免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 平行四边形及特殊的平行四边形中的典型题目 【同步教育信息】 .本周教学内容 平行四边形及特殊约平行四边形中的共型题目 学习要求: 理解平行四边形的性质,掌平行四边形的识别方法 2.理解特殊平行四边形的性质,掌握特殊平行四边形的识别方法。 3.学会一些证明题目的明方法,从中体会逻辑推理的方法。 二.重点、难点: 学习重点 平行四边形的性质及识别方法 2.特殊平行四边形的性质及识别六法 学习难点 逻辑推理的方法。 【学习内容】 关于平行四边形性质及识别的典型题目: 例1.如图1所示,平行四边形ABCD中,AC与BD的和为28,CD=5 (1)求△COD的周长 (2)△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积相等吗?为什么?若平行四边形ABCD的面 积是56,则△AOB的面积等于多少? (3)△ACD与△BCD的面积相等吗?为什么? 图 解:(1)由于在平行四边形ABCD中,A0=0C,BO=0D,且AC+BD=28 所以C0+0=14 又因为CD=5 所以,△COD的周长为19。 (2)△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积相等。其理由是 平行四边形ABCD中,BO=0D,且△AOB与△AOD中边OB、OD上的高相同,都是AE(过 A作AE⊥BD,点E是垂足)所以 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 平行四边形及特殊的平行四边形中的典型题目 【学习内容】 一. 关于平行四边形性质及识别的典型题目： 例 1. 如图 1 所示，平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 的和为 28，CD＝5。 （1）求ΔCOD 的周长。 （2）ΔAOB、ΔBOC、ΔCOD、ΔDOA 的面积相等吗？为什么？若平行四边形 ABCD 的面 积是 56，则ΔAOB 的面积等于多少？ （3）ΔACD 与ΔBCD 的面积相等吗？为什么？ A D B C E O 图 1 解：（1）由于在平行四边形 ABCD 中，AO＝OC，BO＝OD，且 AC＋BD＝28 所以 CO＋OD＝14 又因为 CD＝5 所以，ΔCOD 的周长为 19。 （2）ΔAOB、ΔBOC、ΔCOD、ΔDOA 的面积相等。其理由是： 平行四边形 ABCD 中，BO＝OD，且ΔAOB 与ΔAOD 中边OB、OD 上的高相同，都是 AE（过 A 作 AE⊥BD，点 E 是垂足）所以 SABO=SADO 同理SADO=SCDO=SBOC 即有SAOB=SBOC=SCOD=SDOA
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 亦即△AOB的面积为14 月v 例2.如图2,在△ABC中,BD平分∠ABC,DE//BC,EF/AC,说明线段BE与CF相等 图2 解:因DE//BC知∠2=∠3 又BD平分∠ABC,可知∠1=∠2 故∠1=∠ 得DE=EB 而DE//BC,EF//AC知四边形DECF是平行四边形 有DE=CF 故可知EB=CF 例3.如图3,已知E、F分别为平行四边形ABCD的边CD、AB上的一点,AE//CF,BE、DF 分别交CF、AE于H、G,试说明EG=FH 图3 解:因为AE/CF,AF//CE 所以四边形AECF是平行四边形 所以AF=C 又因为AB=CD 所以BF=DE 所以四边形BFDE是平行四边形 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 亦即ΔAOB 的面积为 14 （3）由（2）知SAOD=SCOD=SBOC 所以SAOD+SDOC=SBOC+SDOC 所以SACD=SBCD 即CD与CD的面积相等 例 2. 如图 2，在ΔABC 中，BD 平分∠ABC，DE//BC，EF//AC，说明线段 BE 与 CF 相等。 A D E C F B 3 2 1 图 2 解：因 DE//BC 知∠2＝∠3 又 BD 平分∠ABC，可知∠1＝∠2 故∠1＝∠3 得 DE＝EB 而 DE//BC，EF//AC 知四边形 DECF 是平行四边形 有 DE＝CF 故可知 EB＝CF 例 3. 如图 3，已知 E、F 分别为平行四边形 ABCD 的边 CD、AB 上的一点，AE//CF，BE、DF 分别交 CF、AE 于 H、G，试说明 EG＝FH。 A D G F E B C H 图 3 解：因为 AE//CF，AF//CE 所以四边形 AECF 是平行四边形 所以 AF＝CE 又因为 AB＝CD 所以 BF＝DE 所以四边形 BFDE 是平行四边形
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ B 所以EG=FH 说明:EG=FH,从位置上看只要说明四边形EGFH是平行四边形即可。由于EG//FH,而 EG=FH是要说明的结果,所以首选的方法是DF/BE,故要说明相等的线段是四边形的一组 对边时,常常先说明这个四边形是平行四边形。 例4.如图4,在平行四边形ABCD中,延长AB至E,延长CD至F,使B=DF,说明AC 与EF互相平分 图4 解:可连接AF、CE 因为四边形ABCD是平行四边形 所以AB//CD,AB=CD 又因为BE=DF 所以AB+BE=CD+D 即有AE=CF 所以四边形AECF是平行四边形,AC与EF互相平分 说明:要说明两条线段互相平分,只要说明两线段的四端点构成的四边形是平行四边形 即可。 例5.如图5,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,DE//AC交AB于E,DF//AB交AC于 说明DE+DF=AB 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 故 又 DF AE / / / / BE CF 得四边形GFHE是平行四边形 所以 EG＝FH 说明：EG＝FH，从位置上看只要说明四边形 EGFH 是平行四边形即可。