●●● ●●●● ●●●●● ●●●● ●●●●● ●●●● 我們考慮算子eXp(tD*D)-exp(tDD*)的迹( trace)o當 時間很大時,它給出算子的指標’但我們發覺在0<t<∞’它 與時間t無關’因此它又可在t→>0時計算。 在【→>0’熱方程的核可以用擾動的方法計算出來’它跟 空間的曲率有關’因此指標可由曲率表示’而後者一般可由陳 氏類來表達。 在這個過程中’我們看到兩個核函數有重要的消去的性質 當參數大和參數小畤時不變’因此描遽量子力學的指標雖然在參 數大時計算但它與參數小的古典幾何的曲率得出來的陳氏類 是一樣的
11 我們考慮算子 exp (-t D*D) – exp (-t DD*) 的迹 (trace)。當 時間很大時，它給出算子的指標，但我們發覺在 0 < t < ，它 與時間 t 無關，因此它又可在 t → 0 時計算。 在 t → 0 ，熱方程的核可以用擾動的方法計算出來，它跟 空間的曲率有關，因此指標可由曲率表示，而後者一般可由陳 氏類來表達。 在這個過程中，我們看到兩個核函數有重要的消去的性質， 當參數大和參數小時不變，因此描述量子力學的指標雖然在參 數大時計算，但它與參數小的古典幾何的曲率得出來的陳氏類 是一樣的
●●● ●●●● ●●●●● ●●●● ●●●●● ●●●● ●●●● 這個方法由 Witten和其他作者推廣到更一般的超對 稱的算子的計算中。近年的弦理論的對偶性理論與這些消 去性有關’我們發現有些很難計算的量子場論的量(往往 與幾何有關)’可以變成擾動性的計算(強藕合與弱藕合 對稱)’以後所謂鏡對稱與這個推導有關 鏡對稱對古典代數幾何學有很重要的貢獻’它解決了 幾個古典問題,例如代數流形上的曲線的數量問題
12 這個方法由 Witten 和其他作者推廣到更一般的超對 稱的算子的計算中。近年的弦理論的對偶性理論與這些消 去性有關，我們發現有些很難計算的量子場論的量（往往 與幾何有關），可以變成擾動性的計算（強藕合與弱藕合 對稱），以後所謂鏡對稱與這個推導有關。 鏡對稱對古典代數幾何學有很重要的貢獻，它解決了 幾個古典問題，例如代數流形上的曲線的數量問題
●●● ●●●● ●●●●● ●●●● ●●●●● ●●●● 熱方程是抛物方程的一種,它獨特的性質是在時間增長 時’解會越來越平均並接近於一個穩定的橢圓方程的解 舉個例子 x:M→>R 是從曲面到歐氏空間的映射。 我們也可以定義它的能量 E(x)=vx 我們希望固定它的邊值x:OM>R,然後不斷的連續變 换x使得E(x)逹到最小值
13 熱方程是抛物方程的一種，它獨特的性質是在時間增長 時，解會越來越平均並接近於一個穩定的橢圓方程的解。 舉個例子： x : M → R n 是從曲面到歐氏空間的映射。 我們也可以定義它的能量 我們希望固定它的邊值 x : M → R n ，然後不斷的連續變 換 x 使得 E(x) 逹到最小值。 = M E x x 2 2 1 ( )
●●● ●●●● ●●●●● ●●●● ●●●●● ●●●● 這個變動可以由熱方程逹到 dx =△x 這是一個線性方程’不難暸解。但是假如我們對κ加上約束 要求κ把M映射到R裏的一個固定子流形N,可以得到 個抛物方程’但卻是一個非線性抛物方程。一般來說,這個 方程沒有光滑的解。 假如有解的話’讓時間趨於無窮得到的映射叫做調和映 射 當M是二維時’我們對調和影射有比較深入的認識
14 這個變動可以由熱方程逹到 這是一個線性方程，不難瞭解。但是假如我們對 x 加上約束， 要求 x 把 M 映射到 R n 裏的一個固定子流形 N ，可以得到一 個抛物方程，但卻是一個非線性抛物方程。一般來說，這個 方程沒有光滑的解。 假如有解的話，讓時間趨於無窮得到的映射叫做調和映 射。 當 M 是二維時，我們對調和影射有比較深入的認識。 x dt dx =
●●● ●●●● ●●●●● ●●●● ●●●●● ●●●● 二維空間在幾何學裏起着一個很重要的地位。理由是E(x)有 保角不變的性質: 我們來看這是甚麼意思 在M上有黎曼度量∑g; dxl dx,如果有兩個向量(a,a2,…,am) 和(b,…,b),我們定義它們的內積為∑g;b。因此它們的夾角 的餘弦為 8,a'b a, ∑,aa、∑g,bbl 假如我們將Σg;ddkw改為eΣg;!wy’這個夾角不變’所以 我們稱這種變換為保角變換
15 二維空間在幾何學裏起着一個很重要的地位。理由是 E(x) 有 保角不變的性質： 我們來看這是甚麼意思 ―― 在 M 上有黎曼度量 gij dxi dxj ，如果有兩個向量 (a 1 , a 2 , … , a m) 和 (b 1 , … , b m) ，我們定義它們的內積為 gij a i b j。因此它們的夾角 的餘弦為 假如我們將 gij dxi dxj改為 e gij dxi dxj，這個夾角不變，所以 我們稱這種變換為保角變換。 a b a b g a a g b b g a b i j i j i j i j i j i j , =