《大学物理》（习题与答案） 作业答案7-1~~7-24

大学物理练习册一真空中的静电场 库仑定律 7-1把总电荷电量为Q的同一种电荷分成两部分,一部分均匀分布在地球上,另一部分均匀分布在月球上, 使它们之间的库仑力正好抵消万有引力,已知地球的质量M=5.98×02kg,月球的质量m=7.34×02kg (1)求Q的最小值;(2)如果电荷分配与质量成正比,求Q的值 解:(1)设Q分成q、q两部分,根据题意有k9=GMm 其中k 4 GMm Q=q1+q2 k+9.求极值,令=0,得1-CMm=0 q2 ≈,GMm=569×10C,=、SMm=569×10C,9=q1+q2=1.14×10“C k g,k q10,.GMm Mq2=mq,92=m GMm (2) 解得q2 k=6.32×102C,q =5.15×10C,∴Q=q1+q2=521×10C 7-2三个电量为-q的点电荷各放在边长为l的等边三角形的三个顶点上,电荷Q(Q>0)放在三角形的 重心上。为使每个负电荷受力为零,Q值应为多大 解:Q到顶点的距离为r=√3 1,Q与q的相互吸引力为F1 4丌E 两个-q间的相互排斥力为F2 据题意有2F2c0s30=F1,即2×14cos300= qQ,解得:O 4 电场强度 7-3如图7-3所示,有一长带电细杆。(1)电荷均匀分布,线密度为+,则杆上距原点x处的线元dx对P 点的点电荷φ的电场力为何?q0受的总电场力为何?(2)若电荷线密度=kx,k为正常数,求P点的电 场强度。 解:(1)线元dx所带电量为dq=Adx,它对qo的电场力为 7=++a-1px dF go dq 图73 (I+a-x) tEO(I+a-x) 受的总电场力F=△x q04 )24za(+a) qo>0时,其方向水平向右;q0<0时,其方向水平向左

大学物理练习册—真空中的静电场 库仑定律 7-1 把总电荷电量为Q的同一种电荷分成两部分，一部分均匀分布在地球上，另一部分均匀分布在月球上， 使它们之间的库仑力正好抵消万有引力，已知地球的质量M＝5.98×l024kg，月球的质量m=7.34×l022kg。 （1）求 Q 的最小值；（2）如果电荷分配与质量成正比，求Q的值。 解：（1）设Q分成q1、q2两部分，根据题意有 2 2 1 2 r Mm G r q q k = ，其中 0 4 1 πε k = 即 2 2 1 2 q q k GMm Q = q + q = + 。求极值，令Q'= 0，得 1 0 2 2 − = q k GMm 5.69 10 C13 ∴ 2 = = × k GMm q ， 5.69 10 C13 2 1 = = × q k GMm q ， 1.14 10 C 14 Q = q1 + q2 = × （2） 1 2 q m q M Q = ， k GMm q1q2 = k GMm ∴ Mq = mq1q2 = m 2 2 解得 6.32 10 C 12 2 2 = = × k Gm q ， 5.15 10 C 2 14 1 = = × m Mq q ， 5.21 10 C 14 ∴Q = q1 + q2 = × 7-2 三个电量为 –q 的点电荷各放在边长为 l 的等边三角形的三个顶点上，电荷 Q（Q＞0）放在三角形的 重心上。为使每个负电荷受力为零，Q 值应为多大？ − q − q − q l l l r r Q r 解：Q 到顶点的距离为 r l 3 3 = ，Q 与-q 的相互吸引力为 2 0 1 4 1 r qQ F πε = ， 两个-q 间的相互排斥力为 2 2 0 2 4 1 l q F πε = 据题意有 1，即 0 2F2 cos30 = F 2 0 2 2 0 4 1 cos300 4 1 2 r qQ l q πε πε × = ，解得：Q q 3 3 = 电场强度 7-3 如图 7-3 所示，有一长l的带电细杆。（1）电荷均匀分布，线密度为+λ，则杆上距原点x处的线元dx对P 点的点电荷q0 的电场力为何？q0受的总电场力为何？（2）若电荷线密度λ=kx，k为正常数，求P点的电 场强度。 q0 a λ l P x 图 7-3 O 解：（1）线元dx所带电量为d q = λ d x ，它对q0的电场力为 2 0 0 2 0 0 ( ) d 4 1 ( ) d 4 1 d l a x q x l a x q q F + − = + − = λ πε πε q0受的总电场力 ( ) 4 ( ) d 4 0 0 0 2 0 0 a l a q l l a x q x F l + = + − = ∫ πε λ πε λ q0 > 0 时，其方向水平向右； q0 < 0 时，其方向水平向左 25

