免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 《勾股定理》 【课程标准解读】 掌握勾股定理,会用合适的方法验证勾股定理;能利用勾股定理求直角三角形的边长;理解 勾股定理的逆定理,并会应用其判断直角三角形;利用勾股定理解决与直角三角形有关的实 际问题。本单元内容在中考命题中是热点之一,主要考查利用勾股定理解决简单的实际问题 及其判断三角形的形状等,题型多样,填空题、选择题、解答题、综合题均有,常与直角三 角形、三角函数、特殊平行四边形、圆等知识综合在一起进行考查 【知识要点解析】 1:勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即:a2+b2=c2) 要点诠释 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用 (1)已知直角三角形的两边求第三边(在△BC中,∠C=90°,则C=a+b2,b=2-a2, a=√c2-b2 (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 【典型例题】(2013年佛山市,7,3分)如图,若∠A=60°,AC=20m,则BC大约是(结果精 确到0.1m)() A.34.64m 【答案】选:B. 【解答】解:∵∠A=60°,∠C=90 ∠B=30°,∴AB=2AC,∵AC=20m,∴AB=40m, 【点评】此题主要考查了勾股定理,以及直角三角形的性质,关键是掌握在直角三角形中,7题C BC=VAB2-AC2√1600-4001200203≈346(m),故选:B 30°角所对的直角边等于斜边的一半.在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和 定等于斜边长的平方。析:首先计算出∠B的度数,再根据直角三角形的性质可得AB=40m 再利用勾股定理计算出BC长即可 【变式训练】.(2013山东滨州,14,4分)在△ABC中,∠C=90°,AB=7,BC=5,则边AC 的长为 【答案】:x=2√6 【解析】利用勾股定理,可得AC=AB2-BC2=√72-52=2√6 【点评】本题主要考查了勾股定理的运用,按照题设画出图形,确定斜边和直角边再计算即 2:勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长:a、b、c,则有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释: 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为 形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意 (1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 《勾股定理》 【课程标准解读】 掌握勾股定理，会用合适的方法验证勾股定理；能利用勾股定理求直角三角形的边长；理解 勾股定理的逆定理，并会应用其判断直角三角形；利用勾股定理解决与直角三角形有关的实 际问题。本单元内容在中考命题中是热点之一，主要考查利用勾股定理解决简单的实际问题 及其判断三角形的形状等，题型多样，填空题、选择题、解答题、综合题均有，常与直角三 角形、三角函数、特殊平行四边形、圆等知识综合在一起进行考查。 【知识要点解析】 1：勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方。（即：a2+b2＝c2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在 ABC 中， = C 90 ，则 2 2 c a b = + ， 2 2 b c a = − ， 2 2 a c b = − ） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 【典型例题】（2013 年佛山市，7，3 分）如图，若∠A=60°，AC=20m，则 BC 大约是(结果精 确到 0.1m)( ) A．34.64m B．34.6m C．28.3m D．17.3m 【答案】选：B． 【解答】解：∵∠A=60°，∠C=90°，∴∠B=30°，∴AB=2AC，∵AC=20m，∴AB=40m， ∴BC= = = =20 ≈34.6（m），故选：B． 【点评】此题主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和 一定等于斜边长的平方。析：首先计算出∠B 的度数，再根据直角三角形的性质可得 AB=40m， 再利用勾股定理计算出 BC 长即可 【变式训练】．（2013 山东滨州，14，4 分）在△ABC 中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边 AC 的长为______________． 【答案】：x= 2 6 ． 【解析】利用勾股定理，可得 7 5 2 6 2 2 2 2 AC = AB − BC = − = 【点评】本题主要考查了勾股定理的运用，按照题设画出图形，确定斜边和直角边再计算即 可. 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系 a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为 形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c； A C B 第 7 题图
