 表 示“第一位数字为‘0’的事件”,则 P(A|B)等于( ) A. 2 5 B. 3 4 C. 1 2 D. 1 8 答案:C 解析:∵P(B)= 1×2×2 2×2×2 = 1 2 ,P(AB)= 1×1×2 2×2×2 = 1 4 ,∴P(A|B)= 𝑃(𝐴𝐵) 𝑃(𝐵) = 1 2 . 3.某工程施工在很大程度上受当地年降水量的影响,施工期间的年降水量 X(单 位:mm)对工期延误天数 Y 的影响及相应的概率 P 如下表所示. 年降水量 X X<100 100≤X<200 200≤X<300 X≥300 工期延误 天数 Y 0 5 15 30 概率 P 0.4 0.2 0.1 0.3 在年降水量 X 至少是 100 mm 的条件下,工期延误小于 30 天的概率为( ) A.0.7 B.0.5 C.0.3 D.0.2 答案:B 解析:设事件 A 为“年降水量 X 至少是 100 mm”,事件 B 为“工期延误小于 30 天”, 则 P(B|A)= 𝑃(𝐴𝐵) 𝑃(𝐴) = 0.2+0.1 0.2+0.1+0.3 =0.5.故选 B. 4.设随机变量 X 服从正态分布 N(3,4),则 P(X<1-3a)=P(X>a2+7)成立的一个必要 不充分条件是( ) A.a=1 或 2 B.a=±1 或 2 C.a=2 D.a= 3-√5 2 答案:B 解析:∵X~N(3,4),P(X<1-3a)=P(X>a2+7)
∴.(1-3a)+(a2+7)=2×3,解得a=1或2 ∴.所求的一个必要不充分条件是a=士1或2. 故选B 5.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中 的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 答案：A 解析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为 C0.62×0.4+C30.63=0.648 6.命题r:随机变量~N(3,c2),若P(≤2)=0.4，则P(≤4)=0.6.命题q:随机变量 -B(n,p),且E()=200,D)=100,则p=0.5,故( Ar为真命题，g为假命题 B.r为假命题，g为真命题 C.r为假命题，g为假命题 D.r为真命题，g为真命题 答案D 解析：因为随机变量N(3,σ2)，所以正态曲线关于直线x=3对称，又P(≤2)=0.4， 则P(4)=P(≤2)=0.4，所以P(≤4)=0.6，所以r为真命题；随机变量-B(n,p),且 E)=np=200,D0)=np1-p)=100,所以200(1-p)=100,解得p=0.5,所以g为真命题 故选D 7.某种酸奶进货价是每瓶2.5元，销售价是每瓶5元：当天卖不出去的酸奶以每瓶 1.6元价格当天全部处理掉根据以往销售情况预测，这种酸奶的需求量X服从分 布列如表所示 200 300 400 500 0.20 0.35 0.30 0.15 若进这种酸奶500瓶，则利润的均值为( A.706 B.690 C.754 D.720 答案：A 解析：因为E(0=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340,所以利润的均值 为340×(5-2.5)-(500-340)×(2.5-1.6)=706，故选A. 8.(多选题)甲、乙两类西瓜的质量（单位kg)分别服从正态分布N(1,o2),N(2,o2) 其正态密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是()
∴(1-3a)+(a 2+7)=2×3,解得 a=1 或 2. ∴所求的一个必要不充分条件是 a=±1 或 2. 故选 B. 5.投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中 的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 答案:A 解析:根据独立重复试验公式得,该同学通过测试的概率为 C3 20.6 2×0.4+C3 30.6 3=0.648. 6.命题 r:随机变量 ξ~N(3,σ 2 ),若 P(ξ≤2)=0.4,则 P(ξ≤4)=0.6.命题 q:随机变量 η~B(n,p),且 E(η)=200,D(η)=100,则 p=0.5,故( ) A.r 为真命题,q 为假命题 B.r 为假命题,q 为真命题 C.r 为假命题,q 为假命题 D.r 为真命题,q 为真命题 答案:D 解析:因为随机变量 ξ~N(3,σ 2 ),所以正态曲线关于直线 x=3 对称,又 P(ξ≤2)=0.4, 则 P(ξ>4)=P(ξ≤2)=0.4,所以 P(ξ≤4)=0.6,所以 r 为真命题;随机变量 η~B(n,p),且 E(η)=np=200,D(η)=np(1-p)=100,所以 200(1-p)=100,解得 p=0.5,所以 q 为真命题. 故选 D. 7.某种酸奶进货价是每瓶 2.5 元,销售价是每瓶 5 元;当天卖不出去的酸奶以每瓶 1.6 元价格当天全部处理掉.根据以往销售情况预测,这种酸奶的需求量 X 服从分 布列如表所示. X 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 若进这种酸奶 500 瓶,则利润的均值为( ) A.706 B.690 C.754 D.720 答案:A 解析:因为 E(X)=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340,所以利润的均值 为 340×(5-2.5)-(500-340)×(2.5-1.6)=706,故选 A. 8.(多选题)甲、乙两类西瓜的质量(单位:kg)分别服从正态分布 N(μ1,𝜎1 2 ),N(μ2,𝜎2 2 ), 其正态密度曲线如图所示,则下列说法中正确的是( )
