授课教案 课程名称:工程力学基础 编制日期: 授课日期 第周星期第周星期第周星期第周星期 章节及课题: §2刚体的平衡 §21力偶系 §22力偶系作用下刚体的平衡 教学目的: 1、熟练地计算力对点的矩,理解合力矩定理的意义,并能在计算中应用 2、掌握力偶的基本性质 3、理解力矩的基本性质,弄清力矩和力偶矩的区别。 重点与难点: 装 1、力对点之矩矢的基本性质 教具准备: 教学内容及教学过程 §2刚体的平衡 §21力偶系 几个概念:通过举例的办法引入力偶在实际生产和生活中的应用,1、工厂的钳工套丝、攻丝:2、 汽车驾驶时方向盘的操控…… 力偶 力偶作用面 Mo(F) Mo(F) 力偶臂 力偶系 线 O 力对点的矩矢 1、概念 (如右图所示)转动效应取决于:1、转动的效应的强度取决于力的大小F和力臂h的乘 积Fh:2、转轴的方位由右手定则确定:3、转向 上述要素可以使用一个矢量来表示,即力对点的矩矢,Mo(F) 2、力对点的矩矢的矢量积表示式和解析式 (1)力对点的矩矢的矢量积表示式 矢量积的模 F= rF cosa=h请同学们复习一下有关矢量代数的知识。 矢量表示式 Mo(F)=r×F 教师: 专业主任 第1页共4页
第 1 页 共 4 页 授 课 教 案 课程名称：工程力学基础 编制日期： 授课日期 第周星期 第 周星期 第 周星期 第 周星期 班 级 装 订 线 教师： 专业主任： 章节及课题： §2 刚体的平衡 §2.1 力偶系 §2.2 力偶系作用下刚体的平衡 教学目的： 1、熟练地计算力对点的矩，理解合力矩定理的意义，并能在计算中应用； 2、掌握力偶的基本性质； 3、理解力矩的基本性质，弄清力矩和力偶矩的区别。 重点与难点： 1、力对点之矩矢的基本性质 教具准备： 教学内容及教学过程 §2 刚体的平衡 §2.1 力偶系 几个概念：通过举例的办法引入力偶在实际生产和生活中的应用，1、工厂的钳工套丝、攻丝；2、 汽车驾驶时方向盘的操控…… 力偶 力偶作用面 力偶臂 力偶系 一、力对点的矩矢 1、概念 ⚫ （如右图所示）转动效应取决于：1、转动的效应的强度取决于力的大小 F 和力臂 h 的乘 积 Fh；2、转轴的方位由右手定则确定；3、转向 ⚫ 上述要素可以使用一个矢量来表示，即力对点的矩矢， M F O ( ) 2、力对点的矩矢的矢量积表示式和解析式 （1） 力对点的矩矢的矢量积表示式 ⚫ 矢量积的模 r F rF Fh = = cos 请同学们复习一下有关矢量代数的知识。 ⚫ 矢量表示式 M F r F O ( ) =
(2)力对点的矩矢的解析表示式 F =Fi+Fj+Fk r=xi+ yJ+ ck 力对点O的矩矢为 Mo(F)=r×F=(xi+y+2)×(F2i+Fi+Fi) y (F -=F i+(= -xF)j+(xF -yF)k Fr Fy 力对点的矩矢在坐标轴的投影式 MO(F Mo(F) =:F-xF M(5)1=x;- 3、对点的矩矢的基本性 基本性质:作用于物体上的二力对物体产生任一点的转动 M 效应,应用该点的一个矩矢来度量,这个矩矢等于二力分 别对该点的矩矢的矢量和 Mo(E, Mo(F1 即M=M(F)+M(F2) 几何意义见右图 对于力系(F,F2,F3…F),则有 M=M(F)+M()+…Ma(F)=∑MF) 力矩定理 FR为力系(F1,F2,F3…Fn)的合力,则有 MO(FR=Mo(F)+Mo(E)+.Mo(F) M(F)=∑M(F)即系合力对任一点的矩矢,等于诸力对同一点力的矩矢的矢量和 称之为合力矩定理 上述问题如果为平面问题,则可以转化为代数问题,即力系中各力的作用线在同一平面内 M(F)=∑Mn(F 、力对轴的矩 1、概念 在研究力对刚体所产生的绕某轴转动的效应,则涉 第2页共
