二维离散型随机变量的条件概率质量函数a213 两个随机变量的函数的分布 cP2.13 二维离散型随机变量的条件概率质量函数 ■在2.1.2节,我们讨论了一维随机变量函数的分布 (conditional probability mass function) 现在我们进一步讨论 PIx ■当随机变量XY的联合分布已知时,如何求出它 PY=xIY=y, 们的函数z=g(X,F)的分布? =yi 独立性( (ndependence) g 口对(X,)的所有可能取值(x,y),有 P(X=X,Y=yi)=P(X=xi)(r=yi) 通信原理 孩照大手 通信原理 後三k季 z=X+Y的概率密度 P2.1.3 M=max(X,)的分布函数 CP2.13 设X和y的联合密度为fx/(xy),求 ■设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的 z=H+Y的概率密度 分布函数分别为F(x),F(), 1()=[Jx1(=-x=x(=-y ■求M=max(X,)的分布函数 Fn(m)=P(M<m)=P(X sm, Y <m) ■若X和Y相互独立 =F(m) Fr(m) ■拓展到M=max(X1,X2…,xn) fz()=l fr(=-y)fr(ydy=l fx(x)fr(=-x)dr FM(m)=Fx(m)Fx(m).Fx(m) 通信原理 後sk季 通信原理 4後人手
通信原理 41 二维离散型随机变量的条件概率质量函数 ◼ 二维离散型随机变量的条件概率质量函数 (conditional probability mass function) i j j ij i PX = x ,Y = y P PX = xi | Y = y j = = ij PY = y P ◼ 独立性 (independence) 对 (X ,Y ) 的所有可能取值 (xi , y j),有 P( X = xi ,Y = y j ) = P( X = xi )P(Y = y j) CP 2.1.3 通信原理 42 两个随机变量的函数的分布 ◼ 在2.1.2节, 我们讨论了一维随机变量函数的分布, 现在我们进一步讨论: ◼ 当随机变量 X, Y 的联合分布已知时, 如何求出它 们的函数 Z = g ( X, Y ) 的分布? CP 2.1.3 g z x X Y Z Dz Z = X + Y 的概率密度 ◼ 设 X 和 Y 的联合密度为 Z=X+Y的概率密度 ◼ 若 X 和 Y 相互独立 f X ,Y (x, y ) , 求 fZ (z) = − f X (z − y) fY ( y)dy = − f X ( x) fY (z − x)dx Z X ,Y X ,Y f (z) = f (z − x, x)dx = f (z − y, y)dy − − CP 2.1.3 M = max (X ,Y )的分布函数 ◼ 设 X, Y 是两个相互独立的随机变量, 它们的 分布函数分别为 FX (x), FY(y ) , ◼求 M = max (X,Y )的分布函数 FM (m) = P(M m) = P(X m,Y m) = FX (m) FY (m) ◼拓展到 M = max (X1 , X2 ,, Xn ) M X1 X2 n F (m ) = F (m)F (m) FX (m) CP 2.1.3 通信原理 43 通信原理 44
N=min(x,H)的分布函数 CP2.13 N维随机变量 cP2.13 ■设XY是两个相互独立的随机变量,它们的 ■从二维推广到N维 分布函数分别为F(x),F( Fxx、(x…,x)=P(X≤x,≤x) 1求N=min(x,)的分布函数 F(m)=1-P(N≥m)=1-P(x N 11-F(m)-F(m)」 (x…x)=aax-Fx(x…x) ■拓展到N=min(x1,X2,xn) Fm)=1-[1-Fx(m)+Fx2(m)y-51-Fx、(m)] 当(x1…,x)相互独立时,有 fx,x,(x1…x)=(x)fx(x2)…f(x) 通信原理 孩照大手 通信原理 小结 cP2.13 214数字特征 二维随机变量 ■在前面的课程中,我们讨论了随机变量及其 口联合概率分布函数 分布,如果知道了随机变量X的概率分布, 口边缘概率分布函数 那么X的全部概率特征也就知道了; 口条件概率分布函数 口独立性 ■然而,在实际问题中,概率分布一般是较难 口二维随机变量的函数 确定的.而在一些实际应用中,人们并不需 多维随机变量 要知道随机变量的一切概率性质,只要知道 它的某些数字特征就够了 後大手 通信原理 4後k手隐
通信原理 45 N = min (X ,Y ) 的分布函数 ◼ 设 X, Y 是两个相互独立的随机变量, 它们的 分布函数分别为 FX (x), FY(y) , ◼求 N = min (X ,Y )的分布函数 N X Y F (m) = 1− P(N m) = 1− P (X m,Y m) = 1 − 1 − F (m) 1 −F (m) ◼拓展到 N = min (X1 , X2 ,, Xn ) N X1 X2 Xn (m) F (m) = 1 − 1 − F (m)1− F (m)1 −F CP 2.1.3 通信原理 46 N 维随机变量 ◼ 从二维推广到 N 维 N 1 1 N N x x F − − = X1 ,,X N 1 ( x ,, x )= P ( X x ,X x ) 1 n f X ,, X ( x1 ,, xN ) dx1 dxN 1 N 1 N N f X ,, X ( x1 ,, xN ) = x x FX ,, X ( x1 ,, xN ) 1 N 1 N ( ) ( ) 1 N N X1 2 N 1 X f X ,,X 1 x ,, x = f x f ( x2 ) f X ( xN ) 当 (x1 ,, xN )相互独立时,有 CP 2.1.3 小结 ◼ 二维随机变量 联合概率分布函数 边缘概率分布函数 条件概率分布函数 独立性 二维随机变量的函数 ◼ 多维随机变量 CP 2.1.3 2.1.4 数字特征 ◼ 在前面的课程中,我们讨论了随机变量及其 分布, 如果知道了随机变量 X 的概率分布, 那么 X 的全部概率特征也就知道了; ◼ 然而, 在实际问题中, 概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中, 人们并不需 要知道随机变量的一切概率性质, 只要知道 它的某些数字特征就够了. 通信原理 47 通信原理 48
