167量子力学对氢原子问题的处理 氢原子的薛定谔方程 氢原子带电系统的势能为: 其定态薛定谔方程为: wv+&7-meX4TGOr) 用球坐标(7O9)代替直角坐标(x=)
16.7 量子力学对氢原子问题的处理 一、氢原子的薛定谔方程 氢原子带电系统的势能为： 其定态薛定谔方程为 ： V = 4πε r e 2 o 用球坐标 ( r ,θ ,φ ) 代替直角坐标（x,y,z) ( ) 0 0 2 2 2 4 2 8 + + = r e h m E
x=rsing conp 电子 y=rsirg sin Z=rcos 原子核 (r:电子到核的距离) 在球坐标中的薛定谔方程为: y osm 6 y r2sin0 a8 06 ayt h 8m(E+ r-sin-0 d 4兀Ear
x y z θ φ r 电子 原子核 在球坐标中的薛定谔方程为： x =r sinθ cosφ y =r sinθ sinφ z = cosθ r ( r：电子到核的距离）
设波函数为:y(r)=R(r)(yp() 代入上述球坐标下的薛定谔方程,用分离变量法求解 在求解过程中,根据波函数必须满足的标准化条件,自然 地(而不是作为假设条件提出)得出了量子化的结果 dR、.2m 1e2、l(l+1) 121 (r2)+[2(E dr dr 4兀o 2]R=0 (Sin 8 o +[(+1) Q=0 sine de d sine
设波函数为: 代入上述球坐标下的薛定谔方程,用分离变量法求解. 在求解过程中,根据波函数必须满足的标准化条件,自然 地(而不是作为假设条件提出) 得出了量子化的结果. 2 2 2 2 2 0 2 2 1 2 1 ( 1) ( ) [ ( ) ] 0 4 1 (sin ) [ ( 1) ] 0 sin sin l d dR m e l l r E R r dr dr r r d d m l l d d + + + − = + + =
方位角满足的方程dΦ2 +mΦ=0 其通解: Φn1()=Aem,m=0,±1,+2, 由于波函数必须是单值的em=Aem(+2x) A由归一化条件 求出:
方位角满足的方程 其通解: 由于波函数必须是单值的 A 由归一化条件 求出： 1 2 A =
二、三个量子数 能量量子化和主量子数 求解波函数的径向部分方程,得到 1 me4 En=n2861 13.6e,n=1.2.3. h n:主量子数 角动量量子化和角量子数 求解波函数的角函数方程和径向方程,得到
二 、三个量子数 1、能量量子化和主量子数 求解波函数的径向部分方程，得到 n:主量子数 2、角动量量子化和角量子数 求解波函数的角函数方程和径向方程 ，得到 4 2 2 2 2 0 1 1 ( ) 13.6 , 1,2,3,.... 8 n me E eV n n h n = − = − =