第 2 页 共 4 页 （2）力对点的矩矢的解析表示式 j k j k F F i F F x y z r xi y z = + + = + + 力对点 O 的矩矢为 O ( ) ( ) ( ) M F r F xi yi zi F i F i F i = = + + + + x y z ( ) ( ) ( ) z y x z y x x y z i j k x y z yF zF i zF xF j xF yF k F F F = = − + − + − 力对点的矩矢在坐标轴的投影式： ( ) ( ) ( ) O x y x O x y y O x y z M F yF zF M F zF xF M F xF yF = − = − = − 3、 对点的矩矢的基本性 ⚫ 基本性质：作用于物体上的二力对物体产生任一点的转动 效应，应用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢等于二力分 别对该点的矩矢的矢量和。 即 1 2 M M F M F o o o = + ( ) ( ) ——几何意义见右图 ⚫ 对于力系 ( , , ...... ) F F F F 1 2 3 n ，则有 1 2 o o o o o ( ) ( ) ...... ( ) ( ) M M F M F M F M F = + + = n 4、 力矩定理 FR 为力系 ( , , ...... ) F F F F 1 2 3 n 的合力，则有 1 2 o R o o o ( ) ( ) ( ) ...... ( ) M F M F M F M F = + + n M F M F o R O ( ) = ( ) 即力系合力对任一点的矩矢，等于诸力对同一点力的矩矢的矢量和， 称之为合力矩定理。 上述问题如果为平面问题，则可以转化为代数问题，即力系中各力的作用线在同一平面内 M ( ) M o R O F F = ( )。 二、力对轴的矩 1、 概念 在研究力对刚体所产生的绕某轴转动的效应，则涉
及到此方面的问题,如开门和关门等。 如P27图2-7的转动曲轴,可以将空间任意力F分解为F1、F2,其中前者平行于Z轴,后者垂直 于Z,只有后者才能产生转动效应,前者是不会产生转动效应的。这个转动效应可以有F2对点A的 矩M4(F2)来度量,并称之为力F对轴O之矩,记作Mz(F),即 M,(F=MA(E) 力对轴之矩等于力在垂直于该轴平面上的投影对该轴与平面交点之短「为代数式,不是矢量式 注意与力对点子矩的区别] 力对坐标轴之矩 如图所示,根据力对坐标的矩矢,可以得出以下表达式 M, (F)=Mo(F)=Mo(Fx)+Mo(Fy)=-yF+xF 3、力对点之矩与力对轴之矩的关系 M(F)]2=M,( M,(F=yFz-ZF 大家注意,将此式与力对点 [Mo(Fl,=M, (F)SS M, (F)=ZF-XF 之矩在坐标轴上的投影式的 IMo(F) =M(F)Mz(F)=XFY-yF 比较,二者完全一致。 力偶矩矢 如图所示,有 M=MO(F)+Mo(F) M=rAxF+B×F’=rAXF一rBxF=(4-rB)×F=rBxF 从上述式子中可以看出,力偶矩矢与O点的位置无关,因此力偶矩矢是自由矢量 矢量式 BA×F=Fd 解析式M=Mi+M,j+Mk 四、力偶的等效条件和性质 1、力偶的等效条件 条件:力偶矩矢相等。 第3页共4页
第 3 页 共 4 页 及到此方面的问题，如开门和关门等。 如 P27 图 2—7 的转动曲轴，可以将空间任意力 F 分解为 F1、F2 ，其中前者平行于 Z 轴，后者垂直 于 Z，只有后者才能产生转动效应，前者是不会产生转动效应的。这个转动效应可以有 F2 对点 A 的 矩 M F A ( )2 来度量，并称之为力 F 对轴 OZ之矩，记作 M F Z ( ) ，即 M (F) M (F ) Z A 2 = ——力对轴之矩等于力在垂直于该轴平面上的投影对该轴与平面交点之矩。