复旦大学：《通信原理（A）》PPT教学课件_2018_02 第二章 概率论与随机过程

概率密度函数( probability density function)c21 对fx(x)的进一步理解 CP2.1.2 ■利用概率密度可确定随机点落在某个范围 若x是f(x)的连续点,则 内的概率P(x<X≤x+Ax) Fx(x+△x)=Fx(x)+P(x<X≤x+△) f()“F() ④=lmF(x+△x)=F(x) △x→ 若Ax→0,可以将F(x+2泰勒展开 linP(x<X≤x+△x F:(x+A)=F()+()x ■把概率理解为质量,f(x)相当于线密度. lim dE c) =P(x<X≤x+Ax) 设想一根极细的无穷长的金属杆,总质量为 fr() dFx() 1,概率密度相当于杆上各点的质量密度 通信原理 孩照大手 通信原理 概率密度函数性质 P2.12 两种随机变量的对比 CP2.12 1. Since F(x)is non-decreasing. /(x)20 2. F(x)- E)d,(the density and distribution are equivalent 3 Since F(o)=1,「=1 4P{x1<Xsx2)=F(2)-(x1)=R 5. If,=x1+h and h is small, then 通信原理 後sk季 通信原理 4後人手

通信原理 21 概率密度函数 (probability density function) lim dF X( x) x→ dx 0 + x = P ( x  X  x +x) X f dx ( x) dFX ( x) dF X(x) dx FX (x + x)  FX (x) + x 若 x → 0 , 可以将 FX (x + x) 泰勒展开 ◼ 利用概率密度可确定随机点落在某个范围 内的概率 P (x  X  x + x) FX (x + x) = FX (x) + P(x  X  x + x) CP 2.1.2 通信原理 22 ◼ 把概率理解为质量, 设想一根极细的无穷长的金属杆, 总质量为 1, 概率密度相当于杆上各点的质量密度. X f x→ 0 + x→ 0 + dx x = lim P ( x  X  x + x) (x)  dFX (x) = lim F (x + x) − F (x) 对 f X (x) 的进一步理解 ◼ 若 x 是 f X (x) 的连续点, 则 X f x (x) 相当于线密度. CP 2.1.2 概率密度函数性质 CP 2.1.2 两种随机变量的对比 CP 2.1.2 通信原理 23 通信原理 24

随机变量的函数 CP2.12 连续型随机变量函数的分布 CP2.1.2 ■考虑线性变换Y=g(x)=ax+b,ab∈R,a≠0 例已知F时刻噪声电压的分布 求功率W=R(R为电阻)的分布 a>0F1()=P(Y≤y)=P(ax+b≤y) bEly-b ■设随机变量X的分布已知,F=g(X,如何由X 的分布求出Y的分布 f dFr( ■离散型随机变量函数的分布 f() P({Y=y)=∑P({X=x}=∑p Fr) k(x) ∫(y) 通信原理 孩照大手 通信原理 孩sk季 小结 cP2.12 21.3多维随机变量 ■随机变量一试验结果的函数 到现在为止,我们只讨论了一维RV及其分布 离散型随机变量 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够 PMF CDF 而需要用几个随机变量来描述 ■连续型随机变量 口CDF,PDF 在打靶时,命中点的位置是由 寸R∨(两个坐标)来确定的. 随机变量的函数 飞机的重心在空中的位置是由三 个R∨(三个坐标)来确定的等等 後大手 通信原理 後人手

通信原理 25 随机变量的函数 CP 2.1.2 ◼ 设随机变量 X的分布已知,Y=g (X),如何由 X 的分布求出 Y 的分布? ◼ 离散型随机变量函数的分布 pk k g( xk )= yi k g(xk )= yi P (Y = yi)=  P (X = xk )=  例: 已知 t=t0时刻噪声电压 V 的分布, 求功率 W=V2 /R (R 为电阻) 的分布. 通信原理 26 连续型随机变量函数的分布 CP 2.1.2 ◼考虑线性变换 Y = g (X ) = aX + b, a, b R, a  0 Y a a = P X  y − b = F y − b    X       Y a F ( y )= 1− F y − b  X     a  0 F ( y )= P (Y  y)= P (aX + b  y) Y f a y − b ( y ) = dFY ( y ) = 1 f dy a X     Y a a y − b f ( y )= 1 f X     a  0 Y a y − b f (y )= 1 f X   −a   小结 ◼ 随机变量—试验结果的函数 ◼ 离散型随机变量  PMF, CDF ◼ 连续型随机变量  CDF, PDF ◼ 随机变量的函数 CP 2.1.2 2.1.3多维随机变量 在打靶时,命中点的位置是由一 对 RV (两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三 个 RV (三个坐标)来确定的等等. 到现在为止, 我们只讨论了一维 RV 及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够, 而需要用几个随机变量来描述. 通信原理 27 通信原理 28