由于 EG//FH，而 EG＝FH 是要说明的结果，所以首选的方法是 DF//BE，故要说明相等的线段是四边形的一组 对边时，常常先说明这个四边形是平行四边形。 例 4. 如图 4，在平行四边形 ABCD 中，延长 AB 至 E，延长 CD 至 F，使 BE＝DF，说明 AC 与 EF 互相平分。 A B E O C D F 图 4 解：可连接 AF、CE A B E O C D F 因为四边形 ABCD 是平行四边形 所以 AB//CD，AB＝CD 又因为 BE＝DF 所以 AB＋BE＝CD＋DF 即有 AE＝CF 所以四边形 AECF 是平行四边形，AC 与 EF 互相平分。 说明：要说明两条线段互相平分，只要说明两线段的四端点构成的四边形是平行四边形 即可。 例 5. 如图 5，在ΔABC 中，AB＝AC，点 D 在 BC 上，DE//AC 交 AB 于 E，DF//AB 交 AC 于 F， 说明 DE＋DF＝AB
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 图5 解:在△ABC中,DF//AB,故而∠FDC=∠B 又AB=AC知∠C=∠B 有∠C=∠FDC 有DF=FC ID/A 有DE=AF 故DE+DF=AF+FC=AC=A 例6.如图6,在△ABC中,D、E分别是其AB、AC的中点,说明: 解:(1)先延长DE至F,使得DE=EF 故在四边形ADCF中,AE=EC,DE=EE 四边形AFCD是平行四边形 CF/AD,即CF/AB,CF/DB 而CF=AD,AD=DB 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com A E F B D C 图 5 解：在ΔABC 中，DF//AB，故而∠FDC＝∠B 又 AB＝AC 知∠C＝∠B 有∠C＝∠FDC 有 DF＝FC 而 DF DE //AB //AC 知四边形AEDF是平行四边形 有 DE＝AF 故 DE＋DF＝AF＋FC＝AC＝AB 例 6. 如图 6，在ΔABC 中，D、E 分别是其 AB、AC 的中点，说明： （1） （2） 1 DE 2 //BC DE=BC A D E B C 图 6 解：（1）先延长 DE 至 F，使得 DE＝EF E D B A F C 故在四边形 ADCF 中，AE＝EC，DE＝EF 四边形 AFCD 是平行四边形 CF//AD，即 CF//AB，CF//DB 而 CF＝AD，AD＝DB
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 有 知四边形DBCF是平行四边形 有DF//BC,即DE//BC )。LD YEEWERERD 说明:(1)此题的证明方法用的是构造法在知道中点较多的情况下,尽可能构造出两 组线段互相平分,得到平行四边形,用平行四边形的知识作桥梁,将条件转化,得到结论 (2)此题的结果是三角形中的一条关于中位线的性质: 中位线:连接中点的连线段 性质:中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。 关于特殊平行四边形的一些典型题目 例7.如图7,在矩形ABCD中,E在BC上,AE=AD,DF⊥AE于F,说明CE=FE。 图7 解:连结DE 因为四边形ABCD是矩形,所以 ∠ADC=90°,∠CDE+∠ADE=90 因为DF⊥AE 所以∠EDF+∠AED=90° 因为AE=AD ∠ADE=∠AED 故∠CDE=∠EDF(等角的余角相等) 因为DF⊥AE,CD⊥BC 所以CE=FE(角平分线上的点到角两边距离相等) 注意:这里DF⊥AE,CD⊥BC,要说明EC=EF,只要说明DE是∠CDF的平分线即可。 即要说明两条线段相等,只需说明这两条线段是某一个角的平分线上的点到角的两边的 距离即可 例8.如图8,在矩形ABCD中,AC、BD相交于0,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°, 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 有 CF＝DB 知四边形 DBCF 是平行四边形 有 DF//BC，即 DE//BC （）在平行四边形 中， 在平行四边形 中， 2 故 1 2 1 2 ADCF DE DF BDFC BCDF DE BC = = = 说明：（1）此题的证明方法用的是构造法在知道中点较多的情况下，尽可能构造出两 组线段互相平分，得到平行四边形，用平行四边形的知识作桥梁，将条件转化，得到结论。 （2）此题的结果是三角形中的一条关于中位线的性质： 中位线：连接中点的连线段。 性质：中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 二. 关于特殊平行四边形的一些典型题目： 例 7. 如图 7，在矩形 ABCD 中，E 在 BC 上，AE＝AD，DF⊥AE 于 F，说明 CE＝FE。 A D B E C F 图 7 解：连结 DE A D B E C F 因为四边形 ABCD 是矩形，所以 ∠ADC＝90°，∠CDE＋∠ADE＝90° 因为 DF⊥AE 所以∠EDF＋∠AED＝90° 因为 AE＝AD ∠ADE＝∠AED 故∠CDE＝∠EDF（等角的余角相等） 因为 DF⊥AE，CD⊥BC 所以 CE＝FE（角平分线上的点到角两边距离相等） 注意：这里 DF⊥AE，CD⊥BC，要说明 EC＝EF，只要说明 DE 是∠CDF 的平分线即可。 即要说明两条线段相等，只需说明这两条线段是某一个角的平分线上的点到角的两边的 距离即可。 例 8. 如图 8，在矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于 O，AE 平分∠BAD交 BC 于 E，∠CAE＝15°