[为代数式，不是矢量式， 注意与力对点子矩的区别] 2、 力对坐标轴之矩 如图所示，根据力对坐标的矩矢，可以得出以下表达式： M ( ) M ( ) M ( ) M ( ) xy x y Z O O O x y F F F F yF xF = = + = − + ………… 3、 力对点之矩与力对轴之矩的关系 [M ( )] M ( ) [M ( )] M ( ) [M ( )] M ( ) O x x O y y O z z F F F F F F = = = x Z y y x z y x M (F) yF ZF M (F) zF xF Mz(F) xF yF = − = − = − 大家注意，将此式与力对点 之矩在坐标轴上的投影式的 比较，二者完全一致。 三、力偶矩矢 如图所示，有 M M F M F = + O O ( ) ( ') M r F r F r F r F r r F r F = + = − = − = A B A B A B BA ' ( ) 从上述式子中可以看出，力偶矩矢与 O 点的位置无关，因此力偶矩矢是自由矢量。 ⚫ 矢量式： M r F Fd = = BA ⚫ 解析式 M M i M j M k = + + x y z 四、力偶的等效条件和性质 1、 力偶的等效条件 条件：力偶矩矢相等
2力偶的性质 性质一力偶不能与一个力等效(即力偶无合力,力偶对刚体只产生转动效应,而力对刚体产生平秘 國移动效应,显然二者作用效应不同,不能互相平衡,即力偶只能由力偶来平徇},因此也不能与 个力平衡。 性质二力偶可在作用面内任意转动,或平移 到另一平行平面,而不改变对刚体的作用效应 性质三保持力偶的转向和力偶矩的大小不 变,力偶中的力和力臂的大小可以改变,而不 会改变对刚体的作用效应。 五、力偶系的合成 如图所示,讲清力偶合成的思路 M1→(F1, ,F1)→>(F3,F3) M2→(F2,F'2)→>(F4,F'4) 其作用效果完全等效,根据力偶矩的定义,有 M =bAX F rBA (F3+F4 =M1+M 可见,两个力偶合成的结果得到一个合力偶合力偶的力偶矩矢的等于此二力偶的力偶矩矢的矢量和。 同样可将上述结论推而广之,可以得到力偶系的合成结论,即 矢量式:M=M1+M2+…+Mn=∑M 解析式: M=√∑M)+M,)+∑M尸 ,COS(MR,D ∑ §2.1力偶系作用下刚体的平衡 1、矢量式∑M=0 M3=0 2、解析式 0 3、应用举例P28~30例题2-1、2-2 决此类问题的关键在于利用力偶的性质:力偶只能由力偶平衡,从而简化受力分楣 第4页共4页
第 4 页 共 4 页 2 力偶的性质 性质一 力偶不能与一个力等效（即力偶无合力，力偶对刚体只产生转动效应，而力对刚体产生平移 或移动效应，显然二者作用效应不同，不能互相平衡，即力偶只能由力偶来平衡），因此也不能与一 个力平衡。 性质二 力偶可在作用面内任意转动，或平移 到另一平行平面，而不改变对刚体的作用效应。 性质三 保持力偶的转向和力偶矩的大小不 变，力偶中的力和力臂的大小可以改变，而不 会改变对刚体的作用效应。 五、力偶系的合成 如图所示，讲清力偶合成的思路 1 1 3 3 1 2 2 4 4 2 ( , ' ) ( , ' ) ( , ' ) ( , ' ) M F F F F M F F F F → → → → 其作用效果完全等效，根据力偶矩的定义，有 3 4 3 4 1 2 ( ) BA BA BA BA M r F r F F r F r F M M = = + = + = + 可见，两个力偶合成的结果得到一个合力偶，合力偶的力偶矩矢的等于此二力偶的力偶矩矢的矢量和。 同样可将上述结论推而广之，可以得到力偶系的合成结论，即 矢量式： M M M M M = + + + = 1 2 ...... n 解析式： 2 2 2 R x y z x k y R R R R R R M ( M ) ( M ) ( M ) M M M cos(M ,i) ,cos(M ,j) ,cos(M ,k) M M M = + + = = = §2.1 力偶系作用下刚体的平衡 1、 矢量式 M 0 = 2、 解析式 x y z M =0 M 0 M 0 = = 3、 应用举例 P28~30 例题 2-1、2-2 解决此类问题的关键在于利用力偶的性质：力偶只能由力偶平衡，从而简化受力分析