第五章卷积码的译码算法 同样，当p很小时，上式近似为： B.(E)=B2p(1-pBp (5.26) 三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三 例54：对于式(5.1)所示的(3,1,2)编码器，de=7,B=1,当p=102时， 有：P,(E)≈2p2=1.28×105,与事件错误概率相同。这就是说，当p很小时，最可能 出错的事件是译码成重量为7的路径，因此引起一个信息比特错误。 如果BSC是从AWGN信道、BPSK调制、最优相干检测、2-ary输出量化（硬判决）推 导的，则 2E p=0 (5.27) 1 【Q(x)≤ ,x≥0】 0.5 0.4 0.3 fl(x) f2(x) 0.2 0.1 8 10 这样【当p很小时，信道SNR就很大】 B(E)≈B,2.eue2e (5.28) 由于每比特能量E,色三，R是编码速率，这样上式改写为（对于较大EN: R R(E)≈B,n.2w/ea1X6o,(with codng） (5.29) 如果不使用编码，即R=1,E,=E6,BSC转移概率p是误比特率P6(E): B(E)=C (without coding) (5.30) 比较式(5.29)和式(5.30)，我们可看到，对于给定的E/No,指数部分相差一个因子 RdI2,由于当EWo较大时，指数项占主导地位，这个因子(dB值)称为渐近编码增 11 Copyright by周武旸
第五章 卷积码的译码算法 11 Copyright by 周武旸 同样，当 p 很小时，上式近似为： / 2 ( ) 2 (1 2 free free free free free d d d PE B p p B p b d d ≈ −≈ （5.26） ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 例 5.4：对于式（5.1）所示的（3，1，2）编码器， 7 free d = ， 1 free Bd = ，当 2 p 10− = 时， 有： 7 7/2 5 ( ) 2 1.28 10 PE p b − ≈ =× ，与事件错误概率相同。这就是说，当 p 很小时，最可能 出错的事件是译码成重量为 7 的路径，因此引起一个信息比特错误。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 如果 BSC 是从 AWGN 信道、BPSK 调制、最优相干检测、2-ary 输出量化（硬判决）推 导的，则 0 / 0 2 1 2 s E N s E pQ e N − = ≈ （5.27） 【 2 1 / 2 ) 0 2 ( , x Q x e x − ≤ ≥ 】 这样【当 p 很小时，信道 SNR 就很大】 0 / 2 ( / 2)( / ) () 2 free free s free d d EN PE B e b d − ≈ （5.28） 由于每比特能量 s b E E R ，R 是编码速率，这样上式改写为（对于较大 Eb/N0）： 0 / 2 ( / 2)( / ) () 2 ,( ) with coding free free b free d Rd E N PE B e b d − ≈ （5.29） 如果不使用编码，即 R＝1，Es＝Eb，BSC 转移概率 p 是误比特率 Pb(E)： 0 / 0 without coding 2 1 ( ) , ( ) 2 b E N b b E PE Q e N − = ≈ （5.30） 比较式（5.29）和式（5.30），我们可看到，对于给定的 Eb/N0，指数部分相差一个因子 / 2 Rd free ，由于当 Eb/N0 较大时，指数项占主导地位，这个因子（dB 值）称为渐近编码增
