判断：(1)在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？ (2)在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？ 解：(1)Q=f(亿，K)=ADK f(2L,K)=A(2L(aK)=元4K=1(亿，K),所以.在长期胜产中，该生 产函数属于规模报酬不变。 (②)假定资本的投入量不变，用K表示，L投入量可变， 所以.生产函数Q=A派.这时，劳动的边际产量为M=4L对 -号元<0，说用当声本优用里即定时质香使用的芳动湿的加 劳动的边际产量递减。 同是一，-弓心<0说用：当劳动使用即定 3 dK 时，随着使用的资本量的增加，资本的边际产量递减。 综上。该生产函数受边际报酬递减规律的作用。 5.令生产函数f(L,K)-a+aLK)+aK+aL,其中0≤a≤1i=0,1,2,3。 (1)当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。 (2)证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。 解：(1)根据规模报酬不变的定义fL,入K)=入f(L,K)于是有 f(L,λK)=a+a10LK)12+a2(K)+a30L) =a+Aa1(LK)1n+λaK+λaL =A[ao+al(LK)+aK+a3L]+(1-A)ao =λf(L,K)+(1-λ)a 由上式可见：当=0时，对于任何的入>0，有fL,K)=f(L,K)成立. 即当助=0时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。 (2)在规模报酬不变，即=0时，生产函数可以写成 f (L.K)=al (LK)2+aK+asL 6
6 判断：（1）在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？ （2）在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？ 解：（1） ( ) 1 2 3 3 Q f L K AL K = = , ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 3 3 3 3 f L K A L K AL K f L K , , = = = ,所以，在长期生产中，该生 产函数属于规模报酬不变。 （2）假定资本的投入量不变，用 K 表示， L 投入量可变， 所以，生产函数 1 2 Q AL K = 3 3 ，这时，劳动的边际产量为 2 2 3 3 1 3 MP AL K L − = 5 2 3 3 2 0 9 L dMP AL K dL − = − ，说明：当资本使用量即定时，随着使用的劳动量的增加， 劳动的边际产量递减。 同理， 1 1 3 3 2 3 MP AL K K − = ， 1 4 3 3 2 0 9 K dMP AL K dK − = − ，说明：当劳动使用量即定 时，随着使用的资本量的增加，资本的边际产量递减。 综上，该生产函数受边际报酬递减规律的作用。 5．令生产函数 f（L，K）=a0＋a1(LK)1/2＋a2K＋a3L，其中 0≤ai≤1 i=0，1，2，3。 （1）当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。 （2）证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。 解：（1）根据规模报酬不变的定义 f(λL，λK)=λf（L，K）于是有 f(λL，λK)＝a0＋a1(λL)(λK)1/2＋a2(λK)＋a3(λL) ＝a0＋λa1（LK)1/2＋λa2K＋λa3L ＝λ[a0＋a1(LK)1/2＋a2K＋a3L]＋（1－λ）a0 ＝λf（L，K）＋（1－λ）a0 由上式可见：当 a0＝0 时，对于任何的λ＞0，有 f(λL，λK)=λf（L，K）成立， 即当 a0＝0 时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。 （2）在规模报酬不变，即 a0＝0 时，生产函数可以写成 f（L，K）＝a1（LK)1/2＋a2 K＋a3L