甲 ↑y 3.99 0.61.2 A.甲类西瓜的平均质量1=0.6 B.甲类西瓜的平均质量比乙类西瓜的平均质量小 C.甲类西瓜的质量比乙类西瓜的质量更集中于平均值附近 D.乙类西瓜的质量比甲类西瓜的质量更集中于平均值附近 答案：ABC 解析：由图象可知甲类西瓜的平均质量1=0.6，乙类西瓜的平均质量2=1.2,1<2， 则A,B,C都正确：D不正确. 9.已知离散型随机变量X的分布列如下： 2 P 5a 则均值E)与方差D)分别为( A.1.4,0.2 B.0.44,1.4 C.1.4,0.44 D.0.44,0.2 答案C 解析：由离散型随机变量的性质知a+4a+5a=1,解得a=0.1. ∴.PX=0)=0.1,PX=1)=0.4,PX=2)=0.5, ∴.均值EX)=0×0.1+1×0.4+2×0.5=1.4. 方差D0=(0-1.4)2×0.1+(1-1.4)2×0.4+(2-1.4)2×0.5=0.196+0.064+0.18=0.44 10.(多选题)下列说法正确的是() A.若随机变量X服从正态分布N(1,c2),PX≤4)=0.79，则PX≤-2)=0.21 B.若a>0,b>0,(ax+b)的展开式中x3项的系数为20，则ab=1 C若随机变量X服从二项分布XB(4,),则E)=1 D.有8件产品，其中3件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的件数，则 PX≤I)- 答案：ABC 解析：对于A,已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，PX≤4)=0.79，则正态曲线关 于直线x=1对称，可得P(X>4)=1-0.79=0.21,P(X≤-2)=P(X>4)=0.21,故A正确： 对于B,由二项展开式可得ab=1,故B正确： 对于C,由于随机变量X服从二项分布XB(4,) 则E0=4×好=1，故C正确； 对于D,根据题意得PK≤I)=Px-0+PX=I)-+智=品+品=号故D错误 C3
A.甲类西瓜的平均质量 μ1=0.6 B.甲类西瓜的平均质量比乙类西瓜的平均质量小 C.甲类西瓜的质量比乙类西瓜的质量更集中于平均值附近 D.乙类西瓜的质量比甲类西瓜的质量更集中于平均值附近 答案:ABC 解析:由图象可知甲类西瓜的平均质量 μ1=0.6,乙类西瓜的平均质量 μ2=1.2,μ1<μ2, 则 A,B,C 都正确;D 不正确. 9.已知离散型随机变量 X 的分布列如下: X 0 1 2 P a 4a 5a 则均值 E(X)与方差 D(X)分别为( ) A.1.4,0.2 B.0.44,1.4 C.1.4,0.44 D.0.44,0.2 答案:C 解析:由离散型随机变量的性质知 a+4a+5a=1,解得 a=0.1. ∴P(X=0)=0.1,P(X=1)=0.4,P(X=2)=0.5, ∴均值 E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.5=1.4. 方差 D(X)=(0-1.4)2×0.1+(1-1.4)2×0.4+(2-1.4)2×0.5=0.196+0.064+0.18=0.44. 10.(多选题)下列说法正确的是( ) A.若随机变量 X 服从正态分布 N(1,σ 2 ),P(X≤4)=0.79,则 P(X≤-2)=0.21 B.若 a>0,b>0,(ax+b) 6 的展开式中 x 3 项的系数为 20,则 ab=1 C.若随机变量 X 服从二项分布 X~B(4, 1 4 ),则 E(X)=1 D.有 8 件产品,其中 3 件是次品,从中任取 3 件,若 X 表示取得次品的件数,则 P(X≤1)= 3 5 答案:ABC 解析:对于 A,已知随机变量 X 服从正态分布 N(1,σ 2 ),P(X≤4)=0.79,则正态曲线关 于直线 x=1 对称,可得 P(X>4)=1-0.79=0.21,P(X≤-2)=P(X>4)=0.21,故 A 正确; 对于 B,由二项展开式可得 ab=1,故 B 正确; 对于 C,由于随机变量 X 服从二项分布:X~B(4, 1 4 ). 则 E(X)=4× 1 4 =1,故 C 正确; 对于 D,根据题意得 P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)= C5 3 C8 3 + C5 2C3 1 C8 3 = 10 56 + 30 56 = 5 7 ,故 D 错误
11.如图，已知面积为1的等边三角形ABC三边的中点分别为D,E,F,从 A,B,C,D,E,F六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为X(三点共线 时，规定X=0)则EX)=() A号 B号 c另 答案B 解析由题意知X可取0,1， PKX-0)-=是=品 P(X=)=是= P(X=)=总=品 PK=I)总=六 则0=×+×品+=号 12.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组 区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].从样本成绩不低于80分的 学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上（含90分）的人数为5，则飞的均 值为() ↑频率/组距 0.054 0.01 0.006 405060708090100成绩/分 号 c D 答案B 解析：由频率分布直方图知，3×0.006×10+0.01×10+0.054×10+10x=1,解得x=0.018, ∴.成绩不低于80分的学生人数为(0.018+0.006)×10×50=12，成绩在90分以上（含 90分)的学生人数为0.006×10×50=3
