●●● ●●●● ●●●●● ●●●● ●●●●● ●●●● 由於每一條曲線可以用測地線組成的多邊形逼近,上逑在 Ω2(M的積分可以用 Gauss積分的方法得出它的值,它與 Laplace算 子的行列式有關。在R, Laplace算子的定義是 △ ax 這個算子可以推廣到一般黎曼流形上。 它是幾何丶拓樸和數學物理的一個重要橋樑 在非線性方程的研究中’我們計算線性仳算子。往往發現它是 某種幾何的 Laplace算子’因此非線性方程與幾何學有密切關係
6 由於每一條曲線可以用測地線組成的多邊形逼近，上述在 (M) 的積分可以用 Gauss 積分的方法得出它的值，它與 Laplace 算 子的行列式有關。在R n ， Laplace 算子的定義是 這個算子可以推廣到一般黎曼流形上。 它是幾何、拓樸和數學物理的一個重要橋樑。 在非線性方程的研究中，我們計算線性化算子。往往發現它是 某種幾何的 Laplace 算子，因此非線性方程與幾何學有密切關係。 2 2 2 2 2 2 1 2 n x x x + + + =
●●● ●●●● ●●●●● ●●●● ●●●●● ●●●● Laplace算子的譜在近代幾何起着極重要的作用。它們的乘積 通過重整化後就是 Laplacian的行列式。現在來看 Laplace算子的古 典的處理方法 我們來看一維空間的情形 f(x+y-f(x=yf(x)+ f(x)y f(x-y)-f(=-yf(x)+ 2 所以 f(x+y)+f(x-y) f(x)= f∫"(x)+f"(x) 2 2 其中x≤x≤x+y,x-y≤x≤x,當y很小時’∫可以看作∫的平均 值減∫的值得出來的算子
7 Laplace 算子的譜在近代幾何起着極重要的作用。它們的乘積， 通過重整化後就是 Laplacian 的行列式。現在來看 Laplace 算子的古 典的處理方法。 我們來看一維空間的情形 所以 其中 ，當 y 很小時，f 可以看作 f 的平均 值減 f 的值得出來的算子。 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f x y f x y f x y f x + − = + 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f x y f x y f x y f x − − = − + 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 f x f x y f x f x y f x y + − = + + − x x x + y , x− y x x
●●● ●●●● ●●●●● ●●●● ●●●●● ●●●● 般來說’ Laplace算子可以看作將函數不斷採取平均值 的一個算子。 一個古典問題 在一個領域Ω的邊界上給定一個函數∫’我們希望將∫延 拓到9裹使得B()=2j/極小這叫Dh邊值問题 這樣得到的∫叫調和函數’它滿足Δf=0
8 一般來說， Laplace 算子可以看作將函數不斷採取平均值 的一個算子。 一個古典問題： 在一個領域 的邊界上給定一個函數 f ，我們希望將 f 延 拓到 裏，使得 極小，這叫 Dirichlet 邊值問題， 這樣得到的 f 叫調和函數，它滿足 f = 0 。 2 2 1 ( ) E f = f
●●● ●●●● ●●●●● ●●●● ●●●●● ●●●● 一個構造調和函數的方法為 Perron方法’就是不斷的取函數的局部平 均值’直至它變為調和函數為止 以後發現一個更好的辨法是解熱方程 我們任意延拓∫到領域Ω中’使得我們有給定的在邊界上的值’然後 解以下的熱方程 「ah =△h t≥0 at h=f t=0 h=fong2 for all t≥0 此處Δ為 Laplace算子。 這方程描逑在時間為零時’熱的分佈由∫給出’而到>0·則由上逑 方程的解給出
9 一個構造調和函數的方法為Perron 方法，就是不斷的取函數的局部平 均值，直至它變為調和函數為止。 以後發現一個更好的辦法是解熱方程： 我們任意延拓f 到領域 中，使得我們有給定的在邊界上的值，然後 解以下的熱方程 此處 為 Laplace 算子。 這方程描述在時間為零時，熱的分佈由f 給出，而到t > 0 ，則由上述 方程的解給出。 = = = = o n for all 0 0 0 h f t h f t h t t h
●●● ●●●● ●●●●● ●●●● ●●●●● ●●●● 當時間趨於無窮時’此問題的解會趨向於一個調和函數 並且保持∫的邊值’因而解決了 Dirichlet邊值問題。 這個熱方程方法在廿世紀下半葉的微分幾何中佔了很重要 的地位,它給出一個方法將外微分形式漸變為調和形式’因而 給出 Hodge理論一個簡單的證明。 這個證明也可以應用於 Atiyah- Singer指標定理的局部證明。 Atiyah和 Singer研究一階橢圓線性微分算子D的解空間的維數。 這個算子有對偶算子D*’我們也可考慮它的解空間的維數 兩個維數的差叫做算子D的指標
10 當時間趨於無窮時，此問題的解會趨向於一個調和函數， 並且保持 f 的邊值，因而解決了 Dirichlet 邊值問題。 這個熱方程方法在廿世紀下半葉的微分幾何中佔了很重要 的地位，它給出一個方法將外微分形式漸變為調和形式，因而 給出 Hodge 理論一個簡單的證明。 這個證明也可以應用於 Atiyah-Singer 指標定理的局部證明。 Atiyah 和 Singer 研究一階橢圓線性微分算子 D 的解空間的維數。 這個算子有對偶算子 D* ，我們也可考慮它的解空間的維數， 兩個維數的差叫做算子 D 的指標