相应地，劳动与资本的边际产量分别为： (.a dL MPe( 可求：PL.-aLa水20.=-} dl dl 显然。劳动和资本的边际产量是递减的。 6.假定某厂商的短明胜产函数为QL,闪，给定生产要素价格P:、P:和产品价格P,且利润mO。 证明：该厂商在短期生产的第一阶段不存在利润最大化点。 证明 D 第1阶段 目阶段：第用阶 不BIAP 0 L2 L L2为区域I的右界点，设厂商的生产函数为Q=fK,),其中L为可变投 入，K为不变投入。由题意，单位产品的价格P和单位生产要素的价格P及PK 都不随产量Q的变化而变化。则利润π=PQ(LPL+KPK)(1) 品品 (2) 因为，T>0,可得PQ>LP+KP (3) 由(3式两边同时除以LP,得： g-AP-+up
7 相应地，劳动与资本的边际产量分别为： MPL(L，K)＝ dL df (L,K) ＝ 2 1 a1L -1/2K1/2＋a3， MPK(L，K)＝ dK df (L,K) ＝ 2 1 a1L 1/2K-1/2＋a2， 可求： dL dMPL (L,K) ＝- 4 1 a1L -3/2K1/2 <0 ， dL dMPK (L,K) ＝- 4 1 a1L 1/2K1-3/2<0 显然，劳动和资本的边际产量是递减的。 6. 假定某厂商的短期生产函数为Q=f(L,K),给定生产要素价格PL 、PK 和产品价格P,且利润π>0。 证明:该厂商在短期生产的第一阶段不存在利润最大化点。 证明 L2为区域Ⅰ的右界点，设厂商的生产函数为 Q=f(K，L)，其中 L 为可变投 入，K 为不变投入。由题意，单位产品的价格 P 和单位生产要素的价格 PL 及 PK 都不随产量 Q 的变化而变化。则利润 π=PQ-(LPL+KPK) (1) d d d d L Q P P L L = − (2) 因为，π＞0，可得 PQ＞LPL+KPK (3) 由(3)式两边同时除以 LP，得： 1 ( ) L K L Q K P P AP L L L P L P = = + p Q D C TPL 第Ⅰ阶段 第Ⅱ阶段 第Ⅲ阶段 B B′ APL MPL C′ O L1 L2 L3 L
又因为在第一区域MPL>APL,所以得 Mp-盟>是AP号>号up4 d 即竖号p=P盟>R→P品P>0 dL 即品0Qcw 这表明利润将随着可变投入L的增加而增加，且在区域I中这一趋势将 一直保持到其右界点（即L=L1时），所以在区域I中不存在使利润最大的点。 7.已知某厂商的固定投入比例的生产函数为Q=min2L,3K。 (1)冷PL=1,PK=3。求厂商为了生产120单位产量所使用的K、L值以及最 小成本。如果要素价格变化为PL=4,Pk=2,厂商为了生产120单位产量所使用 的K、L值以及最小成本又是多少？请予以比较与说明。 (2)令PL=4,PK=3。求C=180时的K、L值以及最大产量 解答：(1)L=3K=120,解得：L=120,K=40,当PL=1,PK=3时，最小成 本C=120+3X40=240 当PL=4,PK=2时，生产120单位产量所使用的K、L值也要满足：L=3K=120, 解得：L=120,K=40。最小成本C=120X4+40X2=560。 虽然生产要素价格变了，但是固定投入比例的生产函数反映生产要素之间比 例是固定的、不存在替代关系，生产要素之间比例是由生产技术决定的，是技术 问题非经济问题，不受生产要素价格的影响。生产一定产量生产要素数量不变。 但是生产要素价格变化，故成本变化了。 (2)由已知可得方程组： 了4L+3K=180 解得L=36,K=12 L=3K 最大产量Q=L=3K=36 8.已知某厂商使用L和K两种要素生产一种产品，其固定替代比例的生产函数为Q4L+3K (1)作出等产量曲线。 (②边际技术替代率是多少？ (3)讨论其规模报研情况
