3-3周期信号的频谱 一、周期信号的频谱 一个周期信号)，只要满足狄里赫利条件，则可分解为一系列谐波分量之和。其 各次谐波分量可以是正弦函数或余弦函数，也可以是指数函数。不同的周期信号，其展 开式组成情况也不尽相同。在实际工作中，为了表征不同信号的谐波组成情况，时常画 出周期信号各次谐波的分布图形，这种图形称为信号的频谱，它是信号频域表示的一种 方式。 描述各次谐波振幅与频率关系的图形称为振幅频谱，描述各次谐波相位与類率关系 的图形称为相位频谱。根据周期信号展成傅里叶级数的不同形式又分为单边须谱和双边 频谱。 1单边频谱 若周期信号)的傅里叶级数展开式为式(3-15)，即 f0=4+∑Acos60+,）3-20 司 则对应的振幅频谱A和相位频谱？。称为单边频谱。 例3-3求图3-4所示周期矩形信号f()的单边频谱图。 解由()波形可知，()为偶函数，其傅里叶系数 a=0h=月 .f()cosnd=2sin(m/) nπ b=0
3-3 周期信号的频谱 一、 周期信号的频谱 一个周期信号 f (t)，只要满足狄里赫利条件，则可分解为一系列谐波分量之和。其 各次谐波分量可以是正弦函数或余弦函数，也可以是指数函数。不同的周期信号，其展 开式组成情况也不尽相同。在实际工作中，为了表征不同信号的谐波组成情况，时常画 出周期信号各次谐波的分布图形，这种图形称为信号的频谱，它是信号频域表示的一种 方式。 描述各次谐波振幅与频率关系的图形称为振幅频谱，描述各次谐波相位与频率关系 的图形称为相位频谱。根据周期信号展成傅里叶级数的不同形式又分为单边频谱和双边 频谱。 1 单边频谱 若周期信号 f (t)的傅里叶级数展开式为式(3-15)，即 ∑ ∞ = = + Ω + 1 0 ( ) cos( ) n n n f t A A n t ϕ (3-24) 则对应的振幅频谱 An 和相位频谱ϕ n 称为单边频谱。 例 3-3 求图 3-4 所示周期矩形信号 f (t)的单边频谱图。 解 由 f (t)波形可知， f (t)为偶函数，其傅里叶系数 ∫ = = / 2 0 0 2 1 ( ) 4 T f t dt T a ∫ = Ω = / 2 0 2sin( / 4) ( ) cos 4 T n n n f t n tdt T a π π bn = 0 故
因此 4 即 4=0.45 43*0.32 A3≈0.15 A4=0 4≈0.09 4。≈0.106 单边振幅频谱如图3-5所示。 025 29 106 -T/20T/24 022232425262702 图3-4 图3-5 2双边频谱 若周期信号)的傅里叶级数展开式为式(3-17)，即 f0)=rem6-2) 则F与n2所描述的振幅频谱以及F,的相位arctanF。=0.与n2所描述的相位频谱 称为双边频谱。 例3-4画出图3-4所示矩形周期信号（四的双边频谱图形。 解由式(3-18)和图3-4可知
∑ ∑ ∞ = ∞ = = + Ω = + Ω 1 1 0 cos 2sin( / 4) 4 1 cos 2 ( ) n n n n t n n a n t a f t π π 因此 4 1 A0 = , π π n n An 2sin( / 4) = 即 0.45 A1 = , 0.32 A2 ≈ , A3 ≈ 0.15 , 0 A4 = , A5 ≈ 0.09 , A6 ≈ 0.106 ┅ 单边振幅频谱如图 3-5 所示。 t f(t) 图 3 - 4 −4τ −τ /20τ /2 4τ 1 图 3 - 5 0.25 0.45 0.32 0.15 0.09 0.106 0 Ω2Ω3Ω4Ω5Ω6Ω7Ω An 2 双边频谱 若周期信号 f (t)的傅里叶级数展开式为式(3-17)，即 ( ) ∑ (3 - 25) ∞ =−∞ Ω = n jn t n f t F e 则 Fn 与 nΩ 所描述的振幅频谱以及 Fn 的相位 Fn = θ n arctan 与 nΩ 所描述的相位频谱 称为双边频谱。 例 3-4 画出图 3-4 所示矩形周期信号 f (t)的双边频谱图形。 解 由式(3-18)和图 3-4 可知
E-10e-×2sm四 4 -号，=025.a=0159.R=075 F4=0F5=-0.045.F6=0.053 故Fn,arctan F的双边频谱图如图3-6所示。 F 025 0225159 9● -50-32-2023030 >0 AarctanF ◆◆ 50300023030 →0 图3-6 从上例谱图上可以看出，单边振幅频谱是指A=2F与正n值的关系，双边振 幅频谱是指F与正负n值的关系。应注查F=F,所以将双边振幅频诺F”围 绕纵轴将负”一边对折到n一边，并将振幅相加，便得到单边振幅频谱。 当F为实数，且)各谐波分量的相位为零或士，图形比较简单时，也可将振 幅频谱和相位频谱合在一幅图中。比如，例3-4中()的频谱可用F。与2关系图形反 映，如图3-7所示
