(3)Bose-Einstein统计和Fermi-Dirac统计 1924年以后有了量子力学，使统计力学中力学的基础发生改变，随之统计的方法也有改 进，从而形成了Bose-Einstein统计和Fermi-Dirac统计，分别适用于不同系统。但这两种统 计在一定条件下通过适当的近似，可与Boltzmann统计得到相同结果。 (一)定位系统的能量分布和微观状态函数 1、系统的能量分布 【例愿1】设有三个独立直线谐振子U8=加，求各能级上的粒子分布方式。 17 解析：限制条件：N=∑N,U=∑6： hm,(n=1,2,3.) 分布类型 A B C ≤=加 a b c 2 -加 a b c 2 622 abc b c a 1 bc ac ab c a b 微态数(t) C3=3 CC2=3 CCC=6 可以看出，所谓的某一种能量分布方式，指N、U一定时，系统中每个能级上各有多少个粒 子：某一能级上的微观状态数指宏观上实现某种能量分布可能具有的所有分布方式。 【例题2】设有一个由三个定位的单维简谐振子组成的系统，这三个振子分别在各自的位置 11 上振动，系统的能量为。v。试求系统的全部可能的微观状态数。 ) 【解析】谐振子的能量ε n+2h,n=l2,3。设：粒子的总数为N,总能量为E, 则粒子在各能级上的分布满足：∑N,=N,】 ∑6，=6 则满足上述两个条件的三个单维谐振子按照下列四种能量分配方式分配至各能级： 7 能级能量 微态数(t) 方式1 1 3 方式2 6 方式3 2 方式4 2 3 2=∑4，=15 能级上的微粒数 N N N2 N3 N 6
6 （3）Bose-Einstein 统计和 Fermi-Dirac 统计 1924 年以后有了量子力学，使统计力学中力学的基础发生改变，随之统计的方法也有改 进，从而形成了 Bose-Einstein 统计和 Fermi-Dirac 统计，分别适用于不同系统。但这两种统 计在一定条件下通过适当的近似，可与 Boltzmann 统计得到相同结果。 （一） 定位系统的能量分布和微观状态函数 1、 系统的能量分布 【例题 1】设 有三个独立直线谐振子 9 2 U hr 总 = ，求各能级上的粒子分布方式。 解析：限制条件： i i i i i i N N U ＝ ＝ ； 能级能量： ( ) 1 1 1 2 3... 2 2 n n hr n = + = ， ，， 分布类型 A B C 3 7 2 = hr a b c 2 5 2 = hr a b c 1 3 2 = hr abc b c a 0 1 2 = hr bc ac ab c a b 微态数（ti） 1 3 C = 3 1 2 3 2 C C = 3 1 1 1 3 2 1 C C C = 6 可以看出，所谓的某一种能量分布方式，指 N、U 一定时，系统中每个能级上各有多少个粒 子；某一能级上的微观状态数指宏观上实现某种能量分布可能具有的所有分布方式。 【例题 2】设有一个由三个定位的单维简谐振子组成的系统，这三个振子分别在各自的位置 上振动，系统的能量为 11 2 h 。试求系统的全部可能的微观状态数。 【解析】谐振子的能量 1 1 2 3 2 n h n = + = ， ，， 。设：粒子的总数为 N ，总能量为 ， 则粒子在各能级上的分布满足： i i N N= , i i = 则满足上述两个条件的三个单维谐振子按照下列四种能量分配方式分配至各能级： 能级能量 1 2 h 3 2 h 5 2 h 7 2 h 9 2 h 11 2 h 微态数 (t i) 方式 1 1 2 3 方式 2 1 1 1 6 方式 3 2 1 3 方式 4 2 1 3 能级上的微粒数 N0 N1 N2 N3 N4 N5 15 i i = = t
(1)方式1：N。=1,N2=2,微态数4 31 12! =3 (2)方式2：N。=1,N,=1,N,=1,微态数4=3引 =6 1l1！ 3 (3)方式3：N。=2,N4=1,微态数12= =3 2.1！ 3 (4)方式2：N。2,N,=1,微态数6=2=3 所以，满足条件的系统的微观状态数微：2=∑1，=15 2、系统中某一能量分布类型的微观状态数(t) 简并度：能量是量子化的，但每一个能级上可能有若干个不同的量子状态存在，反映在光谱 上就是代表某一能级的谱线常常是由好几条非常接近的精细谱线所构成。量子力学中把能级 可能有的微观状态数称为该能级的简并度，用符号g,表示。简并度亦称为退化度或统计权 重。 h2 例如，气体分子平动能的公式为：6= 8m2sr++) 当6= 6h2 8mr2万时，君+片+n=6 n y n. 1 1 2 2 1 1 1 2 系统具有三种可能的状态，是简并的：8，=3 （1)非简并能级上分布的徹态数 非简并能级：每一个能级只有一个量子状态相对应。 =C=3 tg=CC2=3 一个由N个可区分的独立粒子组成的宏观系统(U,V,N为定值)，在量子化的能级上 可以有多种不同的分配方式。 设其分配方式为： 能级： 6,62,63,，6 一种分布方式：N,N2,N,,N 另一种分布方式： Np N2,Na,..,N ……………… >
