实用工程数值模拟技术及其在 ANSYS土的实践 UMUx+U'CUx+UKx=0 p(t) 或写为 Mx+Cx+K 式中,=UMU,C=UCU和K=UKU分别为广义质量矩阵、广义阻尼矩阵和广义刚度矩 阵:p(t)=Up(t)称为广义激振力。 由于Unm矩阵每列都是规格的弹性主模态、根据主模态的正交特性则广义质量矩阵和 广义刚度矩阵是对角阵。于是可得没有r变量之间耦合的m个相互独立的单自由度振动系统 的运动方程 分别对〃个方程求解,可得m个x.值再回代到式(2-44),即可求解出动力响应q 2.逐步积分法 对于有较复杂激振力或非比例阻尼情况下,可釆用逐步积分法求动力响应问题。其基本思 想是把时间离散化,如把时间区间T分为T/n=M的η个间隔由初始状态!=开始逐步 求出每个时间间隔,2M,…T上的状态向量(通常由位移、速度和加速度等组成)最后求出 的状态向量就是结构系统的动力响应解在这种方法中,后次的求解是在前次解已知的条件下 进行的。如开始是假定t=0时的解(包括位移和速度)为已知,求出Δ时的解,接着再以Y时 刻的已知解计算2M时刻的解,如此继续下去。这里有个问题,即在方程Mq+Cq+kq=P() 中q,qq是未知量,那么如何由前一状态推知下一状态呢?这可以对qqq的变化规律给予某 种假设,对于不同的假设就形成不同方法,如线性加速度法,威尔逊-6法等 2.4结构非线性有限单元法 固体力学问题,从本质上讲是非线性的,线性假设仅是实际问题中的一种简化。在分析线 性弹性体系时,假设节点位移无限小;材料的应力与应变关系满足虎克定律:加载时边界条件 的性质保持不变,如果不满足上述条件之一的就称为非线性问题 通常把非线性问题分成两大类:几何非线性和材料非线性,但 ANSYS也能处理施工或加 工过程中结构变化的非线性 如果体系的非线性是由于材料的应力与应变关系的非线性引起的,则称为材料非线性。如 铝材和许多高分子材料。如果结构的位移使体系的受力状态发生了显著变化,以至不能采用线 性体系的分析方法时则称为几何非线性。几何非线性又可分为以下情况:①大位移小应变问 题,如高层建筑、大跨度钢架结构的结构分析大多属于此类问题;②大位移大应变问题,如金 腐的压力加工问题;③结构的变位引起外载荷大小、方向或边界支承条件的变化等问题 ANSYS用单元死活来处理施工非线性 用有限单元法分析非线性问题时仍由分析线性问题的以下三个基本步骤组成,但需要反 复迭代: 单元分析 和线性问题相比较,非线性问题的基本不同之处,在于单元刚度矩阵的形成有所差别当 仅为材料非线性问题时,则应使用材料的非线性本构关系;当仅为几何非线性问题时在计算 应变一位移矩阵B时,应考虑位移的高阶导数项的效应。同时,对于所有积分,应计及单元体的
二章有限单元法蝴 变化对于同时兼有几何非线性和材料非线性的两种非线性问题时,则应考虑这两种非线性的 耦合效应 2.整体组集 单元刚度矩阵集成为整体剛度矩阵整体刚度方程的建立及约束处理,大体上与线性体系 问题相同,只是通常将整体刚度方程写成增量形式 3.非线性方程组的求解 非线性问题求解方法大体上可分为:增量法迭代法和混合法,它与线性方程组的求解有 很大差别。值得提出,结构的平衡实际上是在结构发生变形之后达到的,尤其对于非线性问题 结构的平衡方程必须建立在结构变形之后的状态上分析的基本问题是求出当前载荷作用下 的平衡状态,如果作用的载荷被描述成时间的函数则物体有限元离散系统的平衡方程可表示 为 式中p-…时刻外载荷节点力向量; t时刻由单元应力引起的节点力向量,应计入所有的非线性效应:对于动力分 还应包括惯性力和阻尼力 在对结构进行非线性有限元分析时,为了能够很好地建立力学模型.表2-1给出了非线性 问题的类型、特点及描述方法 在求解-般静力非线性问题时,时间变量t的不同取值只表示对应不同位移时的不同载 荷水平。在动力分析或具有时间效应的静力分析中变量才有它本来的“时间”含义从本质上 来看非线性问题的几何性质或材料性质与路径相关或时间相关因此常常用增量分析方法求 解非线性问題。 表2-1非线性问题分类 分析类型 持 点 描述方法 应力和应变 仅材料 位移和应变无限小,应力应变关 仅材料非线性 小变形理论的应力 非线性系足非线性的 M.N.O. 小变形理论的应变E 线元的位移和转动充分大但线全1 lagrangian描述 Kirchhoff应力 大位移 大转动}元的伸长和线元之间的角度改变无(7.L.) Green应变E, 小应枣限小,应力应变关系是线性的或者非修正1 agrangtant描述uehy应力a 线性的 (U.L) Almansi应变e 线元的伸长和线元之间的角度修正! lagrangian Jaumann应力率 大位移 改变充分大线元的位移和转动也可Jumn描述(U.L. ansi应变率 大转动 大应Q「以充分大,应力应变关系是线性的或全 Lagrangian描述 Kirchhoff应力S 非线性的 (T.L.) Green应变E 增量逐步解法的基本思想是,假定!时刻的解已知,Δ为选择的时间增量,在t+M时刻 则有 由于t时刻的解为已知,故 f+=f+∫