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ (2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的直角 三角形 (若c2>a2+b2,则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形:若c2<a2+b2,则△ABC为锐角三角 形) (定理中,及a2+b2=c2只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长, 足a2+c2=b,那么以,为三边的三角形是直角三角形,但是为斜边) 【典型例题】(2012年四川省巴中市,15,3)已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系 c2-a2-b2+|a-b|=0,则△ABC的形状为 【解析】由关系√2-a2-b2+1a-b|=0,得c2-a2-b2=0,即a2+b2=c2,且a-b=0即a-b,∴△ BCJ是等腰直角三角形.应填等腰直角三角形. 【答案】等腰直角三角形 【点评】本题考查非负数的一个性质:“两个非负数之和为零时,这两个非负数同时为零 及勾股定理逆定理的应用 【变式训练】(2012江苏省盐城市一摸)如图,四边形ABCD中,∠BAD我ACB=90°,AB=AD AC=4BC,若CD的长为5,则四边形ABCD的面积为 【答案】:10 【解答】:作AE⊥AC,DE⊥AE,两线交于E点,作DF⊥AC垂足为F点,∵∠BAD=∠CAE=90° 即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE∴∠BAC=∠DAE又∵AB=AD,∠ACB=∠E=90 △ABC≌△ ADE(AAS). BC=DE, AC=AE, it Bc=a, I DE=a, DF=AE=AC=4BC=4a, CF=AC-AF=AC-DE=3a 在Rt△CDF中,由勾股定理得,CF2+DF2=CD2,即(3a)2+(4a)2=52,解得:a=1,∴y=S四 边形ABCD=S梯形ACDE=12×DE+AC)XDF=12×(a+4a)×4a=10a2=10 【点评】 3:互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆 命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题 【典型例题】7.(2011四川凉山,15,4分)把命题“如果直角三角形的两直角边长分别 为a、b,斜边长为c,那么a2+b2=c2”的逆命题改写成“如果……,那么……”的形 【答案】:如果三角形三边长a,b,C,满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形 【解答】解:逆命题为:三角形三边长a,b,c,满足a2+b2=c2,这个三角形是直角三角 形,逆命题改写成“如果…,那么…”的形式:如果三角形三边长a,b,c,满足a2+b2 =c2,那么这个三角形是直角三角形,故答案为:如果三角形三边长a,b,c,满足a2+b2 c2,那么这个三角形是直角三角形 【点评】命题都能写成“如果……,那么…”的形式,如果后面是题设,那么后面是结论, 题设和结论互换后就是原命题的逆命题本题考查把命题写成“如果…,那么…”的形式以及 逆命题的概念,难度适中 【变式训练】.下列命题中,真命题是() A、周长相等的锐角三角形都全等 B、周长相等的直角三角形都全等 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com （2）验证 c2 与 a2+b2 是否具有相等关系，若 c2＝a2+b2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角 三角形 （若 c2>a2+b2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若 c2<a2+b2，则△ABC 为锐角三角 形）。 （定理中，，及 2 2 2 a b c + = 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满 足 2 2 2 a c b + = ，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边） 【典型例题】( 2012 年四川省巴中市,15,3)已知 a、b、c 是△ABC 的三边长,且满足关系 c2-a2-b2 +|a-b|=0,则△ABC 的形状为______ 【解析】由关系 c2-a2-b2 +|a-b|=0，得 c2-a2-b2=0,即 a2+b2= c2，且 a-b=0 即 a=b,∴△ ABCJ 是等腰直角三角形. 应填等腰直角三角形. 【答案】等腰直角三角形 【点评】本题考查非负数的一个性质: “两个非负数之和为零时,这两个非负数同时为零.” 及勾股定理逆定理的应用. 【变式训练】（2012 江苏省盐城市一摸）如图，四边形 ABCD 中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD， AC=4BC，若 CD 的长为 5，则四边形 ABCD 的面积为 ； 【答案】：10 【解答】:作 AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于 E 点，作 DF⊥AC 垂足为 F 点，∵∠BAD=∠CAE=90°， 即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE ∴∠BAC=∠DAE 又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90° ∴△ABC≌△ ADE(AAS) ∴BC=DE，AC=AE， 设 BC=a，则 DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a， CF=AC-AF=AC-DE=3a， 在 Rt△CDF 中，由勾股定理得， CF2+DF2=CD2，即(3a)2+(4a)2=52， 解得:a=1， ∴y=S 四 边形 ABCD=S 梯形 ACDE=12×(DE+AC)×DF =12×(a+4a)×4a =10a2 =10. 