证明：前一段证明略； 不妨设f(x)≤f(y),若f(x)=f(y) 则结论显然成立，下面设f(x)<f(y) 由于f(X)是一个区间， 从而[f(x),f(y)]cf(X).因此对任何 t,f(x)<t<f(y)有t∈f(X),所以存 在z∈X,使得f(z)=t
证明：前一段证明略; 不妨设 ，若 则结论显然成立 , 下面设 由于f (X )是一个区间， 从而 . 因此对任何 有t ∈f (X ) , 所以存 在z∈X，使得 . f x f y ( ) ( ) f x f y ( ) ( ) = f x f y ( ) ( ) [ ( ), ( )] ( ) f x f y f X t f x t f y , ( ) ( ) f z t ( ) = 证明：前一段证明略; 不妨设 ，若 则结论显然成立 , 下面设 由于f (X )是一个区间， 从而 . 因此对任何 有t ∈f (X ) , 所以存 在z∈X，使得 . f x f y ( ) ( ) f x f y ( ) ( ) = f x f y ( ) ( ) [ ( ), ( )] ( ) f x f y f X t f x t f y , ( ) ( ) f z t ( ) = 证明：前一段证明略; 不妨设 ，若 则结论显然成立 , 下面设 由于f (X )是一个区间， 从而 . 因此对任何 有t ∈f (X ) , 所以存 在z∈X，使得 . f x f y ( ) ( ) f x f y ( ) ( ) = f x f y ( ) ( ) [ ( ), ( )] ( ) f x f y f X t f x t f y , ( ) ( ) f z t ( ) = 证明：前一段证明略; 不妨设 ，若 则结论显然成立 , 下面设 由于f (X )是一个区间， 从而 . 因此对任何 有t ∈f (X ) , 所以存 在z∈X，使得 . f x f y ( ) ( ) f x f y ( ) ( ) = f x f y ( ) ( ) [ ( ), ( )] ( ) f x f y f X t f x t f y , ( ) ( ) f z t ( ) = 证明：前一段证明略; 不妨设 ，若 则结论显然成立 , 下面设 由于f (X )是一个区间， 从而 . 因此对任何 有t ∈f (X ) , 所以存 在z∈X，使得 . f x f y ( ) ( ) f x f y ( ) ( ) = f x f y ( ) ( ) [ ( ), ( )] ( ) f x f y f X t f x t f y , ( ) ( ) f z t ( ) = 证明：前一段证明略; 不妨设 ，若 则结论显然成立 , 下面设 由于f (X )是一个区间， 从而 . 因此对任何 有t ∈f (X ) , 所以存 在z∈X，使得 . f x f y ( ) ( ) f x f y ( ) ( ) = f x f y ( ) ( ) [ ( ), ( )] ( ) f x f y f X t f x t f y , ( ) ( ) f z t ( ) = 证明：前一段证明略; 不妨设 ，若 则结论显然成立 , 下面设 由于f (X )是一个区间， 从而 . 因此对任何 有t ∈f (X ) , 所以存 在z∈X，使得 . f x f y ( ) ( ) f x f y ( ) ( ) = f x f y ( ) ( ) [ ( ), ( )] ( ) f x f y f X t f x t f y , ( ) ( ) f z t ( ) = 证明：前一段证明略; 不妨设 ，若 则结论显然成立 , 下面设 由于f (X )是一个区间， 从而 . 因此对任何 有t ∈f (X ) , 所以存 在z∈X，使得 . f x f y ( ) ( ) f x f y ( ) ( ) = f x f y ( ) ( ) [ ( ), ( )] ( ) f x f y f X t f x t f y , ( ) ( ) f z t ( ) = 证明：前一段证明略; 不妨设 ，若 则结论显然成立 , 下面设 由于f (X )是一个区间， 从而 . 因此对任何 有t ∈f (X ) , 所以存 在z∈X，使得 . f x f y ( ) ( ) f x f y ( ) ( ) = f x f y ( ) ( ) [ ( ), ( )] ( ) f x f y f X t f x t f y , ( ) ( ) f z t ( ) = 证明：前一段证明略; 不妨设 ，若 则结论显然成立 , 下面设 由于f (X )是一个区间， 从而 . 因此对任何 有t ∈f (X ) , 所以存 在z∈X，使得 . f x f y ( ) ( ) f x f y ( ) ( ) = f x f y ( ) ( ) [ ( ), ( )] ( ) f x f y f X t f x t f y , ( ) ( ) f z t ( ) = 证明：前一段证明略; 不妨设 ，若 则结论显然成立 , 下面设 由于f (X )是一个区间， 从而 . 因此对任何 有t ∈f (X ) , 所以存 在z∈X，使得 . f x f y ( ) ( ) f x f y ( ) ( ) = f x f y ( ) ( ) [ ( ), ( )] ( ) f x f y f X t f x t f y , ( ) ( ) f z t ( ) =
定理4.2.3设f:[a,b]→R是从闭 区间[a,b]到实数空间R的一个连续映 射.则对于f(@)与fb)之间的任何一个 实数r.存在z∈[a,b]使得f()=r
定理4.2.3 设 是从闭 区间[a,b ]到实数空间R的一个连续映 射. 则对于f (a)与 f(b)之间的任何一个 实数 r . 存在 z∈[a,b]使得 f (z)=r . 定理4.2.3 设 f a b R :[ , ] → 是从闭 区间[a,b ]到实数空间R的一个连续映 射. 则对于f (a)与 f(b)之间的任何一个 实数 r . 存在 z∈[a,b]使得 f (z)=r . 定理4.2.3 设 f a b R :[ , ] → 是从闭 区间[a,b ]到实数空间R的一个连续映 射. 则对于f (a)与 f(b)之间的任何一个 实数 r . 存在 z∈[a,b]使得 f (z)=r . 定理4.2.3 设 f a b R :[ , ] → 是从闭 区间[a,b ]到实数空间R的一个连续映 射. 则对于f (a)与 f(b)之间的任何一个 实数 r . 存在 z∈[a,b]使得 f (z)=r . 定理4.2.3 设 f a b R :[ , ] → 是从闭 区间[a,b ]到实数空间R的一个连续映 射. 则对于f (a)与 f(b)之间的任何一个 实数 r . 存在 z∈[a,b]使得 f (z)=r . f a b R :[ , ] →