信号与系统电来 5.1拉普拉斯变换 4、周期信号f1(t) F(s)=f(test 2T (n+1)7 f(test+l f(tes'dt+ ∑ fr(tedt nt 令t=t+m7∑ e nsT rT f(°=1-d n=0 特例:81(t e 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第5-11页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 5.1 拉普拉斯变换 4、周期信号fT (t) = + − − − − = + + = = 0 2 ( 1) 0 0 ( ) e d ( ) e d ..... ( ) e d ( ) ( ) e d n n T n T s t T T T s t T T s t T s t T T f t t f t t f t t F s f t t − − − = − = − = + = T s t s T T T s t T n nsT t t nT f t t f t t 0 0 0 ( ) e d 1 e 1 令 e ( ) e d 特例：T (t) ←→ 1/(1 – e -sT)
信号与系统电来 5.1拉普拉斯变换 五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系 F(s)=f() e-dt rels>σo F(0)=f()e Jo t dt 要讨论其关系,f(t)必须为因果信号。 根据收敛坐标o的值可分为以下三种情况: (1)∞0<0,即F(S)的收敛域包含jo轴,则f(t的傅里叶 变换存在,并且F(o)=Fs)l-o 如f(t)=el(t)←→F(s)=1/(s+2),o>-2; 则F(o)=1(jo+2) 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第5-12页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 5.1 拉普拉斯变换 五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系 − = 0 F(s) f (t)e dt st Re[s]>0 − − F = f t t t (j ) ( )e d j 要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。 根据收敛坐标0的值可分为以下三种情况： （1）0<0，即F(s)的收敛域包含j轴，则f(t)的傅里叶 变换存在，并且 F(j)=F(s) s=j 如f(t)=e-2t(t) ←→F(s)=1/(s+2) , >-2； 则 F(j)=1/( j+2)
信号与系统电来 5.1拉普拉斯变换 (2)o=0,即F(S)的收敛边界为jo轴, FGO=lm F(s) 0 如f(t)=()←→F(s)=1/s Fgo JO = im +lim 000+J0 000+O 000+O =Tδ(o)+1j0 (3)0>0,F(jo)不存在。 例f(t)=e2ε(←→F(s)}=1/(s-2),σ>2;其傅里叶变 换不存在。 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第5-13页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 5.1 拉普拉斯变换 （2）0 =0，即F(s)的收敛边界为j轴， (j ) lim ( ) 0 F F s → = 如f(t)= (t)←→F(s)=1/s 2 2 0 2 2 0 0 lim lim 1 (j ) lim + − + + = + = → → → j j F = () + 1/j （3）0 >0，F(j)不存在。 例f(t)=e2t(t) ←→F(s)=1/(s –2) , >2；其傅里叶变 换不存在
信号与系统电来 5.2拉普拉斯变换性质 5.2拉普拉斯变换性质 线性性质 若f1()←→F1(s)Rels>1,f2()←→F2(s)Rels>2 Q af,(+a2 f2(*a F(s)+a2 F2(s) Re[sp>max(o1, 02) 例f(t)=8(t)+(t)←→1+1/s,σ>0 二、尺度变换 若f←→F(s),Res>0,且有实数a>0, 则f(at F Rels>ao0 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第5-14页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质 5.2 拉普拉斯变换性质 一、线性性质 若f 1 (t)←→F1 (s) Re[s]>1 , f2 (t)←→F2 (s) Re[s]>2 则 a1 f 1 (t)+a2 f 2 (t)←→a1F1 (s)+a2F2 (s) Re[s]>max(1 ,2 ) 例 f(t) = (t) + (t)←→1 + 1/s， > 0 二、尺度变换 若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0，且有实数a>0 ， 则f(at) ←→ ( ) 1 a s F a Re[s]>a0
信号与系统电来 5.2拉普拉斯变换性质 例:如图信号的拉氏变换F(s)=2(1-e-se") 求图中信号y的拉氏变换Y(S) ft) 解 y(t)=4f(0.5t) Y()=4×2F(2s) 0|12 8e y(t) (1 -2s_2S e 4 2e25 (1-e--2se-) 24 第-1514|4| 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第5-15页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质 例：如图信号f(t)的拉氏变换F(s) = (1 e e ) e 2 s s s s s − − − − − 求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。 0 1 2 1 f(t) t 0 2 4 4 y(t) t 解：y(t)= 4f(0.5t) Y(s) = 4×2 F(2s) ( ) (1 e 2 e ) 2 8e 2 2 2 2 s s s s s − − − = − − (1 e 2 e ) 2e 2 2 2 2 s s s s s − − − = − −