【点评】 3：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆 命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 【典型例题】7. （2011 四川凉山，15，4 分）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别 为 a、b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形 式： . 【答案】：如果三角形三边长 a，b，c，满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 【解答】解：逆命题为：三角形三边长 a，b，c，满足 a2＋b2＝c2，这个三角形是直角三角 形，逆命题改写成“如果…，那么…”的形式：如果三角形三边长 a，b，c，满足 a2＋b2 ＝c2，那么这个三角形是直角三角形，故答案为：如果三角形三边长 a，b，c，满足 a2＋b2 ＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 【点评】命题都能写成“如果……，那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论， 题设和结论互换后就是原命题的逆命题本题考查把命题写成“如果…，那么…”的形式以及 逆命题的概念，难度适中． 【变式训练】. 下列命题中，真命题是（ ） A、周长相等的锐角三角形都全等 B、周长相等的直角三角形都全等 A B C D
弦 免费下载网址|htp:/jiaoxue5uys168.com C、周长相等的钝角三角形都 全等 D、周长相等的等腰直角三角 形都全等 朱實六黃實 【答案】选 【解答】解:A、周长相等的 弦實二五朱及黄 锐角三角形的对应角不一定 相等,对应边也不一定相等 假命题; 图1 图 B、周长相等的直角三角形对应锐角不一定相等,对应边也不一定相等,假命题 C、周长相等的钝角三角形对应钝角不一定相等,对应边也不一定相等,假命题 D、由于等腰直角三角形三边之比为1:1:√,故周长相等时,等腰直角三角形的对应角 相等,对应边相等,故全等,真命题 故选D 【点评】本题考査了全等三角形的判定定理的运用,命题与定理的概念.关键是明确全等三 角形的对应边相等,对应角相等.全等三角形必须是对应角相等,对应边相等,根据全等三 角形的判定方法,逐一检验 4:勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4S、+S正方形E=SE方形D 4×ab+(b-a) ,化简可证 方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积 S=4×-ab+c2=2ab+ 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为S=(a+b)=d2+2mb+b 所以a2+b2=c2 (a+b)(a+b)S8形=2S△DE+SBE=2·ab 方法三 2,化简得证 【典型例题】.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副“弦图”,后人称其为 “赵爽弦图”(如图1).图2由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记 图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,若S1+S2+S3=10, 则S2的值是3 【答案】为:3 【解答】解:∵图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com C、周长相等的钝角三角形都 全等 D、周长相等的等腰直角三角 形都全等 【答案】选 D． 【解答】解：A、周长相等的 锐角三角形的对应角不一定 相等，对应边也不一定相等， 假命题； B、周长相等的直角三角形对应锐角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题； C、周长相等的钝角三角形对应钝角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题； D、由于等腰直角三角形三边之比为 1：1： ，故周长相等时，等腰直角三角形的对应角 相等，对应边相等，故全等，真命题． 故选 D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的运用，命题与定理的概念．关键是明确全等三 角形的对应边相等，对应角相等．全等三角形必须是对应角相等，对应边相等，根据全等三 角形的判定方法，逐一检验． 4：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一： 4 EFGH S S S + = 正方形 正方形ABCD ， 1 2 2 4 ( ) 2 + − = ab b a c ，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 1 2 2 4 2 2 S ab c ab c = + = + 大正方形面积为 2 2 2 S a b a ab b = + = + + ( ) 2 所以 2 2 2 a b c + = 方法三： 1 ( ) ( ) 2 S a b a b 梯形 = + + ， 1 1 2 2S 2 2 2 ADE ABE S S ab c 梯形 = + = + ，化简得证 【典型例题】. