第二章有限单元法基 载荷P=100N/cm假定p=0,墙梁的厚度t=0.1cm在不计自重情况下试求其位移和 应力 单元划分 由于该墙梁及其外载荷相对于其垂直方向的中线是对称的,所以只需取其一半作为讨算 对象,如图2-9(b)所示。其中节点3,4处于墙 梁的对称轴线上由于结构与受力的对称性因+出H00N30N 此节点3和4无x方向位移,故可简化为如图 2-9(b)所示的边界约束形式。把作用在上边 的均布载荷转移到1,4节点上,其值各为 N 图2-9平面墙梁的受荷状态及 将计算部分(见图2-9(b))分为两个单元 三角形单元的剖分 U和②,并对两个单元分别编出节点号码i,,k,见图(2-9(c)和图(2-9(d)) 2.计算单元刚阵 计算单元刚阵所使用的公式,参见公式(2-15)和式(2-16) 对单元①,由于x,=0,y=0,x=6,y=6,x=0,y4=6,则 06 =y,-y,=0,b=y-y,=6,b=y一y=一6 对于单元②由于x,=0,y=0,x,=6,y,=0,x4=6,y,=6,则 A 160 8 c 由式2-5及式2-16(此时(1 Et 0.1E)得出各单元刚度矩阵 78 18 0 0.1E0 0 3607 72 180 181 18 360 18-1854」2
1 实用工程数值模拟技术及建NSYS上的卖践 56 78 18-180;1 0.1E|-361854 l805 360 3.组成整体刚度短阵(或总体刚度矩阵 按节点位移序号组成整体结构的刚度矩阵 l854 36 0 181818+360+0 3600+0 360+036+1818 54 0 8 0+00-18 181836+180+ 18-18-18+00+00 360+018+3618 4.边界条件处理 由于对称轴上3=1=0;又因为2节点是固定铰支座,即t2=2=0,所以只需考虑 v四个位移,因此减缩的整体刚度矩阵为 1811 k,=91E|-185 72 36:6 节点力列阵是∫=[0-30000000-300]与减缩列阵对应的减缩节点力 列阵为∫.=[0-3000-300 5.线性方程組的建立与求解 将∫、K,之值代入∫=Kq,得 180 0.1E 54 300 解此方程组可求得各未知位移 7714 12857 6.单元应力分量的计算 此墙梁属于平面应力问题
第二章有限单元法基础 按式(2-8)计算各单元的应力。即 q 付单元 E b, o h, 2×18 60066 1285717147711 q'=[a2v:a,v,a1v]=000 E E 故 6000 2×18 60066-61714 7714 1285.67 28;,66 1285.67N/c 285.75 对单元② 606000 010 2 同理可得
实用工程数值模拟技术及其在 ANSYS上的实践 2.3结构动力学问题的有限单元法 2.3.1构的动力学方程 用有限元法也可以分析结构振动问题以及动态响应问题,即在动载荷下物体的应力、变形 问题 动力学问题的有限元法也同结构静力学问题一样,要把物体离散为有限个数的单元体。不 过此时在考虑单元特性时,物体所受到的载荷还要考虑单元的惯性力一pddv和阻尼力 dv等因素,其中,P是结构材料的密度;w是线性阻尼系数 在静力学问题中有d=Nq,E=B,=DBq,只有当单元数目增多,使有足够的节点位 移,式d=Nq才是位移函数的近似的表达式单元的刚度矩阵K,质量矩阵M及阻尼矩阵C 分别为 K= BTDBdV NuNdV 般说来,阻尼系数ν与频率有关,常用的近似是采用瑞雷阻尼,令C=aM"+BK 单元的K,M,C都要用来组集全结构的K,MC。于是在不考虑体积力时整个结构的动 力方程为 q十Cq+Kq=f 当∫=0,C=0时得自由振动时的无阻尼动力方程 Mg + Kg=o 对简谐振动有 9= sinat (2-43) 式中,6是节点位移q的节点振幅列阵(或称振动模态);a是频率t是时间 将式(2-43)代入式(2-40)得 +K)6=0 按自由振动理论,n阶自由度系统的自由振动方程式应有n个固有频率a(i=1,2,…,n), 并且可以由频率行列式决定,即自 求得a后,再把代入式(2-44)即可求出特征向量(振动模态)6 由于式(2-44)的模态解δ乘以任一常数仍是解同一频率a的不同解的线性组合也仍 是解所以约定采用规格化的模态δ即令它们与M正交,满足 6M6 方程式中,K矩阵和M矩阵的组集与前面的结构静力分析的有限元法中K的组集方法相 同单元质量矩阵M可利用前述各种单元的形状函数N由式(2-40)求得
第二章有限单元注基础 平面问题中三角形单元的质量矩阵 201010 020101 M=a102010 101020 式中A—单元面积; 单元的厚度。 上面给出的质量矩阵是一致质量矩阵。如果把它的各列(或各行)元素相加后直接放在对 角元素上,则此质量矩阵称为集中质量矩阵 如三节点平面三角形单元的集中质量矩阵为 「1000001 010000 M=m001000 000100 000010 00000 式中 三角形单元的质量。 从集中质量矩阵的形式可以看出,它是对角阵,这对系统的固有频率的计算很有利。 2.3.2系统的动力响应 结构系统的动力响应,主要是解系统的动力方程式 Mg+C9+ Kq= p(r) (2-45 以求得系统产生的位移、速度和加速度的值。 日前有两种方法用的较多。一是振型叠加法,二是逐步积分法。 振型叠加法 将n阶自由度系统的动力方程,经振型模态矩阵变换,化为互不耦合的n个单自由度问 题进行逐个求解后,然后再叠加得到动力响应的结果 振型叠加法是基于一个n个自由度的结构在激振力p(t)的作用下的动力响应可以表示 为各阶主振型的线性叠加,即 式中,x称为参与因子,表示各阶主振型在相应位移中所占的比例。p()通常激起的主要是相 对激振频率较低的部分振型(较高的部分参与因子可略去)即 U (m<n) 将上式代入(2-45)可得 MUx t CUx+KUx= p(t) 用U前乘各项,则得