对视平面上的点(a,b),对应齐次坐标(a,b,f)的N矢量为m +b-+f A 对视平面上的直线Ax+By+C=0,的N矢量为n= B A2+B2+(C/f) f 33透视变换 X X P(X, Y Z 33) 齐次坐标的几何意义:各项同乘一系数,可 理解为同一视线上的点 命题3.2视平面上的点P的N矢量m是由视点O 指向空间中P点的单位矢量。 显然,证略 图35点的透视变换关系
对视平面上的点(a,b) ，对应齐次坐标(a,b, f )的N矢量为 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ + + = f b a a b f m 2 2 2 1 对视平面上的直线Ax + By + C = 0，的N矢量为 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ + + = C f B A A B C f n 2 2 2 ( ) 1 O X Y Z P X Y Z x o y ( , , ) m f 3.3 透视变换 ï î ï í ì = = Z Y y f Z X x f (3.3) 齐次坐标的几何意义：各项同乘一系数,可 理解为同一视线上的点 命题3.2 视平面上的点P的N矢量m是由视点O 指向空间中P点的单位矢量。 显然，证略 图3.5 点的透视变换关系
命题3.3视平面上的直线的N矢量n是由视点O与直线所决定的平面的单位法矢量 [证明]将空间投影关系带入直线方程 n1x+n2y+nf=0有 .+nZ=0 Z n X n2|·Y|=0 n 即(n1n2n)垂直与平面(34由视点O与直线 所决定的平面)上的点[证毕 图36直线N矢量的解释 宇义31一条空间直线上的无穷远线素集在视平面上所形成的收敛点称为消失点。 空间平面的无穷远面素集在视平面上所形成的收敛线称为消失线。 车视觉坐标系中,N矢量不仅可以用来代表射线的方向和平面的法线方向,而且也可 以用来说明消失点和消失线。 宇理31方向或单位矢量为m的空间直线在视平面上形成的投影直线的消失点的N矢量
命题3.3 视平面上的直线l的N矢量n是由视点O与直线l所决定的平面的单位法矢量。 O X Y Z x o y n l [ 证 明 ]: 将空间投影关系带入直线方程 l n x n y n f 1 + 2 + 3 = 0有 n1X + n2Y + n3Z = 0 (3.4) 即 0 3 2 1 = ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ · ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ Z Y X n n n 即(n n n ) 1 2 3 垂直与平面（3.4)(由视点 O 与直线 l 所决定的平面)上的点 [证毕] 图3.6 直线N矢量的解释 定义3.1 一条空间直线上的无穷远线素集在视平面上所形成的收敛点称为消失点。一 个空间平面的无穷远面素集在视平面上所形成的收敛线称为消失线。 在视觉坐标系中，N矢量不仅可以用来代表射线的方向和平面的法线方向，而且也可 以用来说明消失点和消失线。 定理3.1 方向或单位矢量为m的空间直线在视平面上形成的投影直线的消失点的N矢量 是m
证明:设是通过空间点(X0,2Z),单位矢量为m=(mmn2m)的空间直线,于是可 以用参数方程表达为 7:X=X。+sm1,Y=y。+Sm2,z=Z。+Sm l在视平面的投影为 X +sm Z+ Y+sm (36) 1.当s→±且m≠0时有 即投影收敛于点(fm,/m),根据定义, limx 消失点的N矢量刚好是m=( (3.7 lin 5→±∞ h 2.当m=0,虽然→±时x与y发散,但只要≠0,则有="从而可知m表 示位于无穷远处的消失点的N矢量。[证毕] 推论3.1空间中相互平行的直线族在视平面有相同的消失点
证明：设l是通过空间点( X ,Y , Z ) 0 0 0 ，单位矢量为m m m m t = ( ) 1 2 3 的空间直线，于是l 可 以用参数方程表达为： 0 1 0 2 0 3 l : X = X + sm ,Y = Y + sm , Z = Z + sm (3.5) l在视平面的投影为 ï ï î ï ï í ì + + = + + = 0 3 0 2 0 3 0 1 Z sm Y sm y f Z sm X sm x f (3.6) 1. 当 s ® ±¥且m3 ¹ 0时有 lim lim 3 2 3 1 ï ï î ï ï í ì = = ®±¥ ®±¥ m m y f m m x f s s (3.7) 即投影收敛于点( f , ) m m f m m 1 3 2 3 ，根据定义， 消失点的N矢量刚好是m m m m t = ( ) 1 2 3 。 2. 当 m3 = 0，虽然s ® ±¥时x与y发散，但只要Z0 ¹ 0，则有x y m m = 1 2 ， 从而可知m表 示位于无穷远处的消失点的N矢量。[证毕] 推论3.1 空间中相互平行的直线族在视平面有相同的消失点
类似地对空间平面有 定理32单位法矢量为n的空间平面在视平面上形成的投影的消失线的N矢量是n 正明:设S是单位法矢量为n=(n2n2)的空间平面,它的方程式可以写为, s:nxtnytnz=h (38) 其中h为视点O到平面S的距离。现在我们利用投影关系(3.3)式消去(38)式中的X和Y,有 升h (3.9) n,xtny+n 由此式可知,不论视点到平面S的距离如何,Z将沿着直线族nx+n2y+n→0变为无 (当h=0时,S过视点),根据定义,此直线的N矢量为n=(nn2n1) [证毕] 隹论32空间中相互平行的平面族在视平面有相同的消失线 宗上所述 如果空间直线在视平面上的消失点能够被确定的话,则其三维方向就可以确定 如果视平面上消失线能够被确定,则所对应三维空间中的平面的法线方向就可确定 空间中直线的方向和平面的法线方向可以由其消失点与消失线的N矢量直接得到。 犹是点与直线N矢量的物理意义
类似地对空间平面有 定理3.2 单位法矢量为n的空间平面在视平面上形成的投影的消失线的N矢量是n。 证明：设S是单位法矢量为 t n (n n n ) = 1 2 3 的空间平面，它的方程式可以写为， S n X + n Y + n Z = h 1 2 3 : (3.8) 其中h为视点O到平面S的距离。现在我们利用投影关系(3.3)式消去(3.8)式中的X和Y，有 n x n y n f fh Z 1 + 2 + 3 = (3.9) 由此式可知，不论视点到平面S的距离如何，Z将沿着直线族 0 n1 x + n2 y + n3 f ® 变为无穷 大(当h=0时，S过视点)，根据定义，此直线的N矢量为 t n (n n n ) = 1 2 3 。 [证毕] 推论3.2 空间中相互平行的平面族在视平面有相同的消失线。 综上所述 V如果空间直线在视平面上的消失点能够被确定的话，则其三维方向就可以确定 V如果视平面上消失线能够被确定，则所对应三维空间中的平面的法线方向就可确定 V空间中直线的方向和平面的法线方向可以由其消失点与消失线的N矢量直接得到。这 就是点与直线N矢量的物理意义
(a)消失点的N矢量空间方向 (b)消失线的N矢量空间方向 图37消失点与消失线的N矢量空间方向
m n (a)消失点的N矢量空间方向 (b)消失线的N矢量空间方向 图3.7 消失点与消失线的N矢量空间方向