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为 “赵爽弦图”（如图 1）．图 2 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记 图中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3，若 S1+S2+S3=10， 则 S2 的值是 10 3 ． 【答案】为： 10 3 ． 【解答】解：∵图中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3， c b a H G F E D C A B a b c c b a E D B C A b a c b a c c a b c a b
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ ∴CG=NG,CF=DG=NF, ∴S1=(CG+DG)2=CG2+DG2+2CG·DG,=GF2+2CG·DC S2=GF 2, S3=(NG-NF) 2=NG 2+NF 2-2NGNF, ∵Sl+S2+S3=10=GF2+2CG·DG+GF2+NG2+NF2-2NG·NF,=3GF2, ∵S2的值是:3.故答案为:3 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用,根据已知得出 S1+S2+S3=10=GF2+2CG·DG+GF2+NG2+NF2-2NG∽NF=3GF2是解决问题的关键.根据图形的 特征得出线段之间的关系,进而利用勾股定理求出各边之间的关系,从而得出答案 【变式训练】:你能根据图形所给的信息验证勾股定理吗?请写出证明过程 【解答】解:根据题意,中间小正方形的面积c2=(a+b)2-4×2×ab=a2+b2 即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和 【点评】本题考查了学生对勾股定理的证明和对三角形、正方形 面积公式的熟练掌握和运用.根据题意,我们可在图中找等量关 系,由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角 三角形的面积,列出等式化简即可得出勾股定理的表达式 勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数, a2+b2=c2中,为正整数时,称,为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如345;6.8.10;5,12.13:7,24.25等 ③用含字母的代数式表示组勾股数:n2-1.2n,n2+1(m22,为正整数) 2n+1,2n+2n,2n+2n+1(为正整数)m-n,2m,m+n(m>mm,为正整数) 【典型例题】:给出下列几组数:①6,7,8:②9,40,41:③11,264,266:④14,194 200,其中能组成直角三角形的三条边长的有 【答案】应填②. 【解答】:对于①∵6为偶数,8-7=1不等于2,所以①不能,对于②,因为9为奇数,181-180=1 且40= ,所以②能,对于③因为11为奇数,266-264=2不等于1,所以③不能, 对于④因为14为偶数,200-194≠2,所以不能 故应填② 【点评】由以上例题解答可以看出,利用勾股数的规律解答三边能否构成直角三角形问题比 用a2+b2=c2简洁的多,望同学们掌握之 【变式训练】.(2013四川巴中,19,3分)若直角三角形的两直角边长为a、b,且满足 6a+9+|b-4|=0 ,则该直角三角形的斜边长为5 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ∴CG=NG，CF=DG=NF， ∴S1=（CG+DG） 2=CG 2+DG 2+2CG•DG，=GF 2+2CG•DG， S2=GF 2， S3=（NG-NF） 2=NG 2+NF 2-2NG•NF， ∵S1+S2+S3=10=GF 2+2CG•DG+GF 2+NG 2+NF 2-2NG•NF，=3GF 2， ∴S2 的值是： 10 3 ．故答案为： 10 3 ． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出 S1+S2+S3=10=GF 2+2CG•DG+GF 2+NG 2+NF 2-2NG•NF=3GF 2 是解决问题的关键．根据图形的 特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案． 【变式训练】: 你能根据图形所给的信息验证勾股定理吗？请写出证明过程． 【解答】解：根据题意，中间小正方形的面积 c2=（a+b）2-4× 1 2 ×ab=a2+b2； 即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和． 【点评】本题考查了学生对勾股定理的证明和对三角形、正方形 面积公式的熟练掌握和运用．根据题意，我们可在图中找等量关 系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角 三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式． 