哈尔滨工业大学机电学院：《机器人技术——机器人机构学》第六章 机器人静力学和动力学（1/2）

三、动力学研究方法: 1.拉格朗日方程法:通过动、势能变化与广义力的关系,建 立机器人的动力学方程。代表人物 R.P Paul、 J.J. Ticker J.M. Hollerbach等。计算量O(m4),经优化O(m2),递推O(m) 2.牛顿一欧拉方程法:用构件质心的平动和相对质心的转动 表示机器人构件的运动,利用动静法建立基于牛顿—一欧拉方程 的动力学方程。代表人物Orin,Luh(陆养生)等。计算量O(m) 3.高斯原理法:利用力学中的高斯最小约束原理把机器人动 力学问题化成极值问题求解代表人物波波夫(苏).用以解决第 二类问题。计算量O(n3)。 4.凯恩方程法:引入偏速度概念,应用矢量分析建立动力学 方程。该方法在求构件的速度、加速度及关节驱动力时,只进 行一次由基础到末杆的推导,即可求出关节驱动力,其间不必 求关节的约束力,具有完整的结构,也适用于闭链机器人。计 算量O(m!)。 16

16 三、动力学研究方法： 1．拉格朗日方程法：通过动、势能变化与广义力的关系，建 立机器人的动力学方程。代表人物 R.P.Paul、J.J.Uicker、 J.M.Hollerbach等。计算量O(n 4 )，经优化O(n 3 )，递推O(n)。 2．牛顿—欧拉方程法：用构件质心的平动和相对质心的转动 表示机器人构件的运动，利用动静法建立基于牛顿—欧拉方程 的动力学方程。代表人物Orin,Luh(陆养生)等。计算量O(n)。 3．高斯原理法: 利用力学中的高斯最小约束原理,把机器人动 力学问题化成极值问题求解.代表人物波波夫(苏). 用以解决第 二类问题。计算量O(n 3 )。 4．凯恩方程法：引入偏速度概念，应用矢量分析建立动力学 方程。该方法在求构件的速度、加速度及关节驱动力时，只进 行一次由基础到末杆的推导，即可求出关节驱动力，其间不必 求关节的约束力，具有完整的结构，也适用于闭链机器人。计 算量O(n!)

6.3二杆机器人的拉格朗日方程 6.3.1刚体系统拉格朗日方程 应用质点系的拉格朗日方程来处理杆系的问题。 定义:L=KP L-Lagrange函数;K—系统动能之和;P系统势能之和。 系统的动能和势能可在任何坐标系(极坐标系、圆柱坐 标系等)中表示,不是一定在直角坐标系中。 动力学方程为: d aL OL dt da. a 广义力广义速度广义坐标 (力或力矩)(6或v)(0或d) 17

17 ❖ 系统的动能和势能可在任何坐标系（极坐标系、圆柱坐 标系等）中表示 ，不是一定在直角坐标系中。 动力学方程为： 广义力 广义速度 广义坐标 （力或力矩）（ 或 ） （ 或 ） i i i d L L dt q q    = −     v  d 6.3 二杆机器人的拉格朗日方程 应用质点系的拉格朗日方程来处理杆系的问题。 定义：L=K-P L—Lagrange函数；K—系统动能之和；P—系统势能之和。 6.3.1 刚体系统拉格朗日方程

632刚体系统拉格朗日方程 设二杆机器人臂杆长度分别为m,m2,质量 分别集中在端点为d,d2,坐标系选取如图。 以下分别计算方程中各项: 、动能和势能 K=-my h p= mgh 对质点m1: 动能,k?当=假(4日)=m4研 势能:P1=-mgd1cos() 令(负号与坐标系建立有关) g 对质点m2:先写出直角坐标表达式: x2=a1sin(1)+a2sin(61+62) (x2”y2) y2=-dj cos(01-d2 cos(81 +02) 18

18 设二杆机器人臂杆长度分别为 ，质量 分别集中在端点为 d1,d2 ，坐标系选取如图。 m1,m2 以下分别计算方程中各项： 一、动能和势能 2 2 1 K = mv p = mgh 对质点 m1 ： 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 k m v m d m d = =  =   势能： 动能： 1 1 1 1 p m g d = −  cos( )  ❖（负号与坐标系建立有关） 对质点 m2 ： 先写出直角坐标表达式： cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2       = − − + = + + y d d x d d 6.3.2 刚体系统拉格朗日方程 1  1 

对x求导得速度分量: 2= d1 cos(a1)6h1+d2cos(6+2)(6h+62) j2=di sin(8101+d2 sin(81+82( 01+e2) 2=2+12=412+292+2n2+2)+2cos2+) 动能: K2-2 012+m2 202+22+02)+m220(2+62) 势能: P2=-mgd1 cos(e1-m2gd2 cos(01 +22) 二、 Lagrange函数 L=K-P=(k-k2)-(1+P2) (m+)+2(+201+)+m09+B +(m+m2)g·d1os(1)+m2gd2cos(61+2) L(1,62,1,62) 19

19 对 x 求导得速度分量： 1 2) 2 1 ) 2 1 2 cos( 2)( 2 1 2 2 2 2 1 ( 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1sin( 1) 1 2 sin( 1 2)( 1 2) 2 1cos( 1) 1 2 cos( 1 2)( 1 2)                                       = + = + + + + + = + + + = + + + v x y d d d d y d d x d d 动能： 1 2) 2 1 ) 2 1 2 cos( 2)( 2 1 2 2 2 2 1 ( 2 22 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 K2 = m d  + m d  +   + + m d d   +  P2 = −m2gd1cos(1) −m2gd2 cos(1 +2) 势能： 二、Lagrange函数 1 2 1 2 L K P k k p p = − = − − + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 ( ) ( 2 ) cos( )( ) 2 2 = + + + + + + m m d m d m d d          1 2 1 1 2 2 1 2 + +  + + ( ) ( ) cos( ) m m g d s m gd     ( , , , ) 1  2 1  2 = L  

、动力学方程 oL、OdoL、OL 先求第一个关节上的力矩x1飞aa2)-) OL =(m+m2)+m2B+m2422+2m24202)+mh2osB2) OL Mn=【(m+m2)+m2+2m42o)+m2+m241d2o(2)D2 -2m24d2si(2)2-m4sn(2)B2 OL (my+m)gdy sin(81)-m2gd2 sin(81+82) 061 oL、OL dt 061 a6 m1+m2)d2+m2a2+2m2a2cos(2)+[m2+m2d1d2co(,)2 -2m,d, d, sin(02)002-mdd, sin (02)02+(m,+m,)g d, sin(81)+m2g. d, sin(8+e2) (1) 20

20 三、动力学方程 先求第一个关节上的力矩 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 ( )    2 cos( ) cos( )         m m d m d m d m d d m d d L = + + + + +   2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 [( ) 2 cos( )] [ cos( )]     m m d m d m d d m d m d d L dt d = + + + + +   2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 − 2m d d sin( )    − m d d sin( )  ( ) sin( ) sin( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1     = − + − +   m m gd m gd L 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 = + + + + + [( ) 2 cos( )] [ cos( )] m m d m d m d d m d m d d          −   = L L dt d ( ) 1 1  2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 − − + +  +  + 2 sin( ) sin( ) ( ) sin( ) sin( ) m d d m d d m m g d m g d         ——（1） 1 1 1 1 1 ( ( ) ( ) ) d L L d L L dt q q dt        = − = −     1 