8 又因为在第一区域 MPL＞APL，所以得： MPL d d Q L = ＞ L K L Q K P P AP L P L P = = + > 1 ( ) PL L L P p 即: d d Q L > 1 ( ) PL L L P p P d d Q L >PL P d d Q L ->PL>0 即 d dL >0 (L＜L1) 这表明利润π将随着可变投入 L 的增加而增加，且在区域Ⅰ中这一趋势将 一直保持到其右界点(即 L=L1时), 所以在区域Ⅰ中不存在使利润最大的点。 7. 已知某厂商的固定投入比例的生产函数为 Q=min2L,3K 。 (1)令 PL =1,PK =3。求厂商为了生产 120 单位产量所使用的 K、L 值以及最 小成 本。如果要素价格变化为 PL =4,PK =2,厂商为了生产 120 单位产量所使用 的 K、L 值以及最小成本又是多少? 请予以比较与说明。 (2)令 PL =4,PK =3。求 C=180 时的 K、L 值以及最大产量。 解答：(1)L=3K=120， 解得：L=120， K=40，当 PL =1,PK =3 时，最小成 本 C=120+3X40=240 当 PL =4,PK =2 时，生产 120 单位产量所使用的 K、L 值也要满足：L=3K=120， 解得：L=120， K=40。最小成本 C=120 X4+40 X2=560。 虽然生产要素价格变了，但是固定投入比例的生产函数反映生产要素之间比 例是固定的、不存在替代关系，生产要素之间比例是由生产技术决定的，是技术 问题非经济问题，不受生产要素价格的影响。生产一定产量生产要素数量不变。 但是生产要素价格变化，故成本变化了。 (2) 由已知可得方程组： 4 3 180 3 L K L K + = = 解得 L=36 ，K=12 最大产量 Q=L=3K=36 8. 已知某厂商使用 L 和 K 两种要素生产一种产品, 其固定替代比例的生产函数为 Q=4L+3K。 (1)作出等产量曲线。 (2)边际技术替代率是多少? (3)讨论其规模报酬情况
(4令P=5,Px=3。求C=90时的K、L值以及最大产量 (⑤)令P=3,Px=3。求C=90时的K、L值以及最大产量。 令R=4P=3.求C90时的K、L值以及最大产量 (7)比较(4)、(5)和(6)，你得到什么结论？ 解答：0由生产西数为03K可得长：号- 边际技术代为产量线翻卡能对所以不是个常数 ③)当所有生产要素使用量变动入倍时.fL,λK)=4L+3K=λf(L,K),导 致产量也变动入倍，所以为规模报顾不变。 给定的厂商预算方程（等成本线）5L+3K=90 所对痘的厂育西年维的斜绝对道为片-弓脚所有等产鞋维斜车绝时值小于厂商锅线 的斜率绝对值。 K K 30 30 等成本线 等成本线 等产量线 等产量线 Q Q 03 B (a) B (b) 在此题，厂商的决策原则是厂商预算线（投入成本）既定的情况下， 实现最大的产量。 9
9 (4)令 PL =5,PK =3。求 C=90 时的 K、L 值以及最大产量。 (5)令 PL =3,PK =3。求 C=90 时的 K、L 值以及最大产量。 (6)令 PL =4,PK =3。求 C=90 时的 K、L 值以及最大产量。 (7)比较 (4)、(5)和 (6),你得到什么结论? 解答：(1) 由生产函数为 Q=4L+3K，可得K= 4 3 3 Q − L (2)边际技术替代率为等产量曲线斜率的绝对值，所以MRTSKL= 4 3 ，是个常数。 (3) 当所有生产要素使用量变动λ倍时，f(λL，λK)=4λL+3 λK =λf(L，K)，导 致产量也变动λ倍，所以为规模报酬不变。 (4)本题生产函数边际技术替代率为 MRTSKL= 4 3 ，给定的厂商预算方程（等成本线）5L＋3K＝90 所对应的厂商预算线的斜率绝对值为 5 3 L K P P = ,即所有等产量曲线的斜率绝对值小于厂商预算线 的斜率绝对值。 在此题，厂商的决策原则是厂商预算线（投入成本）既定的情况下， 实现最大的产量。 K 30 A 等成本线 等产量线 Q1 Q2 Q3 2 B（a） L K 30 等成本线 A 等产量线 Q1 Q2 0 B（b） L 1