7 （1）方式 1： N0 =1， N2 ＝2，微态数 1 3 3 1 2 t = = ！ ！！ （2）方式 2： N0 =1， 1 N =1， 3 N =1 ，微态数 1 3 6 111 t = = ！ ！！！ （3）方式 3： N0 ＝2， N4 ＝1，微态数 2 3 3 2 1 t = = ！ ！！ （4）方式 2： N0 =2， 2 N =1 ，微态数 3 3 3 2 1 t = = ！ ！！ 所以，满足条件的系统的微观状态数微： 15 i i = = t 2、 系统中某一能量分布类型的微观状态数（t） 简并度：能量是量子化的，但每一个能级上可能有若干个不同的量子状态存在，反映在光谱 上就是代表某一能级的谱线常常是由好几条非常接近的精细谱线所构成。量子力学中把能级 可能有的微观状态数称为该能级的简并度，用符号 i g 表示。简并度亦称为退化度或统计权 重。 例如，气体分子平动能的公式为： 2 222 2/3 ( ) 8 i x y z h nnn mV = + + 当 2 2/3 6 8 i h mV = 时， 222 6 x y z nnn + + = x y z n n n 1 1 2 2 1 1 1 2 1 系统具有三种可能的状态，是简并的： 3 i g = （1） 非简并能级上分布的微态数 非简并能级：每一个能级只有一个量子状态相对应。 1 3 3 A t C= = 1 2 3 2 3 B t C C = = 一个由 N 个可区分的独立粒子组成的宏观系统（U，V，N 为定值），在量子化的能级上 可以有多种不同的分配方式。 设其分配方式为： 1 2 3 1 2 3 ' 1 2 3 , , , i i i N N N N N N N N ' ' ' 能级： ， ， ， 一种分布方式： ， ， ， 另一种分布方式： ， ， ， ……………
任意一种分布方式，都必须满足如下两个条件：∑N,=N∑N,=U 模型：这种分布的微态数相当于将N个不同的球在两个限制条件下分成若干不同的堆，根 据排列组合公式，有： 1=CwCy…= N! (N-N)! N! N! N!(N-N)!N,!(N-N-N2 ) N,IW2.ΠN （2)有简并度时定位系统的徽态数 设：有N个粒子分布在不同的能级上，则 能级：6,62，… 各能级简并度：8,82，，8 一种分配方式N,N2,,N 先从N个分子中选出N1个粒子放在8，能级上，有C心种取法： 但6能级上有g个不同状态，每个分子在6能级上都有g种放法，所以共有g种放法： 这样将N1个粒子放在￡，能极上，共有g·C心种微态数。依次类推，这种分配方式的微态 数为： NIN-N )N-N) 1=(8.C%X8C)…=gM N2!(N-N-N2)! =g4…g20… N! NIN2…NI 叩 限制条件仍为： ∑N,=N ∑N6,=U (3)系统总的微观状态数 A、能级非简并：2=习 t= ∑N=N IN ∑N=-U NiE-U R、能级简并：0r门=ΣN彩 (二)最概然分布的微态数和Maxwell-一Boltszmann分布定律 每种分配的t,值各不相同，但Boltzmann认为其中有一项的值最大，在粒子数N足够多 的宏观系统中，可以近似用1m来代表所有的微观数，这就是最概然分布（均匀分布），统计 学原理可以证明，当N很大时，实际的2近似等于最概然分布的微态数m,其他分布对2 的贡献可以忽略不计。即S=kln2=kIntm
8 任意一种分布方式，都必须满足如下两个条件： i i N N= i i i N U = 模 型：这种分布的微态数相当于将 N 个不同的球在两个限制条件下分成若干不同的堆，根 据排列组合公式，有： 1 2 1 N N N N N t C C = − 1 1 1 2 1 2 ! ( )! !( )! !( )! N N N N N N N N N N − = − − − 1 2 ! ! ! ! !i i N N N N N = = （2）有简并度时定位系统的微态数 设：有 N 个粒子分布在不同的能级上，则 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , i i i g g g N N N 能级: 各能级简并度: 一种分配方式 先从 N 个分子中选出 N1 个粒子放在 1 能级上，有 N1 CN 种取法； 但 1 能级上有 1 g 个不同状态，每个分子在 1 能级上都有 1 g 种放法，所以共有 1 1 N g 种放法； 这样将 N1 个粒子放在 1 能极上，共有 1 1 1 N N N g C 种微态数。