cos e cos e den= πEa1r+ dEp在垂直于平面上的分量dE1= dEp cos b de,= 12 4 d El 题8-8图 由于对称性,P点场强沿OP方向,大小为 42r Ep=4×dE 4tE0( +P+2 q E 4: 41-方向沿O 8-9(1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿 过立方体的一个面的电通量:(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个 顶点上,这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示,在 点电荷q的电场中取半径为R的圆平面.q在该平面轴线上的A点处,求: 通过圆平面的电通量.(a= arctan-)
2 1 cos = −cos ∴ 4 2 4π d 2 2 2 2 0 l r l l r EP + + = EP d 在垂直于平面上的分量 dE⊥ = dEP cos ∴ 4 2 4 4π d 2 2 2 2 2 2 0 l r r l r l r l E + + + ⊥ = 题 8-8 图 由于对称性， P 点场强沿 OP 方向，大小为 2 ) 4 4π ( 4 4 d 2 2 2 2 0 l r l r lr EP E + + = ⊥ = ∵ l q 4 = ∴ 2 ) 4 4π ( 2 2 2 2 0 l r l r qr EP + + = 方向沿 OP 8-9 (1)点电荷 q 位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿 过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个 顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在 点电荷 q 的电场中取半径为R的圆平面． q 在该平面轴线上的 A 点处，求： 通过圆平面的电通量．( x R = arctan )
解:(1)由高斯定理5Ed= 立方体六个面,当q在立方体中心时,每个面上电通量相等 ∴各面电通量Φ=q 68 (2)电荷在顶点时,将立方体延伸为边长2a的立方体,使q处于边长2a的 立方体中心,则边长2a的正方形上电通量Φ=9 对于边长a的正方形,如果它不包含q所在的顶点,则。=9 如果它包含q所在顶点则Φ。=0 如题8-9(a)图所示.题8-9(3)图 题8-9(a)图 题8-9(b)图 题8-9(c)图 (3)∵通过半径为R的圆平面的电通量等于通过半径为√R2+x2的球冠面 的电通量,球冠面积* S=2m(R2+x2) R2+x2 40 9[1 E04x(R2+x2)2 *关于球冠面积的计算:见题8-9(c)图
解: (1)由高斯定理 0 d q E S s = 立方体六个面，当 q 在立方体中心时，每个面上电通量相等 ∴ 各面电通量 6 0 q e = ． (2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长 2a 的立方体，使 q 处于边长 2a 的 立方体中心，则边长 2a 的正方形上电通量 6 0 q e = 对于边长 a 的正方形，如果它不包含 q 所在的顶点，则 24 0 q e = ， 如果它包含 q 所在顶点则 e = 0． 如题 8-9(a)图所示．题 8-9(3)图 题 8-9(a)图 题 8-9(b)图 题 8-9(c)图 (3)∵通过半径为 R 的圆平面的电通量等于通过半径为 2 2 R + x 的球冠面 的电通量，球冠面积* 2π( )[1 ] 2 2 2 2 R x x S R x + = + − ∴ 4π( ) 2 2 0 0 R x q S + = 2 0 q = [ 2 2 1 R x x + − ] *关于球冠面积的计算：见题 8-9(c)图
2rsna·rd =2r2sna·d 2T(I-cosa) 8-10均匀带电球壳内半径6cm,外半径10cm,电荷体密度为2×10-5C·m 求距球心5cm,8cm,12cm各点的场强 解:高斯定理E·dS= ∑ ,E472= 当r=5cm时,∑q=0,E=0 r=8cm时 ∑ 4 ≈348×104N.C-1,方向沿半径向外 =12cm时 E 4.10×10N·C-沿半径向外 4πEr 8-11半径为R1和R2(R2>R1)的两无限长同轴圆柱面,单位长度上分别 带有电量和-,试求:(1)r≤R1;(2)R1<r<R2:(3)r>R2处各点 的场强 解:高斯定理「Ed=2q 取同轴圆柱形高斯面,侧面积S=2兀l 则 fE.dS=E2Trl
= 0 S 2πrsin rd = 0 2 2πr sin d 2π (1 cos ) 2 = r − 8-10 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2× 5 10 − C·m -3 求距球心5cm，8cm ,12cm 各点的场强． 解: 高斯定理 0 d = q E S s , 0 2 4π = q E r 当 r = 5 cm 时， q = 0 , E = 0 r = 8 cm 时， q 3 4π = p 3 (r ) 3 − r内 ∴ ( ) 2 0 3 2 4π 3 4π r r r E − 内 = 4 3.4810 1 N C − ， 方向沿半径向外． r = 12 cm 时, 3 4π q = − 3 (r外 r内 3） ∴ ( ) 4 2 0 3 3 4.10 10 4π 3 4π − = r r r E 外 内 1 N C − 沿半径向外. 8-11 半径为 R1 和 R2 ( R2 ＞ R1 )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别 带有电量 和- ,试求:(1) r ＜ R1 ；(2) R1 ＜ r ＜ R2 ；(3) r ＞ R2 处各点 的场强． 解: 高斯定理 0 d = q E S s 取同轴圆柱形高斯面，侧面积 S = 2πrl 则 E S E rl S d = 2π
对(1) R∑q=0,E=0 R<r<R2∑q=1 E 沿径向向外 2 r>R2∑q=0 E=0 题8-12图 8-12两个无限大的平行平面都均匀带电,电荷的面密度分别为G1和2 试求空间各处场强 解:如题8-12图示,两带电平面均匀带电,电荷面密度分别为1与a2, 两面间,E=1 (o,-o2)n G1面外,E (1+2 面外,E=~(σ1+O2n 万:垂直于两平面由G1面指为G2面 8-13半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为p,若在球内挖去一块半 径为r<R的小球体,如题8-13图所示.试求:两球心O与O点的场强, 并证明小球空腔内的电场是均匀的 解:将此带电体看作带正电p的均匀球与带电-P的均匀小球的组合,见 题8-13图(a
对(1) R1 r q = 0,E = 0 (2) 1 R2 R r q = l ∴ r E 2π 0 = 沿径向向外 (3) R2 r q = 0 ∴ E = 0 题 8-12 图 8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为 1 和 2 ， 试求空间各处场强． 解: 如题 8-12 图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为 1 与 2 ， 两面间， E n ( ) 2 1 1 2 0 = − 1 面外， E n ( ) 2 1 1 2 0 = − + 2 面外， E n ( ) 2 1 1 2 0 = + n ：垂直于两平面由 1 面指为 2 面． 8-13 半径为 R 的均匀带电球体内的电荷体密度为 ,若在球内挖去一块半 径为 r ＜ R 的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心 O 与 O 点的场强， 并证明小球空腔内的电场是均匀的． 解: 将此带电体看作带正电 的均匀球与带电 − 的均匀小球的组合，见 题 8-13 图(a)．