其通解为y(1)=c1 cos ot+e2SmOt 令y=ASn 由初始条件y(0)=y Jo/O=AcoS o j(0)=j y(t)=Asin( at+o) 可得C1=yC2=j/O 其中 + y(t)=yo cos at+osin @t tan 二.振动分析 单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动 丌 2丌 y(t)=Asin( at +o)=Asin( at+o+2)=Asina(t+-)+o=y(t+-) 2丌 T 自振周期 与外界无关,体系本身固有的特性 O 1.2丌自振园频率(自振频率) T A 振幅 初相位角
二.振动分析 其通解为 y(t) c cost c sint = 1 + 2 由初始条件 0 y(0) = y 0 y (0) = y 可得 1 0 c = y c2 = y 0 / t y y t y t ( ) cos sin 0 0 = + 令 y0 = Asin y 0 / = Acos y(t) = Asin(t +) 其中 2 2 2 0 0 y A y = + 0 0 tan y y = 单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动. ) 2 ) ] ( 2 ( ) sin( ) sin( 2 ) sin[ ( y t = A t + = A t + + = A t + + = y t + 2 T = 自振周期 2 1 = T 自振园频率(自振频率) 与外界无关,体系本身固有的特性 A 振幅 初相位角
三.自振频率和周期的计算 (2)利用机械能守恒 1.计算方法 (1)利用计算公式 7()+U(1)=常数 k T(t=my(t)=mA@ coS(ot +o) m mo w=mg, Ast=wE11 U(r)=k,y(t)=-kuA'sin(ot+o) 2 g max max 二.振动分析 单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动 丌 2丌 y(t)=Asin( at +o)=Asin( at+o+2)=Asina(t+-)+o=y(t+-) 2丌 T 自振周期 1.2丌自振园频率(自振频率) 与外界无关,体系本身固有的特性 O T A 振幅 q 初相位角
二.振动分析 单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动. ) 2 ) ] ( 2 ( ) sin( ) sin( 2 ) sin[ ( y t = A t + = A t + + = A t + + = y t + 2 T = 自振周期 2 1 = T 自振园频率(自振频率) 与外界无关,体系本身固有的特性 A 振幅 初相位角 三.自振频率和周期的计算 1.计算方法 (1)利用计算公式 11 2 11 1 m m k = = 11 W = mg, st =W st g = 2 (2)利用机械能守恒 T(t) +U(t) =常数 cos ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 2 2 2 T t = my t = mA t + sin ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 2 1 1 2 U t = k1 1 y t = k A t + Tmax =Umax
三.自振频率和周期的计算 (2)利用机械能守恒 1.计算方法 (1)利用计算公式 7()+U(t)=常数 k T(t=my(t)=mA@ coS(ot +o) m mo w=mg, Ast=wE11 U(r)=k,y(t)=-kuA'sin(ot+o) 2 g max mAo 2 (3)利用振动规律 y(t) k y(t)=Asin( @t +o) I EI v(t=-A@ sin( at +o) 1(t)=-my(t)=mAo sin( at +o) 几k1 11-14 幅值方程 位移与惯性力同频同步
三.自振频率和周期的计算 1.计算方法 (1)利用计算公式 11 2 11 1 m m k = = 11 W = mg, st =W st g = 2 (2)利用机械能守恒 T(t) +U(t) =常数 cos ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 2 2 2 T t = my t = mA t + sin ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 2 1 1 2 U t = k1 1 y t = k A t + Tmax =Umax (3)利用振动规律 y(t) = Asin(t +) ( ) sin( ) 2 y t = −A t + ( ) ( ) sin( ) 2 I t = −m y t = mA t + 位移与惯性力同频同步. 2 Ak11 = mA 1 11 k m l EI y(t) 2 mA A 幅值方程 m k 2 11 =
三.自振频率和周期的计算 2.算例 例一.求图示体系的自振频率和周期 解 1·1·=1+-1·/·7-1·=) EI 2 12 El 12El Vml II 12 2兀=2兀 7ml 12EI
三.自振频率和周期的计算 2.算例 例一.求图示体系的自振频率和周期. 3 11 7 1 12 ml EI m = = ) 2 2 1 2 1 3 2 2 1 ( 1 1 1 l l l l l l l l l EI = + − EI ml T 12 7 2 2 3 = = m EI l EI l =1 11 =1 l l/2 l 解: EI l 3 12 7 =
例二求图示体系的自振频率和周期.。m/2 EI 解 11 3E EI El 321 2 3El 13 T=2丌 VEL 例三.质点重W,求体系的频率和周期 EI k BEl 解:k1=k+ k m=W/ g ku gEl k+ BEI BEl k 少8
例二.求图示体系的自振频率和周期. 3 3 3 2 2 3 1 ml EI EI l m = = EI l 3 11 3 2 = EI ml T 3 = 2 =1 解: 2 3 l EI m EI l l m/2 EI EI l l 例三.质点重W,求体系的频率和周期. 11 3 3 l EI 解: k = k + EI k l 11 k 1 11 k 3 k 3 l EI m = W / g g W l EI k 3 3 + =