∫− − Ω = = × / 2 / 2 4 2sin( / 4) 4 1 ( ) 1 T T jn t n n n f t e dt T F π π 4 1 F0 = , 0.225 F±1 = , 0.159 F±2 = , F±3 = 0.075 0 F±4 = , F±5 = −0.045, F±6 = 0.053. 故 Fn , Fn arctan 的双边频谱图如图 3-6 所示。 图 3 - 6 0.25 0.225 0.159 0.075 0.045 ω -5Ω -3Ω -Ω 0 Ω 3Ω 5Ω Fn ω -5Ω -3Ω -Ω 0 Ω 3Ω 5Ω Fn arctan 从上例频谱图上可以看出，单边振幅频谱是指 An Fn = 2 与正 n 值的关系，双边振 幅频谱是指 Fn 与正负 n 值的关系。应注意 Fn = F−n ，所以将双边振幅频谱 F n n − 围 绕纵轴将负 n 一边对折到 n 一边，并将振幅相加，便得到单边振幅 An频谱。 当 Fn 为实数，且 f (t)各谐波分量的相位为零或±π，图形比较简单时，也可将振 幅频谱和相位频谱合在一幅图中。比如，例 3-4 中 f (t)的频谱可用 Fn 与 nΩ 关系图形反 映，如图 3-7 所示
● -70-50 6042-3-02 32 5279→0 图3.7 3周期信号频谱的特点 图3-7反映了周期矩形信号频谱的一些性质，实际上它也是所有周期信号频谱 的普遍性质，这就是： (1)离散性。指频谱由频率离散而不连续的谱线组成，这种频谱称为离散频谱或线 谱。 幻酱波性。指各次谐波分量的频率都是基波频幸Q=千的整数修，丽月 波的频率间隔是均匀的，即谱线在频率轴上的位置是2的整数倍。 (3)收敛性。指谱线幅度随”→∞而衰减到零。因此这种频谱具有收敛性或衰减性。 二、周期信号的有效频谱宽度 在周期信号的频谱分析中，周期矩形脉冲信号的频谱具有典型的意义，得到广泛的 应用。下面以图3-8所示的周期矩形脉冲信号为例，进一步研究其频谱宽度与脉冲宽度 之间的图3-8关系。 f -x/20x2 图3-8 图3-8所示信号(0的脉冲宽度为t,脉冲幅度为E,重复周期为T,重复角频率
0.25 ω -4Ω-3Ω -Ω 0 Ω 3Ω Fn −7Ω−5Ω 5Ω 7Ω 图 3 - 7 3 周期信号频谱的特点 图 3-7 反映了周期矩形信号 f (t)频谱的一些性质，实际上它也是所有周期信号频谱 的普遍性质，这就是： (1) 离散性。指频谱由频率离散而不连续的谱线组成，这种频谱称为离散频谱或线 谱。 (2) 谐波性。指各次谐波分量的频率都是基波频率 T 2π Ω = 的整数倍，而且相邻谐 波的频率间隔是均匀的，即谱线在频率轴上的位置是Ω 的整数倍。 (3) 收敛性。指谱线幅度随 n → ∞ 而衰减到零。因此这种频谱具有收敛性或衰减性. 二、 周期信号的有效频谱宽度 在周期信号的频谱分析中，周期矩形脉冲信号的频谱具有典型的意义，得到广泛的 应用。下面以图 3-8 所示的周期矩形脉冲信号为例，进一步研究其频谱宽度与脉冲宽度 之间的图 3-8 关系。 t f(t) 图 3 - 8 E ． ． ． ． ． ． −T −τ / 20τ / 2 T 图 3-8 所示信号 f (t)的脉冲宽度为τ ，脉冲幅度为 E ，重复周期为T ，重复角频率
为n号 若将f0展开为式(3-17)傅里叶级数，则由式(3-18)可得 E=em=s( (3-26 T 在这里F,为实数。因此一般把振幅频谱和相位频谱合画在一幅图中，如图3-9所示。 -72-52 5279→0 。e42-32-20232.6 图3-9 由此图可以看出： 田周用哈号台是商原.两闲为0：兰。 (2)直流分量、基波及各次谐波分量的大小正比于脉幅E和脉宽T,反比于周期T, sin x 其变化受包络线x的牵制。 学空 【称为零 分量频率。 (④)周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，它可分解为无限多个频率分量，但其主 能量集中在第一个零分量频率之内。因此通常邦0=0、7 T这段频率范围称为矩形 信号的有效频谱宽度或信号的占有频带，记作
为 T 2π Ω = 。 若将 f (t)展开为式(3-17)傅里叶级数，则由式(3-18)可得 ∫− − Ω Ω = = / 2 / 2 ) 2 ( 1 τ τ τ n τ S T E Ee T F a jn t n (3-26) 在这里 Fn 为实数。因此一般把振幅频谱和相位频谱合画在一幅图中，如图 3-9 所示。 ω -4Ω-3Ω -Ω 0 Ω 3Ω Fn −7Ω−5Ω 5Ω 7Ω 图 3 - 9 Eτ /T 由此图可以看出： (1) 周期矩形脉冲信号的频谱是离散的，两谱线间隔为 T 2π Ω = 。 (2) 直流分量、基波及各次谐波分量的大小正比于脉幅 E 和脉宽τ ，反比于周期T ， 其变化受包络线 x sin x 的牵制。 (3) 当 ( 1, 2 ) 2 = m = ± ± ⋅⋅⋅ m τ π ω 时，谱线的包络线过零点。因此 2 τ π ω m = 称为零 分量频率。 (4) 周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，它可分解为无限多个频率分量，但其主 要能量集中在第一个零分量频率之内。因此通常把 τ π ω 2 = 0 ~ 这段频率范围称为矩形 信号的有效频谱宽度或信号的占有频带，记作 或