统计平均、数学期望 CP2.1.4 连续型随机变量的数学期到们 CP2.14 Statistical average expectation ■离散型随机变量 ■定义 {x}=-」x1( m:=E{x}=∑x,P(X=x) 设连续型随机变量X的概率密度函数为 f(x),在数轴上取很密的点x<x1<…,则X 统计一个地区的平均年龄,设总人数为N,年龄为x 的人数为N,那么平均年龄为 落在小区间(x,x]的概率是 x=Mx1+N2x2+…+Nxy=Nx+N2x+…+N fr(x)ax=fx(xi(x+1-xi)=fx(x)A P(,)=lim N 通信原理 孩照大手 通信原理 连续型随机变量的数学期望(2) P2.14 随机变量函数的数学期望 CP2.14 离散型R)=E区(x)=∑g(x)n fr(x) 证明:E(Y)=∑yP(=y ({=y∑P({=x∑ ■当Ax→0,将X近似为概率质量函数 B(Y)=∑∑F∑g(x)n 为(x)△x的离散型随机变量,其数学期望为 杠(x)=y f(x, Ax ■连续型E()=Eg(X)=2g(x)(x 通信原理 後大手 通信原理 2後人手
通信原理 49 统计平均、数学期望 Statistical average, expectation ◼ 离散型随机变量 m1 = EX= xiP(X = xi) i 统计一个地区的平均年龄, 设总人数为 N, 年龄为 xi 的人数为 Ni , 那么平均年龄为 1 2 N N N N N x = N1 x1 + N2 x2 ++ NN xN = N1 x + N2 x ++ NN x ( ) i i N N → N P x = lim CP 2.1.4 通信原理 50 连续型随机变量的数学期望(1) ◼ 定义 1 X ( ) − m = E X = xf x dx i x ◼ 设连续型随机变量X的概率密度函数为 fX(x), 在数轴上取很密的点x0 < x1 < …, 则 X 落在小区间 (xi , xi+1] 的概率是 xi +1 f X (x)dx f X (xi)(xi+1 − xi) = f X (xi)x CP 2.1.4 连续型随机变量的数学期望(2) ◼ 当 x → 0 , 将 X 近似为概率质量函数 为X i f (x )x 的离散型随机变量,其数学期望为 xi f ( xi )xi i xi +1 f X (x) xi x CP 2.1.4 随机变量函数的数学期望 k=1 ◼ 离散型 E(Y ) = E[g( X )] = g( xk ) pk + ◼ 连续型 E(Y ) = E[g( X )] = − g( x) f ( x)dx i 证明： E(Y ) = yiP(Y= yi) pk k g(xk )= yi k g(xk )= yi P (Y = yi )= P (X= xk )= i k k g(xk )= yi E(Y ) = yi pk = g ( xk ) pk CP 2.1.4 通信原理 51 通信原理 52
数学期望的性质 CP2.1.4 方差( Variance) CP2.14 随机变量与其均值的偏离程度 ■设C是常数,则E(C)=C ■若k是常数,则E(kx)=kE(x) ■E(X+y)=E(X+E() ■设X,F相互独立,则E(xY)=E(X)E() ∑[x-E(X)R E1x=x)∫x-E(X)/x)h 通信原理 孩照大手 通信原理 孩sk季 方差的性质 P2.14 原点矩( moments about the origin) CP2.14 ■设C是常数则lar(C)=0 ■定义 若C是常数,则a(Cx)=Cr(x) mk =Er) rfr()dx ■设X与Y是两个随机变量,则 ■特例 口PDF积分面积 Var(X+r)=Var(X)+Var (n) E0=L() +2E{-E(x)(-E() 口均值 ■若X,Y相互独立,则 E{x}=[9(女 口均方值 Var(X+r)=Var(X)+Var(Y) m2=E{2=x2(x) 後大手 通信原理 後人手
通信原理 53 数学期望的性质 ◼ 若 k 是常数, 则 ; ; ◼设 C 是常数,则 E (C)= C ; E (kX )= kE (X ) ◼ E (X +Y ) = E (X )+ E (Y ) ◼ 设 X ,Y 相互独立,则 E (XY )= E (X )E (Y ). CP 2.1.4 通信原理 54 方差 (Variance) ◼ 随机变量与其均值的偏离程度 • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • ( ) 2 2 X Var X = = E{[X − E( X )] } X − [x − E( X )]2 f ( x)dx k k k=1 [ x − E( X )]2 p CP 2.1.4 方差的性质 ◼ 设 C 是常数,则 ◼ 若 C 是常数,则 ; Var(C) = 0 ; 2 Var(CX ) = C Var (X ) ◼ 设 X 与 Y 是两个随机变量，则 Var(X +Y ) =Var (X )+Var(Y ) + 2E (X − E (X ))(Y − E (Y )) ◼ 若 X, Y 相互独立,则 Var(X +Y ) =Var (X )+Var(Y ) CP 2.1.4 原点矩(moments about the origin) ◼ 定义 ◼ 特例 PDF积分面积 均值 均方值 k k X (x)dx − m =E X = x k f 0 X f m = E 1= (x)dx = 1 − 1 X ( ) − m = E X = xf x dx 2 2 X (x)dx − m =E X = x 2 f CP 2.1.4 通信原理 55 通信原理 56