大学物理练习册一真空中的静电场 (2)在x处取线元dx,其上的电量dq=dx=kxdx,它在P点的电场强度为 dep q k l E 方向沿x轴正向 1+a 7-4一半径为R的绝缘半圆形细棒,其上半段均匀带电量+q,下半段均匀带电量-q,如图7-4所示,求半 圆中心处电场强度。 解:建立如图所示的坐标系,由对称性可知,+q和-q在O点电场强度沿x轴的分量之和为零。取长为d 的线元,其上所带电量为 dg=adl=dl=-trde=-d8,de d4方向如图 TR 4E R2 y方向的分量dE 6 q cos e 4e R 2T.R 图7-4 E=-2x.g[cos0d0j=-gogj 7-5一半径为R的半球壳,均匀带有电荷,电荷面密度为σ,求球心处电场强度。 解:沿半球面的对称轴建立x轴,坐标原点为球心O 在球面上取半径为r、宽为d的环带,如图,其面积为 dS=2丌rdl=2nr·Rdb,所带电荷dq=adS=a·2丌r·Rd6 dq在O处产生的电场强度为,dE= xdg GR xrd x250(x2 r= Rsin6, x= Rcose de lc sin 0 cosd 因为球面上所有环带在O处产生的电场强度方向相同,∴E=m2 sin e cos ed=,-7 7-6一无限大均匀带电薄平板,面电荷密度为a,平板中部有一半径为R的圆孔,如图7-6所示。求圆孔 中心轴线上的场强分布。(提示:利用无穷大板和圆盘的电场及场强叠加原理) 解:利用补偿法,将圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成,即等效为一个 完整的带电无穷大平板和一个电荷面密度相反的圆盘叠加而成。 无穷大平板的电场为E1=2 图7-6

大学物理练习册—真空中的静电场 （2）在 x 处取线元 dx，其上的电量d q = λ d x = kx d x ，它在 P 点的电场强度为 2 0 2 0 ( ) d 4 1 ( ) d 4 1 d l a x kx x l a x q EP + − = + − = πε πε ( ln ) ( ) 4 d 4 0 0 2 0 l a a a k l l a x k x x E l P + = + + − ∴ = ∫ πε πε 方向沿 x 轴正向。 7-4 一半径为 R 的绝缘半圆形细棒，其上半段均匀带电量+q，下半段均匀带电量-q，如图 7-4 所示，求半 圆中心处电场强度。 解：建立如图所示的坐标系，由对称性可知，+q 和-q 在 O 点电场强度沿 x 轴的分量之和为零。取长为 dl 的线元，其上所带电量为 + + + + R 图 7-4 θ π θ π π λ d 2 d 2 d 2 1 d d q R R q l R q q = l = = = ， 2 0 d 4 1 d R q E πε ∴ = 方向如图 y 方向的分量 θ π ε θ θ πε cos 2 d cos d 4 1 d 2 0 2 2 0 R q R q Ey = − = − j R q j R q E v v v 2 0 2 2 0 2 0 2 cos d 2 2 π ε θ θ π ε π ∴ = − × = − ∫ 7-5 一半径为 R 的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为σ ，求球心处电场强度。 解：沿半球面的对称轴建立 x 轴，坐标原点为球心 O。 x R O r 在球面上取半径为 r、宽为 dl 的环带，如图，其面积为 d S = 2π r d l = 2π r ⋅ R dθ ，所带电荷 d q = σ d S = σ ⋅ 2π r ⋅ R dθ dq 在 O 处产生的电场强度为， 2 3 2 2 0 2 3 2 2 0 ( ) d 2 ( ) d 4 1 d x r R xr x r x q E + = + = θ ε σ πε Qr = Rsinθ ， x = Rcosθ θ θ θ ε σ sin cos d 2 d 0 ∴ E = 因为球面上所有环带在 O 处产生的电场强度方向相同， E i i v v v 0 2 0 0 4 sin cos d 2 ε σ θ θ θ ε σ π ∴ = = ∫ 7-6 一无限大均匀带电薄平板，面电荷密度为σ ，平板中部有一半径为 R 的圆孔, 如图 7-6 所示。求圆孔 中心轴线上的场强分布。（提示：利用无穷大板和圆盘的电场及场强叠加原理） 解：利用补偿法，将圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，即等效为一个 σ P R 图 7-6 完整的带电无穷大平板和一个电荷面密度相反的圆盘叠加而成。 无穷大平板的电场为 n E e v v 0 1 2ε σ = 26

