平动血解答 §3-2位移分量的求出 以矩形梁的纯弯曲问题为例,说明如何由应力分量求出 位移分量。 平面应力的情况 将应力分量G~Myay=0=x=0代入物理方程 E=(01-Hoy E (y-x) E 2(1+ E 16
16 §3-2 位移分量的求出 以矩形梁的纯弯曲问题为例，说明如何由应力分量求出 位移分量。 一、平面应力的情况 将应力分量 x = y, y = 0, xy = yx = 0 代入物理方程 I M + = = − = − xy xy y y x x x y E E E 2(1 ) ( ) 1 ( ) 1
Then the distortion components are M M y, 8 y,rv=0 a El El Then put(a) into the geometric O equation: Ov ou Ox Oy M Ov a SO M y 0 Ox er Oy E Integrate the two equation above l元和+1(y)vM M y2+f2(x) E 2El (c) f and 2 Is the arbitrary function. put (c) into the third equation of (b) 17
17 Then the distortion components are： x = , y = − y, xy = 0 EI M y EI M （a） Then put (a) into the geometric equation： + = = = y u x v y v x u xy y x so： , , = 0 + = − = y u x v y EI M y v y EI M x u （b） Integrate the two equation above: ( ) 2 ( ), 2 2 1 y f x EI M x y f y v EI M u = + = − + （c） f 1 and Is the arbitrary function f 2 。put（c）into the third equation of（b）
平动血解答 M 得形变分量:Ex=my2E,= M E/,m0 a El 再将式(a)代入几何方程: aaa xvy Ov au Ox ay 得: au: M uM Ov ou (b) OxEr 01 y-+-=0 前二式积分得:+f(y),v=m2(r) El 其中的f和f2是任意函数。将式(c)代入(b)中的第三式 18
18 得形变分量： x = , y = − y, xy = 0 EI M y EI M （a） 再将式（a）代入几何方程： + = = = y u x v y v x u xy y x 得: , , = 0 + = − = y u x v y EI M y v y EI M x u 前二式积分得： ( ) 2 ( ), 2 2 1 y f x EI M x y f y v EI M u = + = − + （b） （c） 其中的 f 1 和 f 2 是任意函数。将式（c）代入（b）中的第三式
0: 4(O)=(x)+Mx dx El On the left of the equal mark is the function of y, on the right of the equal is the function ofx. So both sides should equal to a constant and: w d( d2(x) M 一x+O dx El After the integral: M f(y)=-y+l,2(x)= x+ax+y 2EⅠ M Put into the formula (c), then the u=rxy=ay+uo displacement components are: (d) ∠M M x+ox+ EL 2ER The arbitrary constants @, uo, vo above must be obtained through the restrict conditions 19
19 so： x EI M dx df x dy df y − = + ( ) ( ) 1 2 = − = − x + EI M dx df x dy df y ( ) , ( ) 1 2 After the integral： 0 2 1 0 2 2 ( ) , ( ) x x v EI M f y = −y + u f x = − + + The arbitrary constants , , above must be obtained through the restrict conditions 0 u 0 v Put into the formula（c），then the displacement components are： = − − + + = − + 0 2 2 0 2 2 x x v EI M y EI M v x y y u EI M u （d） On the left of the equal mark is the function of ,on the right of the equal is the function of .So both sides should equal to a constant ,and: y x w
平动血解答 得 d() df, dv dxEⅠ 等式左边只是y的函数,而等式右边只是x的函数。因此, 只可能两边都等于同一常数O。于是有: d(y)=-o,.d2(x)=-M x+0 dx El M 积分以后得:f()=m+l0,2(x)=2D2+x+10 代入式(c),得位移分量: M u-nxy-ay+uo (d) M y 2EⅠ2EI x +onto 其中的任意常数O、4n、vo须由约束条件求得。 20
20 得: x EI M dx df x dy df y − = + ( ) ( ) 1 2 等式左边只是 的函数，而等式右边只是 的函数。因此， 只可能两边都等于同一常数 。于是有： y x = − = − x + EI M dx df x dy df y ( ) , ( ) 1 2 积分以后得： 0 2 1 0 2 2 ( ) , ( ) x x v EI M f y = −y + u f x = − + + 代入式（c），得位移分量： = − − + + = − + 0 2 2 0 2 2 x x v EI M y EI M v x y y u EI M u 其中的任意常数 、 u0 、 v0 须由约束条件求得。 （d）