依次类推，这种分配方式的微态 数为： 1 1 2 2 1 1 2 ( )( ) N N N N N N N t g C g C = − 1 2 1 1 2 1 2 1 2 ! ( )! !( )! !( )! N N N N N g g N N N N N N N − = − − − 1 2 1 2 1 2 i ! ! ! ! N N N g g N N N = ! ! Ni i i i g N N = 限制条件仍为： i i i i i N N N U = = （3）系统总的微观状态数 A、能级非简并： ! ! i i i i i i i i i i i N N N N i i N U N U N t N = = = = = = B、能级简并： ( , , ) ! ! Ni i i i i g U V N N N = (二)最概然分布的微态数和 Maxwell－Boltszmann 分布定律 每种分配的 i t 值各不相同，但 Boltzmann 认为其中有一项的值最大，在粒子数 N 足够多 的宏观系统中，可以近似用 m t 来代表所有的微观数，这就是最概然分布（均匀分布），统计 学原理可以证明，当 N 很大时，实际的 近似等于最概然分布的微态数 m t ，其他分布对 的贡献可以忽略不计。即 m S k k t = = ln ln
(N,:最概然分布时，能级6上的粒子数)，N,=? 其本质上是求条件极值，在两个限制条件下，找出一种合适的分布，才能使t有极大值，在 数学上就是求条件极值的问题，用Lagrange乘因子法求极值即： G=∑N,-N H=∑N6,-U 满足∑N=N,∑N,e=U 将上式取对数，并用Stirling公式(ln!=NlnN-N)展开： lnt=lnW+∑(Nng,-n,构造函数Z=lnt+aG+BH求极值。 令 OZ =Olnt +a G+ H-0 -+B aN aNaN aN, ab-及（Nng-nN9=lng-nN-1+I=h是， a-1, aH aN,aN aN. aN. = 则n总+a+Be,=0ln=-(a+BE,),a和B是Lagrange乘因子法中引进的待 N N 定因子。 故最概然分布时任意能级G上的粒子数：N=g,e+% 则N=∑N-∑g,e+所=e∑ges 1 可证明B=一 ·则 =8,e7 乙8，es N=Nge-anr 8，e i 令q=∑g,ew-— 粒子的配分函数 则N=8e (简并) N=Ne 5tT (非简并) Boltzmann最概然分布公式 9 即粒子的总数和总能量一定时粒子的最概然分布重各能级上的粒子分布数目的表达式。 说明： 9
9 而 * * ! ! Ni i m i i g t N N = （ * Ni ：最概然分布时，能级 i 上的粒子数）， * Ni ＝？ 其本质上是求条件极值，在两个限制条件下，找出一种合适的分布，才能使 t 有极大值，在 数学上就是求条件极值的问题，用 Lagrange 乘因子法求极值即： * * ! ! Ni i m i i i i i i i g t N N G N N H N U = = − = − , i i i i i 满足 N N N U = = 将上式取对数，并用 Stirling 公式（ ln ln N N N N ！= − ）展开： ln ln ln ln t N N g N = + − ！ ( i i i！)，构造函数 Z t G H = + + ln 求极值。 令 ln 0 i i i i Z t G H N N N N = + + = 因 ( ) ln ln ln ln ln 1 1 ln i i i i i i i i i t g N g N g N N N N = − − ！＝ －＋＝ ， 1 i G N = ， i i H N = 则 i ln 0 i i g N ＋ ＋ ＝ ln ( i) i i g N ＝－ ＋ , 和 是 Lagrange 乘因子法中引进的待 定因子。 故 最概然分布时任意能级 i 上的粒子数： i i N e ＋ ＝ i g 则 i i i i i i i i N N g e e g e = ＝ ＋ ＝ 可证明 1 kT = − 则 * / i / i g g i i kT i kT i N e N e = － － / * i / i g g i i kT i kT i N e N e = － － 令 / i g i kT i q e = － ―――粒子的配分函数 则 / * i g i kT i N e N q = － （简并） / * i kT i Ne N q − = （非简并）――――――Boltzmann 最概然分布公式 即粒子的总数和总能量一定时粒子的最概然分布重各能级上的粒子分布数目的表达式。 说明：