11.如图,已知面积为 1 的等边三角形 ABC 三边的中点分别为 D,E,F,从 A,B,C,D,E,F 六个点中任取三个不同的点,所构成的三角形的面积为 X(三点共线 时,规定 X=0).则 E(X)=( ) A. 11 40 B. 13 40 C. 7 20 D. 9 20 答案:B 解析:由题意知 X 可取 0,1 4 , 1 2 ,1, P(X=0)= 3 C6 3 = 3 20 , P(𝑋 = 1 4 ) = 10 C6 3 = 1 2 , P(𝑋 = 1 2 ) = 6 C6 3 = 3 10 , P(X=1)= 1 C6 3 = 1 20 . 则 E(X)= 1 4 × 1 2 + 1 2 × 3 10 + 1 20 = 13 40 . 12.某班 50 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组 区间是[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].从样本成绩不低于 80 分的 学生中随机选取 2 人,这 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数为 ξ,则 ξ 的均 值为( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 答案:B 解析:由频率分布直方图知,3×0.006×10+0.01×10+0.054×10+10x=1,解得 x=0.018, ∴成绩不低于 80 分的学生人数为(0.018+0.006)×10×50=12,成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生人数为 0.006×10×50=3
∴.飞的可能取值为0,1,2. 由题知P(-0)是=品 P-1)-c PG-2)毫=会 (0=-0x+1品+2×2= 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.盒中有10支螺丝钉，其中3支是坏的，如果现在从盒中不放回地依次抽取两支， 那么在第一支抽取为好的条件下，第二支是坏的概率为 答案号 解析：记事件A为“第一支抽取的螺丝钉是好的”，事件B为“第二支抽取的螺丝钉 是坏的”，则 PM品 P4B)=×2= 109 301 因光PE00-专 14.一台机器生产某种产品，生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利 30元，生产一件次品，要赔20元.已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概 率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期获利 元 答案：37 解析：设生产一件该产品可获利钱数为X,则随机变量X的取值可以是-20,30,50.依 题意X的分布列为 -20 30 50 0.1 0.3 0.6 故E0=-20×0.1+30×0.3+50×0.6=37元 15.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A=a1a2a3a4a5,其中 A的各位数中a1=1,a(k=23,4,5)出现0的概率为出现1的概率为号，且ak出现数 字0,1的结果是相互独立的.记X=a2+a3+a4+a5,当程序运行一次时，X的数学期望 EX)=」 答案号 解析：由题意知X的可能取值为0,12,34，且XB(4,)因此E0=4×子=号 16.一批玉米种子的发芽率是0.8，每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补 种则每穴至少种 粒，才能保证每穴不需补种的概率大于98%.(g 2≈0.3010)
∴ξ 的可能取值为 0,1,2. 由题知,P(ξ=0)= C9 2 C12 2 = 6 11 , P(ξ=1)= C3 1×C9 1 C12 2 = 9 22 , P(ξ=2)= C3 2 C12 2 = 1 22 , ∴E(ξ)=0× 6 11 +1× 9 22 +2× 1 22 = 1 2 . 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.盒中有 10 支螺丝钉,其中 3 支是坏的,如果现在从盒中不放回地依次抽取两支, 那么在第一支抽取为好的条件下,第二支是坏的概率为 . 答案: 1 3 解析:记事件 A 为“第一支抽取的螺丝钉是好的”,事件 B 为“第二支抽取的螺丝钉 是坏的”,则 P(A)= 7 10 , P(AB)= 7 10 × 3 9 = 7 30 , 因此 P(B|A)= 𝑃(𝐴𝐵) 𝑃(𝐴) = 1 3 . 14.一台机器生产某种产品,生产一件甲等品可获利 50 元,生产一件乙等品可获利 30 元,生产一件次品,要赔 20 元.已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概 率分别为 0.6,0.3 和 0.1,则这台机器每生产一件产品平均预期获利 元. 答案:37 解析:设生产一件该产品可获利钱数为 X,则随机变量 X 的取值可以是-20,30,50.依 题意,X 的分布列为 X -20 30 50 P 0.1 0.3 0.6 故 E(X)=-20×0.1+30×0.3+50×0.6=37 元. 15.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数 A=a1a2a3a4a5,其中 A 的各位数中 a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现 0 的概率为1 3 ,出现 1 的概率为2 3 ,且 ak 出现数 字 0,1 的结果是相互独立的.记 X=a2+a3+a4+a5,当程序运行一次时,X 的数学期望 E(X)= . 答案: 8 3 解析:由题意知 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,且 X~B(4, 2 3 ),因此 E(X)=4× 2 3 = 8 3 . 16.一批玉米种子的发芽率是 0.8,每穴只要有一粒发芽,就不需补种,否则需要补 种.则每穴至少种 粒,才能保证每穴不需补种的概率大于 98%.(lg 2≈0.301 0)