大学物理练习册一真空中的静电场 圆盘激发的电场为E2 )en,其中n为平板外法线的单位矢量 +r 圆孔中心轴线上的电场强度为E=E+E2= 2Eo√x2+R2 电通量 77电场强度为E的匀强电场,其方向与半径为R的半球面的对称轴平行,如图77所示,求通过该半球 面的电场强度通量 解:作半径为R的平面S与半球面S构成一个闭合曲面,由于该闭合曲面内无电荷,由高斯定理 8 xs.EdS=E dS+/EdS=0 fE.dS=-fE dS=-E." T=TR'E 图77 7-8一边长为a的立方体置于直角坐标系中,如图7-8所示。现空间中有一非均匀电场 E=(E1+kx)+E2,E、E2为常量,求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量 解:∵E:=0ΦoABC=ΦDB=0 aBGE=.dS=L(E, +kx)i+E2j. (dS)=ES=E2a CDEO=E dS=L(E,+kx)i+E2j](-dSj)=-E2a pDEF=.dS=(Ei+E)).(dST)=-E,a2 BCDG=. dS=JI(E, +ka)i+E2j] (d Si)=(E, +ka) 整个立方体表面的电场强度通量d=∑Φ,=k3 高斯定理 7-9有两个同心的均匀带电球面,内外半径分别为R1和R2,已知外球面的电荷面密度为+a,其外面各处的 电场强度都是零。试求:(1)内球面上的电荷面密度;(2)外球面以内空间的电场分布。 解:作一半径为r的同心球面为高斯面。设内球面上的电荷面密度为o (1)P>R2处:因为外球面外的电场强度处处为零,由高斯定理有 乐E,dS=∑9=(04m2+4)=0,得 (2)由高斯定理 r<R1E1=0

大学物理练习册—真空中的静电场 圆盘激发的电场为 n e x R x E v v (1 ) 2 2 2 0 2 + = − − ε σ ，其中 n e v 为平板外法线的单位矢量。 圆孔中心轴线上的电场强度为 n e x R x E E E v v v v 2 2 0 1 2 2 + = + = ε σ 电通量 7-7 电场强度为 E v 的匀强电场，其方向与半径为 R 的半球面的对称轴平行，如图 7-7 所示，求通过该半球 面的电场强度通量。 解：作半径为 R 的平面 S’与半球面 S 构成一个闭合曲面，由于该闭合曲面内无电荷，由高斯定理 d d d 0 ' ' Φ = ⋅ = ⋅ + ⋅ = ∫S+S ∫S ∫S E S E S E S v v v v v v 图 7-7 E v R E S E S E R R E S S S 2 2 ' ∴Φ = ⋅ d = − ⋅ d = − ⋅π cosπ = π ∫ ∫ v v v v 7-8 一边长 为 a 的立方体置于直 角坐标系 中，如图 7-8 所示。 现空间中 有一非均 匀电场 E E kx i E j v v v 1 2 = ( + ) + ，E1、E2为常量，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。 解： = 0 Q Ez ∴ΦOABC = ΦDEFG = 0 z y x D F G E O C A B ∫ ∫ Φ = ⋅ = + + ⋅ = = S S ABGF E S E kx i E j Sj E S E a 2 1 2 2 2 d [( ) ] (d ) v v v v v ∫ ∫ Φ = ⋅ = + + ⋅ − = − S S CDEO E S E kx i E j Sj E a 2 1 2 2 d [( ) ] ( d ) v v v v v ∫ ∫ Φ = ⋅ = + ⋅ − = − S S AOEF E S E i E j Si E a 2 1 2 1 d ( ) ( d ) v v v v v ∫ ∫ Φ = ⋅ = + + ⋅ = + S S BCDG E S E ka i E j Si E ka a 2 1 2 1 d [( ) ] (d ) ( ) v v v v v 图 7-8 整个立方体表面的电场强度通量 3 ka i Φ = ∑Φi = 高斯定理 7-9 有两个同心的均匀带电球面，内外半径分别为R1和R2，已知外球面的电荷面密度为+σ ，其外面各处的 电场强度都是零。试求：（1）内球面上的电荷面密度；（2）外球面以内空间的电场分布。 解：作一半径为 r 的同心球面为高斯面。设内球面上的电荷面密度为σ '。 （1）r > R2 处：因为外球面外的电场强度处处为零，由高斯定理有 ( 4 ' 4 ) 0 1 1 d 2 1 2 2 0 0 3 ⋅ = ∑ = ⋅ + ⋅ = ∫ E S q R R i i S σ π σ π ε ε v v ，得 σ σ2 1 2 ' ( ) R R = − （2）由高斯定理 r < R1 E1 = 0 v 27