实用工程数值模拟技术及其在 ANSYS上的实践 式中∫——t到t+M时间间隔内,(以静力分析为例)由单元内应力增量引起的节点力增量 向量 Ku (2-50) 式中K—t到t+M时刻材料和几何条件的切向刚度矩阵; a-—M时间间隔中的节点位移增量。 将式(2-49)和(2-50)代入(2-48)中得到 Ku (2-51) 解出位移增量矿即可算出t+Mt时刻的位移 t+a=w+u (2-52) 根据u+“可算出t+Δ时刻的应力及f+a和K+“,从而可以马上着手作下一步的迭代计算。 为保证精度,应取足够的迭代次数。在具体计算中最常用的迭代方法是修正 Newton迭代法 这种方法可由非线性方程组的 Newton- Raphson解法导出。 在t时刻到t+Δ时刻的时步中,修正 Newton法的迭代公式可以表示为 (2-53) ur+a=x++△a 式中i表示迭代步数,依次取1,2,3,…其迭代所用的初始值正是t时刻的解,即 ∫6“=f 式(2-53)的右端式称为第步选代前的不平衡载荷在迭代过程中,∫随i的增加而逐步逼 近p+“,当满足给定的不平衡载荷的向量模的精度指标时,迭代终止 2.5温度场问题的有限单元法 工程中的许多结构部件在高温条件下工作温度应力是设计中的不可忽略的控制因素研 究温度场的问题可以通过实测和计算的办法解决,本节主要介绍温度场问题的有限单元法的 最基本的理论和方法温度场问题也称为热传导问题,一般分为两种情况来研究,即稳态温度 场问题它与时间无关,和瞬态温度场问题,它与时间有关。 2.5.1温度场问题的基本方程 在一般三维问题中,瞬态温度场的场变量e(x,y,z,t)在直角坐标中应满足的微分方程是 e a(, ae 8y-买{k (在内)(2-56) 此方程即是热量平衡方程。式中第一项是微体升温需要的热量;第2,3,4项是由x,y和z 方向传人微体的热量最后一项是微体内热源产生的热量微分方程表明:微体升温所需的热 量应与传人微体的热量以及微体内热源产生的热量相平衡。 另外求解域2的温度场分布,适应满足边界条件边界条件可分为三类,其表示如下:
第二章有限单元法基础 e=6 (在F边界上 ,a7”,十k,可yn+k获n=9 (在F边界上 n,+”十足卖n=h(e.-)(在边界上 材料密度 材料比热 时间 k—材料沿x,y,z方向的热传导系数 (x,y,≈,t) 物体内部的热源密度; 边界外法线的方向余弦 6=e(r,)—r边界上的给定温度; g=q(F,t)—r2边界上的给定热流量; h—热系数; θ=θ(,)-—在自然对流条件下,是外界环境温度 在强迫对流条件下,是边界层的绝热壁温度。 ∩域的全部边界F应满足 T,+r2+T=r 在T边界上给定温度6(F,t)称为第一类边界条件,它是强制边界条件。在F:边界上给 定热流量q(r,)称为第二类边界条件,当q=0时就是绝热边界条件。在F3边界上给定对流 换热的条件,称为第三类边界条件。第二、三类边界条件是自然边界条件。 当在一个方向上,例如之方向温度变化为零时,方程(2-57)就退化为二维问题的热传导 微分方程 3-(4 (在内 (2-58) 这时场变量6(x,y,t)不再是x的函数。场变量同时应满足的边界条件是 日=已(r,t) (在F1边界上) (r,t) (在F2边界上) (2…9h) 长,1k,n=h(已-日)(在边界上) 2-59) 对于轴对称问题在柱坐标中场函数6(r,s,)应满足的傚分方程是 ae 0(在9内 边界条件是 e=6(r,t) (在F1边界上) k, arn, +ke an,=q(r,t (在F2边界上 k+k,”=h(e,-6)(在边界上)
实用工程数值模拟术及其在 ANSYS上的实践 求解瞬态温度场问题是求解在初始条件下,即在 e=。(当t=0) 条件下满足瞬态传导方程及边界条件的场函数6e应是坐标和时间的函数。 如果边界上的e,q,。及内部的Q不随时间变化,则经过一定时间的热交换后,物体内各 点温度也将不再随时间而变化,即 这时瞬态热传导方程就退化为稳态热传导方程了再由式(2-56)得到三维问题的稳态热传 导方程为 (在内) 二维问题的稳态热传导方程为 a,2+(+风Q=0(在D内) (2-61) 轴对称问题的稳态热传导方程 az (在2内) 求解稳态温度场的问题就是求满足稳态热传导方程及边界条件的场变量,6只是坐标 的函数,与时间无关 利用加权余量的伽辽金法可以得到以上微分方程和边界条件的等效积分提法。 2.5.2稳态温度场的有限单元法 稳态温度场的有限单元法求解和前面所介绍的弹性静力学问题基本相同,在弹性力学问 题中所采用的单元和相应的插值函数在此都可以使用。主要的不同在于场变量。在弹性力学问 题中,场变量是位移,是向量场在热传导问题,场变量是温度,是标量场。因此稳态温度场问题 比弹性静力学问题要相对简单一些。稳态热传导问题也存在变分的泛函,由变分法建立的有限 元方程与用伽辽金法建立的有限元方程是一致的 现以二维问题为例,说明用伽辽金法建立稳态温度场有限单元法问题的求解的一般格式。 现构造一个近似场函数e,并设6已满足f1边界上的强制边界条件将近似函数代入场方程(2 -61)及F2和F3边界条件式中因已的近似性,将产生余量,即有 ae n,+-t a0 用加权余量法建立有限元格式的基本思想是使余量的加权积分为零,即 S Rau da+Rr odr+ Rr, udr -o 2-63)