5：勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 2 2 2 a b c + = 中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等 ③用含字母的代数式表示组勾股数： 2 2 n n n − + 1,2 , 1 （ n 2, 为正整数）； 2 2 2 1,2 2 ,2 2 1 n n n n n + + + + （为正整数） 2 2 2 2 m n mn m n − + ,2 , （ m n , m ，为正整数） 【典型例题】：给出下列几组数：①6，7，8；②9，40，41；③11，264，266；④14，194， 200，其中能组成直角三角形的三条边长的有 ． 【答案】应填②． 【解答】：对于①∵6 为偶数，8-7=1 不等于 2，所以①不能，对于②，因为 9 为奇数，181-180=1 且 40= 2 (8 1) 1 2 + − ，所以②能，对于③因为 11 为奇数，266-264=2 不等于 1，所以③不能， 对于④因为 14 为偶数，200-194≠2，所以不能． 故应填②． 【点评】由以上例题解答可以看出，利用勾股数的规律解答三边能否构成直角三角形问题比 用 a2+b2=c2 简洁的多，望同学们掌握之． 【变式训练】.（2013 四川巴中，19，3 分）若直角三角形的两直角边长为 a、b，且满足 ，则该直角三角形的斜边长为 5 ．
免费下载网址ht:/ jiaoxue5uys 【答案】是:5 【解析】解:∵ ∴a2-6a+9=0,b-4=0 解得a=3,b=4, ∵直角三角形的两直角边长为a、b, ∴该直角三角形的斜边长=Va +b2V32+425 故答案是:5 【点评】本题考查了勾股定理,非负数的性质-绝对值、算术平方根.任意一个数的绝对值 (二次根式)都是非负数,当几个数或式的绝对值相加和为0时,则其中的每一项都必须等 于0.根据非负数的性质求得a、b的值,然后利用勾股定理即可求得该直角三角形的斜边 【热点专题分析】 题型一:直接考査勾股定理进行计算解题 例1.在ABC中,∠C=90° (1)已知AC=6 求AB的长 (2)已知AB=17,AC=15,求BC的长 【分析】:直接应用勾股定理a+b2=c2 (2)BC=√AB2-AC2=8 【点评】 例题2.如图,将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和103cm的长 方体无盖盒子中,则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米 【解答】:设放入长方体盒子中的最大长度是xcm, 根据题意,得x2=82+62+(103)2=64+36+300=400. 所以x=20cm,故细木棒露在盒外面的最短长度是25-20=5(cm). 【点评】:本题重点考查学生的空间想象能力及勾股定理的应用.长方体内体对 角线是最长的,当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小,这样就 是求出盒子的对角线长度即可 例题3:如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒,规格为5×6×10(单位:cm),在上盖 中开有一孔便于插吸管,吸管长为13cm,小孔到图中边AB距离为1cm,到上盖中与AB 相邻的两边距离相等,设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm,则h的最小值大约为 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 【答案】是：5． 【解析】解：∵ ， ∴a2﹣6a+9=0，b﹣4=0， 解得 a=3，b=4， ∵直角三角形的两直角边长为 a、b， ∴该直角三角形的斜边长= = =5． 故答案是：5． 【点评】本题考查了勾股定理，非负数的性质﹣绝对值、算术平方根．任意一个数的绝对值 （二次根式）都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为 0 时，则其中的每一项都必须等 于 0．根据非负数的性质求得 a、b 的值，然后利用勾股定理即可求得该直角三角形的斜边 长． 【热点专题分析】 题型一：直接考查勾股定理进行计算解题。 例１.在 ABC 中， = C 90 ． ⑴已知 AC = 6， BC = 8 ．求 AB 的长 ⑵已知 AB =17， AC =15 ，求 BC 的长 【分析】：直接应用勾股定理 2 2 2 a b c + = 解：⑴ 2 2 AB AC BC = + =10 ⑵ 2 2 BC AB AC = − = 8 【点评】 例题 2．如图，将一根 25 cm 长的细木棒放入长、宽、高分别为 8 cm、6 cm 和 103 cm 的长 方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米? 【解答】:设放入长方体盒子中的最大长度是 x cm， 根据题意，得 x2=82+62+(103)2=64+36+300=400. 所以 x=20 cm，故细木棒露在盒外面的最短长度是 25－20=5(cm). 【点评】；本题重点考查学生的空间想象能力及勾股定理的应用．长方体内体对 角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就 是求出盒子的对角线长度即可． 例题 3：如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为 5×6×10(单位：㎝)，在上盖 中开有一孔便于插吸管，吸管长为 13 ㎝， 小孔到图中边 AB 距离为 1 ㎝，到上盖中与 AB 相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为 h ㎝，则 h 的最小值大约为 _________㎝