二维随机变量 CP2.13 二维随机变量的联合分布函数 Joint CDF)c213 ■二维随机变量(X,Y)可以看成是从样本空 间S到R2的映射 维随机变量的 概率分布函数 x)=P(X≤x) 对应于试验的结果ξ,(X,Y)值同时被确定 ■设(x,)是二维随机变量,如果对于任意实 数x,y,二元函数 (x,y)=P(x≤x)(sy) 会P(X≤x,F≤y) 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或者 称为随机变量X和Y的联合分布函数. 通信原理 孩照大手 通信原理 二维随机变量的概率分布函数图例 P2.1.3 Joint probability density function CP2.13 ■二维连续性型随机变量的联合概率密度函数 (Joint probability density function F(x)=P(X≤x) P(x<X≤x+Ax,y<y≤y+y) (x+△x,y+4y) Fx(x+△r,y+△y) Fx. r(x+Ax,y) (r,y) 维随机变量的 概率分布函数 Fxr(x,y+Ay) F 二维随机变量的概率分布函数 通信原理 後大手 通信原理 32後人手

通信原理 29 二维随机变量 CP 2.1.3  S y x X ◼ 二维随机变量 (X ,Y ) 可以看成是从样本空 间 S 到 R 2 的映射 ◼ 对应于试验的结果  , (X ,Y )值同时被确定 Y (x, y ) 通信原理 30 二维随机变量的联合分布函数(Joint CDF) ◼ 设 (X ,Y )是二维随机变量, 如果对于任意实 数 x, y , 二元函数 FX ,Y (x, y )= P(X  x)  (Y  y )  P ( X  x ,Y  y) 称为二维随机变量 (X ,Y )的分布函数, 或者 称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数. 一维随机变量的 F X(x) = P (X  x) 概率分布函数 CP 2.1.3 二维随机变量的概率分布函数图例 FX (x) = P (X  x) x 一维随机变量的 概率分布函数 (x, y ) FX ,Y (x, y)= P(X  x ,Y  y) 二维随机变量的概率分布函数 CP 2.1.3 Joint probability density function ◼ 二维连续性型随机变量的联合概率密度函数 (Joint probability density function) P(x  X  x + x, y  Y  y + y ) (x, y ) (x + x, y + y) CP 2.1.3 X ,Y X ,Y X ,Y = F (x + x, y + y) − F − F (x + x, y ) (x, y + y ) +FX ,Y (x, y ) 通信原理 31 通信原理 32

联合概率密度函数的理解 CP2.13 边缘分布函数( marginal CDF) cP2.13 二维连续性型随机变量的联合概率密度函数 (Joint probability density function 二维随机变量(XY)作为一个整体,具有分 布函数Fx(x,y) lim x,(x, y)AxAy=P(x<xsx+Ax,y<Ysy+Ay) ■而X和Y都是随机变量,其各自的分布函 数分别记为FA(x),F(y)依次称为二维随 基于二元函数泰勒展开,可以得到 = Pefr, y) dney 机变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数 fxr(x, y) fFr (x,y) Fx(x)=P{X≤x=P{Xsx,Y≤+∞}=Fx,(x,+) axon F(y)=P(≤y=P(X≤+,Y≤y=Fx(+∞,y) Fx:(xy)=”[f(u)hah 通信原理 通信原理 边缭概率峦度函数 (marginal PDF)213 条件概率分布函数 (conditiona|cDF CP2.13 ■连续性二维随机变量(X,)分布函数Fx/(xy) ■条件概率分布函数定义 则(X,y)关于X的边缘概率密度为 F(|x)=lmP({Yy{x<X≤x+△x}) fx(x)=」fxy(x,y)d m Plrsxpd<xs x+ar D-I fx(u,v)duds imfx(x)Ax=P(x<X≤x+Ax,-<Y≤ P(x<Xsx+△x qudu fx.r(u,)dudu Ar[/x,(r, d /,(x,n)dv (x) ∫(x) limfx,,(x, y)d die lim Ax[x(r,)d hm(13)=2n山2x( 通信原理 後sk季 通信原理 x6後k手隐

