第二章有限单元法基础 式中a,m2,是权函数。上式的意义是使微分方程(2-61)和自然边界条件式在全域及边界上 得到加权意义上的满足 将式(2-62a)代入式(2-63)并进行分部积分可得出 k, ain di dr+ h,+k,n,一h(6.-)adF=0 (2-64) 将空间域离散为有限个单元体在典型单元内各点的温度e可以近似地用单元的节点温度 e,插值得到 8=8-N,(ry),=Ne 式中n是每个单元的节点个数;N(x,y)是插值函数,它是C型插值函数·它亦具有性质 及 由于近似场函数是构造在单元中的因此(2-64)式的积分可改写为对单元积分的总和 用伽辽金法选择权函数 式中n是Q域全部离散得到的节点总数在边界上不失一般性地选择 在e已满足强制边界条件(在解方程前引入强制边界条件修正方程),因此在F1边界上不再产 生余量,可令在F边界上为零 将以上各式代人(2-64)则可以得到 /6M aN pQN,dQ N he.dr+N,hNedr=0 写成矩阵形式则有 ay ky a dn+ hONed Ngdp
实用工程数值模拟技术及其在AN￥S上的实践 ∑!N"hedr-SNQn=0 这是n个联立的线性代数方程组,用以确定n个节点温度.按照一般有限元格式可表小为 KE 式中K称为热传导矩阵O=[6e…已是节点温度列阵:P是温度载荷列阵矩阵K和p的 元素分别表示如下 ar s an,aN an. aN 分ayt2+ han drI h() P,=2N:gdr+2lN he,dr+2/ Qda 式(2-69)中的第一项是各单元对热传导矩阵的贡献,第二项是第三类热交换边界条件对热传 导矩阵的修正。(2-70)式中的三项分别为给定热流、热交换以及热源引起的温度载荷,可以看 出热传导矩阵和温度载荷列阵都是由单元相应的矩阵集合而成。可将式(2-69)和式(2~70) 改写成单元集成的形式 ∑K;+∑H Pi+>Pi+pi 式中 K=」k司8+N,aN H,= hN Ndr Nhe.dr 上就是二维稳定传导问题有限元的一般格式 现以平面3节点三角形单元为例来说明稳态温度场问 题的有限单元法的基本思路。 其插值函数为 .+b,r+y)(i,J,m) 对于任一单元ijm,热传导矩阵元素 k,=4A的b+ 图2-1二维域划分为三角形单元 单元热传导矩阵是 b b, b bbm K'=4A 66, b, b
第二卓有限单元法基 对于具有第三类边界条件的边界单元,如rsp单元除按上式计算单元热传导矩阵外、还 应计算由于第三类边界条件引起的对热传导矩阵的修正 I:=:.hN, i d=6h1 H:=:-==3hl 式中L是对流边界rs的边长。若单元中只有rs边为对流换热边界,则对单元热传导矩阵的修 正是 H 00 000 单元节点编码顺序是r.s,P。 当热源密度Q以及给定热流q都是常量时,单元的温度载荷为 =吉AA(,m) pn=h..(=r…)(当F3为r-s边时) p=q(i=r,s)(当F2为r-s边时) 2.5.3瞬态温度场的有艰单元法 瞬态温度场与稳态温度场主要的差别是瞬态温度场的场函数温度不仅是空间域』的函 数,而且还是时间域t的函数但是时间和空间两种域并不耦合因此建立有限元格式时可以 采用部分离散的方法。 仍以二维问题为例来建立瞬态温度场有限元的一般格式首先将空间域』离散为有限个 单元体在典型单元内温度θ仍可以近似地用节点温度e,插值得到,但要注意此时节点温度 是时间的函数,即 e=6=∑N(,y)e() 插值函数N只是空间域的函数,它与以前讨论过的问题一样,也应具有插值函数的基本性质 构造已时已满足F上的边界条件,因此上式代入场方程(2-58)和边界条件(2-59),(2-59 式时将产生余量 h(6 令余量的加权积分为零,郎 Row d2+ Rr w dr+Rr,,dr=0
实川T程数值模拟技术及其在 ANSYS上的实践 按伽辽金法选择权函数 与稳态温度场建立有限元格式的过程类同,经分部积分后可以得到用以确定n个节点温度 的矩阵方程 CO+ KO= p 这是…组以时间t为独立变量的线性常做分方程组式中C是热容矩阵K是热传导矩阵C和 K都是对称正定矩阵P是温度载荷列阵O是节点温度列阵是节点温度对时间的导数列 阵,O=dd矩阵K,C和P的元素由单元相应的矩阵元素集成 K ,=C (2711 单元的矩阵元素由下列各式给出 aN aN N ak,arar C+ k 是单元对热传导矩阵的贡献; II:,=hAN dr 是单元热换边界对热传导矩阵的修正; pcN, N dn2 是单元对热容矩阵的贡献: QA.,dn 是单元热源产生的温度载荷 qn dr 是单元给定热流边界的温度载荷; h e.a' dr 是单元对流换热边界的温度载荷 至此已将时间域和空间域的偏徹分方程问题在空间域内离散为n个节点温度6(1)的常 微分方程的初值问题对于给定温度值的边界上的n1个节点方程组(2-73)中相应的式子 应引入以下条件 式中讠是r上个节点的编号
第二章有限单元法綦础 2.6流体流动有限单元法 真实流体都是可压缩的.只是可压缩的程度不同而已,然而在一般的工程实际问题中.可 以不计流体的压缩性影响 2.6.1不可压缩流体流动的有限单元法 1.无升力物体绕流 (1)流动方程和边界条件 根据流体力学理论,对于二维不可压缩无粘性流体的流动,流函数φ和势洒数φ均满足拉 普拉斯( Laplace)方程 a, ay φaφ (2-76 流函数方程(2-75)对应的边界条件:在第一类边界条件F上,满足迪里西来( Dirichlet 条件 (2-77) 在第二类边界条件F2上,满足诺伊曼( Neumann)条件,即 势函数方程(2-76)对应的边界条件: 第一类边界条件F上,满足迪里西来条件,即 第二类边界条件F:上,满足诺伊曼条件,即 (2…8( 式中ψ—-F,边界上已知流函数值 t·……f2边界上已知切线方向速度 d-—r边界上已知势函数值; F2边界上已知法线方向速度。 在使用过程中要根据具体的求解问题选择使用流函数方程和相应的边界条件或者势函 数方程及相应的边界条件。两者的形式相同,而相应的边界条件提法略有差异 由变分法的数学定义,拉普拉斯型流函数方程(2-75)对应的泛函表达式为 n()=J(学,+③学yy 其极值的必要条件是泛函的一阶变分Ⅱ=0,由此得 (-v)afd