第五章卷积码的译码算法 (asymptotic coding gain)y (硬判决情况下)： Rd y10l0g10 dB (5.31) 2 注意：当SNR变小时，编码增益也变小。实际上，如果SNR(ENo)降低到编码速率R 大于信道容量C的那个点时，可靠通信已经不可能了，此时未编码系统反而会有更好的性 能。 对于二值输入、Q-ary输出的DMC信道，性能界为： P(E)<A(X)Ix=D (5.32a) B.(E)<B(X)Ix=D (5.326b) 其中D,色号、PU0AU币是信道转移概率的函数。称为B助acya参数，当Q=-2 0 时，D,=2√pI-P),就是BSC信道。 在二值输入、连续输出的AWGN信道情况下，假设发送码字是全0码字 v=(-1,-1,…,-1)【映射关系1→+1和0→-1】，现在来计算正确路径V在t时刻首次被 删除的概率Pa,其中v是在与错误路径v'(与v的Hamming距离是d)的PK中“牺牲” 的。因为Viterbi算法选择具有最大似然函数值的路径，在t时刻首次事件错误概率为： P=PrM([rIv])>M([rlv])=Pr([r-v]>[r-v]) =mrv1-r>0)=my-2>0} (5.33) m-6y>0} 其中[rv]表示r和V在前1个分支的内积。很显然，上式中只有d个位置不为0，假设 1=1,2,…,d表示这些位置，因为≠y,=+1,=-1,式(533)可表示为： B=r么-2->0=r2>0=m2>0 (5.34) 上式表示如果接收信元的值在y≠y,的d个位置上的累积和为正数，就会在t时刻发生首次 错误事件。 由于信道是无记忆的，发送码字v=(-1,-1,…,-),p兰∑上是d个独立高斯随机 变量的和，每个”是均值为一1、方差为N2E,的高斯随机变量（见式5.12），样p是均 12 Copyright by周武旸
第五章 卷积码的译码算法 12 Copyright by 周武旸 益（asymptotic coding gain）γ （硬判决情况下）： 10 10log 2 Rd free γ dB （5.31） 注意：当 SNR 变小时，编码增益也变小。实际上，如果 SNR（Eb/N0）降低到编码速率 R 大于信道容量 C 的那个点时，可靠通信已经不可能了，此时未编码系统反而会有更好的性 能。 对于二值输入、Q-ary 输出的 DMC 信道，性能界为： 0 ( ) ( )| PE AX < X D= （5.32a） 0 ( ) ( )| P E BX b < X D= （5.32b） 其中 1 0 0 ( | 0 )( |1) Q j D Pj Pj − = ∑ 是信道转移概率的函数，称为 Bhattacharyya 参数，当 Q＝2 时， 0 D pp = − 2 (1 ) ，就是 BSC 信道。 在二值输入、连续输出的 AWGN 信道情况下， 假设发送码字是全 0 码 字 v =− − − ( 1, 1, , 1) 【映射关系1 1 → + 和0 1 → − 】，现在来计算正确路径 v 在 t 时刻首次被 删除的概率 Pd，其中 v 是在与错误路径 v′（与 v 的 Hamming 距离是 d）的 PK 中“牺牲” 的。因为 Viterbi 算法选择具有最大似然函数值的路径，在 t 时刻首次事件错误概率为： { ([ ] ) ([ ] )} {[ ] [ ] } {[ ] [ ] } 1 1 0 0 1 1 0 0 Pr | | Pr Pr 0 Pr 0 Pr 0 d t t t t t t ll ll t t l l nt nt ll ll l l PM M rv rv − − = = − − = = = ′ ′ > = ⋅ >⋅ = ⋅ −⋅ > = ⋅− ⋅ > ′ ′ = ⋅− ⋅> ′ ∑ ∑ ∑ ∑ rv rv rv rv rv rv r v r v （5.33） 其中[ ]t r v⋅ 表示 r 和 v 在前 t 个分支的内积。很显然，上式中只有 d 个位置不为 0，假设 l d =1, 2, , 表示这些位置，因为 l l v v ′ ≠ ， 1 l v′ = + ， 1 l v = − ，式（5.33）可表示为： 1 1 1 1 Pr ( ) ( ) 0 Pr 2 0 Pr 0 d d d d d ll l l l l l l P rr r r = = = = = +− −> = > = > ∑∑ ∑ ∑ （5.34） 上式表示如果接收信元的值在 l l v v ′ ≠ 的 d 个位置上的累积和为正数，就会在 t 时刻发生首次 错误事件。 由于信道是无记忆的，发送码字 v =− − − ( 1, 1, , 1) ， 1 d l l ρ r ∑ = 是 d 个独立高斯随机 变量的和，每个 rl 是均值为－1、方差为 N0/2Es 的高斯随机变量（见式 5.12），这样 ρ 是均