通信原理 33 联合概率密度函数的理解 ◼ 二维连续性型随机变量的联合概率密度函数 (Joint probability density function) x →y 0 → 0 lim f X ,Y (x, y)xy = P (x  X  x + x, y  Y  y + y) X ,Y  2F ( x, y) f (x, y) = X,Y xy ( ) y x X ,Y f X ,Y (u, v) dudv − − F x, y =   基于二元函数泰勒展开, 可以得到 CP 2.1.3 通信原理 34 边缘分布函数 (marginal CDF) ◼ 而 和 都是随机变量,其各自的分布函 的边缘分布函数. ◼ 二维随机变量 (X ,Y )作为一个整体, 具有分 布函数 FX ,Y (x, y ). X Y 数分别记为 FX (x), FY( y ),依次称为二维随 机变量 (X ,Y )关于X 和 Y FX ( x) = PX  x = PX  x,Y  + = FX ,Y (x, +) FY ( y )= PY  y = PX  +,Y  y = FX ,Y (+, y) CP 2.1.3 边缘概率密度函数(marginalPDF) 的边缘概率密度为 ◼ 连续性二维随机变量(X,Y )分布函数FX ,Y(x, y ),  −  f X (x) =  f X ,Y (x, y)dy 则 (X ,Y )关于 X ( ) ( ) = lim = lim X ,Y X ,Y X ,Y x f (u, v) dudv f x, v dv x → 0 x+x   x → 0 x  x+x  −  −  x → 0 x → 0 lim f X (x)x = P(x  X  x + x, −   Y  ) du= lim x f x, v dv  −    CP 2.1.3 条件概率分布函数(conditional CDF) ◼ 条件概率分布函数定义 (   ) ( ) ( ) X ,Y X y y X ,Y X ,Y X X P Y (u,v) dudv (u)du f x, v dv f (x) x → 0 y x+x f − x x+x f x x → 0 x → 0 −  −  x → 0 FY |X (y | x) = lim P (Y  y | x  X  x + x) = lim = lim P (x  X  x + x) x f x, v dv = f ( x) x       y  x  X  x +x  lim Y|X X ,Y Y|X X f (x, y ) f (x) F (y | x) f (y | x)= = y CP 2.1.3 通信原理 35 通信原理 36

条件概率密度函数的几何解释 CP2.13 随机变量相互独立的定义 cP2.13 fx,(r,y) 两事件A,B独立的定义:若P(AB=P(AP(B) fx,(, y)dxdy 则称事件A,B独立 y+dy f()dx ■设(X,H)是两个RV,若对任意的x,y,有 [/xr( P(X≤x,Y≤y)=P(Xsx)P(Y≤y) 则称X和Y相互独立 ∫Gx(xy))h=f()d ■若X和y相互独立,有 f(x)=11m(1)h=f:(,y)dd T, y)dxdy Fx,r(x,y)=FxGF() fr gr)dx fxr(x,y)=f()f( 通信原理 孩照大手 通信原理 孩手 离散型随机变量的联合概率质量函数23 离散型随机变量的边缘概率质量函数 CP2.1.3 二维离散型随机变量的联合概率质量函数 ■二维离散型随机变量的边缘概率质量函数 (Joint probability mass function) (marginal probability mass function P(X=X, Y=y)=P i,j=1, 2, P≥0,j=12, P{X=x}=∑P{x=x1,=y}∑p Pi Pn Pa nPn日Pa J2 P12 P2 P Pu\ Pij 後大手 通信原理

通信原理 37 条件概率密度函数的几何解释 X ,Y (x, y )dy f X ,Y (x, y)dxdy f X (x)dx  = dx f − (f X ,Y (x, y )dx )dy = f X (x) dx CP 2.1.3 x x +dx y +dy y y fX ,Y (x, y) x ( | ) X Y, ( ( ) f y x dy = f x, y dxdy Y X| f x)dx X Y |X f f (x)dx (y | x)dy = f X ,Y (x, y )dxdy X ,Y f (x, y )dxdy f X (x) dx =1  通信原理 38 随机变量相互独立的定义 两事件 A, B 独立的定义: 若P(AB)=P(A)P(B), 则称事件 A, B 独立. X ,Y f (x, y)= f X (x) fY (y) P ( X  x,Y  y) = P( X  x)P(Y  y) 则称 X 和 Y 相互独立. ◼ 若X 和 Y 相互独立, 有 FX ,Y (x, y ) = FX (x) FY( y) ◼ 设 (X ,Y )是两个RV, 若对任意的 x, y , 有 CP 2.1.3 离散型随机变量的联合概率质量函数 ◼ 二维离散型随机变量的联合概率质量函数 (Joint probability mass function) j y1 y2  y  X Y x1 x2  xi  i1 p11 p21  p    2 j  ij  p12  p p22  p pi2  p 1j     j i    pij =1 P ( X = xi ,Y = y j ) = pij i, j =1, 2,   pij  0 i, j = 1,2, CP 2.1.3 离散型随机变量的边缘概率质量函数 ◼ 二维离散型随机变量的边缘概率质量函数 (marginal probability mass function)    i j   j=1 j=1 P X = xi = P X = x ,Y = y =  p ij y1 y2  y j  X Y x1 x2  xi  11 21 i1 p p p 22 i2 p p p     p1j   12   p2j  pij  j  P  ij CP 2.1.3 通信原理 39 通信原理 40