大学物理练习册一真空中的静电场 R<r<R, FE2-ds=10'-4R Bp E24m2=_0'-4zR? R R RAo E 方向沿径向反向 R 7-10一对无限长的均匀带电共轴直圆筒,内外半径分别为R和R2,沿轴线方向单位长度的电量分别为A1和 l2。(1)求各区域内的场强分布;(2)若1=-2,情况如何?画出此情形下的E~r的关系曲线 解:(1)作一半径为r、长为h的共轴圆柱面为高斯面,由高斯定理有 r<R1E1=0 R,<r<R2.dS=_i,h: E2.2mh=A,h, A E2=F IE R2 E3dS=(41+12)得E3、礼+2 E (2)A1=-12时,E1=0,E2=F,E=0 R 7-1l设半径为R的球体,电荷体密度p=k(r≤R),其中k为常量,r为距球心的距离。求电场分布,并 画出E~r的关系曲线 解:作一半径为r的同心球面为高斯面。根据高斯定理 R fE, ds==,edv== kr 4r/dr=2 mdor E 即E1 m4得E r>R Ed5=如4打= O 即E2:4m2、mR”得E kR 7-12一厚度为=0.5cm的无限大平板,均匀带电,电荷体密度p=10×10cm3,求(1)平板内外的电场 分布:(2)讨论平板中央以及平板内与其表面相距0.lcm处的电场强度。 解:(1)设中心平面为S。根据对称性,在距S0处为x处对称地取两面积均为△S的底面作一圆柱形高斯面 其侧面与板面垂直(如图所示),即侧面的电通量为零 x<“时 E1dS=2E1ASs、1 2px△S,∴E1

大学物理练习册—真空中的静电场 1 R2 R < r < 2 1 0 2 ' 4 1 E d S R S σ π ε ⋅ = ⋅ ∫ v v 即 2 1 0 2 2 ' 4 1 E 4 r σ πR ε ⋅ π = ⋅ 2 0 2 2 2 0 2 2 1 1 2 2 0 2 1 2 ( ) 4 ' 4 r R r R R R r R E ε σ ε σ πε σ π = − ⋅ = − ⋅ ∴ = 方向沿径向反向 7-10 一对无限长的均匀带电共轴直圆筒，内外半径分别为R1和R2，沿轴线方向单位长度的电量分别为λ1和 λ2。（1）求各区域内的场强分布；（2）若λ1＝-λ2，情况如何？画出此情形下的E ～ r的关系曲线。 解：（1）作一半径为 r、长为 h 的共轴圆柱面为高斯面，由高斯定理有 r < R1 E1 = 0 v 1 R2 R < r < E S h S 1 0 2 1 d λ ε ⋅ = ∫ v v E rh 1h 0 2 1 2 λ ε ∴ ⋅ π = ，得 r r E ˆ 2 0 1 2 v v πε λ = E O R1 R2 r R2 r > E S h S ( ) 1 d 1 2 0 3 λ λ ε ⋅ = + ∫ v v 得 r r E ˆ 2 0 1 2 3 v v πε λ + λ = （2）λ1 = −λ2 时， E1 = 0 v ， r r E ˆ 2 0 1 2 v v πε λ = ， 0 E3 = v 7-11 设半径为 R 的球体，电荷体密度 ρ ═ kr（r ≤ R），其中 k 为常量，r 为距球心的距离。求电场分布，并 画出 E ～ r 的关系曲线。 解：作一半径为 r 的同心球面为高斯面。根据高斯定理 r < R 4 0 0 2 0 0 1 1 4 d 1 d 1 E d S V kr r r kr r S V π ε π ε ρ ε ⋅ = = ⋅ = ∫ ∫ ∫ v v E O R r 即 4 0 2 1 1 E 4 r πkr ε ⋅ π = 得 r kr E ˆ 4 0 2 1 v v ε = r > R 4 0 0 2 0 2 1 4 d 1 E d S kr r r kR R S π ε π ε ⋅ = ⋅ = ∫ ∫ v v 即 4 0 2 2 1 E 4 r πkR ε ⋅ π = 得 r r kR E ˆ 4 2 0 4 2 v v ε = 7-12 一厚度为d=0.5cm的无限大平板，均匀带电，电荷体密度 ρ ═ 1.0×10-4C/m3 ，求（1）平板内外的电场 分布；（2）讨论平板中央以及平板内与其表面相距 0.1cm处的电场强度。 解：（1）设中心平面为S0。根据对称性，在距S0处为x处对称地取两面积均为 ∆S 的底面作一圆柱形高斯面， 其侧面与板面垂直（如图所示），即侧面的电通量为零。 2 d x < 时 E S E S x S S ⋅ = ∆ = ⋅ ∆ ∫ ρ ε 2 1 d 2 0 1 1 v v ， E x 0 1 ε ρ ∴ = 28