第五章卷积码的译码算法 值为-d、方差为N2E,的高斯随机变量，则式(5.34)可写为： E,(p+d) P=Prp>0= aNo dp (5.35) πdN。 进行变量代换y=(p+d), 2E 上式变为： edy 1 B=2元 √2 J+2dE,INo (5.36) 2drE No 将式(5.36)代入式(5.22)和式(5.25)的界，得到二值输入、连续输出AWGN信道 下的事件错误概率和比特错误概率的界，为： PE)<AO 2dRE (5.37a) d=d fre VN。 2dRE。 1/ (5.37b) No 如果用更松的界Q(x)≤ en<en,x≥0，可得： PE)<∑A,e=AX-- (5.38a) d=d io dRE P(E)<2B,e=BXx- (5.38b) d=d fro 比较式(5.38)和式(5.32)，我们可知，对于连续输出AWGN信道，Bhattacharyya参 数D。=exp(-RE,INo)。 当E,/N。较大时，在比特WEF中的第一项决定了式(5.38b)的界，P,(E)近似为： B(E)≈Be46W (5.39) 此时渐近编码增益（软判决）为： y≌10logo(Rde）dB (5.40) 比较式(5.39)、(5.40)和式(5.29)、(5.31)，我们可看到软判决情况比硬判决情况多 出3B增益，这也就意味着为了得到相同的错误概率，在BC信道上传输的发射机的发射 功率是AWGN信道下发射功率的2倍。（注：前面的分析是基于对特定码字的性能界，且只 当E,/N。较大时才有效，当用随机码进行分析且SNR较小时，编码增益只有2dB左右，所 13 Copyright by周武肠
第五章 卷积码的译码算法 13 Copyright by 周武旸 值为－d、方差为 N0/2Es的高斯随机变量，则式（5.34）可写为： 2 0 ( ) 0 0 Pr{ 0} E d s s dN d E P e d dN ρ ρ ρ π + ∞ − = >= ∫ （5.35） 进行变量代换 0 2 ( ) Es y d dN = + ρ ，上式变为： 2 2 0 0 2 2 2 / 2 / 0 0 1 1 2 2 2 2 s s y y d d E dN dE N s b P e dy e dy dE dRE Q Q N N π π ∞ ∞ − − + + = = = = ∫ ∫ （5.36） 将式（5.36）代入式（5.22）和式（5.25）的界，得到二值输入、连续输出 AWGN 信道 下的事件错误概率和比特错误概率的界，为： 0 2 ( ) free b d d d dRE P E AQ N ∞ = < ∑ （5.37a） 0 2 ( ) free b b d d d dRE P E BQ N ∞ = < ∑ （5.37b） 如果用更松的界 2 2 1 /2 /2 ( ) , 0 2 x x Qx e e x − − ≤< ≥ ，可得： 0 0 exp( / ) ( ) ( ) b b free dRE N d X RE N d d PE Ae AX ∞ − = − = < = ∑ （5.38a） 0 0 exp( / ) ( ) ( ) b b free dRE N b d X RE N d d P E Be BX ∞ − = − = < = ∑ （5.38b） 比较式（5.38）和式（5.32），我们可知，对于连续输出 AWGN 信道，Bhattacharyya 参 数 0 0 exp( / ) D RE N = − b 。 当 0 / E N b 较大时，在比特 WEF 中的第一项决定了式（5.38b）的界， ( ) P E b 近似为： 0 / ( ) free b free Rd E N PE B e b d − ≈ （5.39） 此时渐近编码增益（软判决）为： γ 10log10 (Rd dB free ) （5.40） 比较式（5.39）、（5.40）和式（5.29）、（5.31），我们可看到软判决情况比硬判决情况多 出 3dB 增益，这也就意味着为了得到相同的错误概率，在 BSC 信道上传输的发射机的发射 功率是 AWGN 信道下发射功率的 2 倍。（注：前面的分析是基于对特定码字的性能界，且只 当 0 / E N b 较大时才有效，当用随机码进行分析且 SNR 较小时，编码增益只有 2dB 左右，所