省级精品课程 材料力学 解：由图(b)和（©），D点所在横藏面1-1的剪力和弯矩分别是 0=50KN Mj=25KNm 计算有关数据 010-10-273-1m S"=80×60×50×102=240x106m 故D点的正应力及剪应力 0,420x10x20x10 =14.7MPa拉应力) 27.3×10 0S50×103×240×106 1.b27.3×10°×80×10 =5.49Mpa(方向与Q:同) 围绕D点，用一对横截面、一对纵截面和一对与纸面平行的截面取出一小块材料，并标 出应力T和Cx,根据剪应力互等原理，标出Cy,这就是表示D点的单元体，见图()，图 (c)是单元体的乎面图。 例10-3计算例10-2中单元体的主应力、主平面和极值剪应力。 解：为方便，将前例所得的单元体重画在图(a)中。利用公式(10-3)和(104)求 得主平面位置以及主应力大 La) 例10-3图 -2-549)=0.747 14.7-0 所以a18.4°，108.4 47=+-549 102 =7.35±9.17 16.5 -182 MPa 利用公式(10-6)或(10-7)得极值剪应力大小 ts=士9.1Na 205 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省级精品课程—材料力学 极值剪应力所在的平面与主平面成45°夹角。 然而，文个解答是不完盖的。怀要分折几个问题 首先，由公式(104)求得的只是纸面内的两个主应力。这个单元体的垂直于纸面的正 应力也是一个主应力，其值为零，一点共有三个主应力，且按代数值大小排列。故该单元体 的三个主应力是01=16.5MPa,00,0g-l.82MPa 其次，由公式(106)或(10-7)得到的极值剪应力只是垂直于纸面的平面上的极值剪 应力。一个单元体还有别的极值剪应力，我们将在§104中讨论。 第三，如何判断·mx或所在的平面呢？这里介绍一种判断方法。取一个正方形的 单元体（平面图），分别考虑正应力·x、·,和剪应力x,、不，作用下的伸长方向，然后叠加 这两个伸长方向45°夹角里的某个方向就是0方向，如图9-6所示。根据这个方法，本题 a。=18”为0m方向，见图(b)。在·x=·,的特殊情况下，·m的方向可直接由剪应 力作用下的伸长方向来决定。 AG, 伸长方向 设0>0， 6方向在45°夹角线内 图9-6 第四，由同样的分析知最大剪应力箭头交会的单元体对角线方向就是。的方向。由 此可在图(c)上标出tn和tn方向。 §10.3平面应力状态分析一一图解法 一、应力图 由(10-1)和(10-2)后到，两方程中具有相同的参变量2a。若从中消去2ā，则可 以建立0，和x,的直接联系。为此，将(101)式改写为 a(oo,=子（ro,cos2a-tsin2a 科利用(10-2》式，计算(0.C,十C)+t,得到 2 (0.0,+g4Ca)4 (10-9 2 2 206 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
省领精品课程 一材料力学 对于所研究的单元体，假定a0,和tx为已知量，0，和t,为末知量，则(10-9)代表 坐标系0一：中的圆的方程，该圆的心坐标为巴，0，半径为，@+ 2 2 该圆称为应力圆或莫尔圆。 根据上述原理，只要由已知量·、a,Tx和T,找出圆心坐标和圆的半径，则可以画 出应力圆，下面介绍具体作图方法，设图10-7()的单元体已给定， 第一步，选平面直角坐标每0一t 第二步，按选定的比例尺量取，=0，⑦=T (b) 图10-7 在a一T坐标系中定出D点：再量取OK=o,KD=下，从而定出D点。要注意ty与 Tx的符号是相反的 第三步，联接D和D两点。线段DD与a轴相交于C点.以C为圆心，以CD或D 为半径作圆，见图107(b)。 下面来证明这个圆就是满足方程(109)的应力圆。由图10-7(b),圆心C在横坐标 上，且T(。+。),即圆心C的坐标是(+,0.该圆的半径 2 +。故按以上方法作出的圆就是我们所要求的应力 2 二、应用 利用应力圆求任意斜截面上的应力。 设要确定图10-7(a)所示单元体ū面上的应力。为此，在图10-7(b)所示的应力圆 上，从D点起，按a角的同样转向，沿圆周转动2a圆心角，得E点。E点的横坐标和纵坐 标就是a面上的应力c,和C, 现在来证 这个结论。设，则E点的横坐标 OF=OC+OF 207 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省级精品课程—材料力学 (n)Eeos(2em2a) 之(a+o)*+Zcos2a。eo2a-Tsi配singa ((Deos2a co2CDsin2a)sin2a ()Rcos2a-RDsin2a E点的纵坐标 zr=C元sin2at2a】 -CEsin2 a cos2a+C cos2 a sin2a =(C⑦sin2acos2a+(C元cos2a)sin2a cos2a+(o)sin2a 这正是(10-1)和(10-2)式的表示的，和, 由以上分析还看到，在应用应力圆时一个关键问题是要掌握应力圆上的点与单元体上斜 面的对应关系。 利用应力圆求主平面和主应力， 由图10-7知，应力圆上横坐标轴有两个交点A和A。此两点的纵坐标均为零，即对应 的斜截面上剪应力为零，放A和A对应着单元体的主平面。从K到A为顺时针转动，放 2t. 1824-CR G.-0, 这正是(10-3)式。A和A:的横坐标分别为应力圆圆周上各点横坐标中的最大和最小值，它 就是两个主应力 沉丽o±2+ 2 这正是(10-4)式。因此，只要在应力圆上按比例尺量取和就得到两个主应力的大小，量取 就得到主应力方向2a 应力圆上的最高点B和最低点B的纵坐标分别为最大和最小，因此量取CB得tm,量 取CB得T,即 CB 在应力圆上∠BCA=90”，放在单元体上，T所在的平面与主平面成45°夹角。 208 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)