大学物理练习册一真空中的静电场 x>2时「E2d=2E4AS=1.2p2As,:E2= E (2)平板中央x=0,∴E0=0 平板内与表面相距0.lcm处,x=0.15cm E=mX10×10-×15×10-3 8.85×10-2 =1.69×104v/m 713一个电荷体密度为p(常量)的球体。(1)证明球内距球心r处一点的电场强度为E=PF;(2) 若在球内挖去一个小球,如图713所示,证明小球空腔内的电场是匀强电场E=a,式中a是 球心到空腔中心的距离矢量。 证:(1)作与球体同心的球面为高斯面,根据高斯定理 5E.ds=Jpd即E4m2=P E- p 矢量式E=P 尸得证 (2)填充法:设在空腔中填充电荷密度分别为P和-P的电荷球体,形成电荷密度分别为P和-P的 大球体和小球体 对腔内任一点P(如图),由(1)的结果有 球E=P 小球 E=E1n+E2p=(-P)=Ba得证 静电场的环路定理 7-14若电场中某一部分电场线的形状是以O点为中心的同心圆弧。证明该部分上各点的电场强度都应与该 点离O点的距离成反比,即E1r1=E2r2 证:作一回路abcd,如图。根据静电场环路定理 ∮E-d=E、d7+E2d=E-E2=0 即E1=E2l2 图7-14 l1=r1l2=F2,∴E1n=E22得证

大学物理练习册—真空中的静电场 ∆S ∆S 0 S d x x 2 d x > 时 S d E S E S S ⋅ = ∆ = ⋅ ⋅ ∆ ∫ 2 2 1 d 2 0 2 2 ρ ε v v ， 0 2 ε ρd ∴ E = （2）平板中央 x = 0，∴ E0 = 0 平板内与表面相距 0.1cm 处， x = 0.15cm 4 12 4 3 0 1.69 10 8.85 10 1.0 10 1.5 10 = × × × × × ∴ = = − − − ε ρx E V/m 7-13 一个电荷体密度为 ρ（常量）的球体。（1）证明球内距球心 r 处一点的电场强度为 E r v v 0 3ε ρ = ；（2） 若在球内挖去一个小球，如图 7-13 所示，证明小球空腔内的电场是匀强电场 E a v v 3 0 ε ρ = ，式中a v 是 球心到空腔中心的距离矢量。 R O a O’ v r v r' v P 证：（1）作与球体同心的球面为高斯面，根据高斯定理 ∫ ∫ ⋅ = S V E S dV 1 d 0 ρ ε v v 即 3 0 2 3 4 E 4 r πr ε ρ ⋅ π = ⋅ E r 0 3ε ρ ∴ = 矢量式 E r v v 0 3ε ρ = 得证 （2）填充法：设在空腔中填充电荷密度分别为 ρ 和- ρ 的电荷球体，形成电荷密度分别为 ρ 和- ρ 的 大球体和小球体。 对腔内任一点 P（如图），由（1）的结果有 大球 E r P v v 0 1 3ε ρ = ； 小球 ' 3 0 2 E r P v v ε ρ = − E E P E P r r a v v v v v v 0 0 1 2 3 ( ') 3 ε ρ ε ρ = + = − = 得证 静电场的环路定理 7-14 若电场中某一部分电场线的形状是以O点为中心的同心圆弧。证明该部分上各点的电场强度都应与该 点离O点的距离成反比，即E1 r1 = E2 r2 。 O θ r2 证：作一回路 r1 abcd，如图。根据静电场环路定理 d d d 0 ⋅ = 1 ⋅ + 2 ⋅ = 1 1 − 2 2 = ∫ ∫ ∫ E l E l E l E l E l bc da v v v v v v a b c d 1l 2l 2r 1 θ r O 即 1 1 2 2 E l = E l 图 7-14 Ql1 = r1 θ l2 = r2θ ， 1 1 2 2 ∴E r = E r 得证 29