18 实用工程数值祺拟技术及其在 ANSYS上的实践 此时,梁单元的节点自由度为q=[U6v,,把式(2-21)写成矩阵形式,则 对式(2-21)求导数得转角为 =a2+2a3x+3a4x (2-23) 利用边界条件确定a。当 0n=v(0) v=v(1)=a1+a4+a2P2+a43,0.,=v'()=a2+2al+3a4n2 将上面四个式子写成矩阵形式,即 a.}0100 式中 0100 将矩阵C求逆,可得 3 13 0 12 所以 0 将a的表达式代入式(2-22),可得 0|10 展开后得 v(x)=Nv;+ N20:+ N3v, +N,.=Nor (2-26)
第二章有限单儿法基础 式中 (3-3l,+2;) (3l.r2-2r), (一lx:+lx) 式(2-26)就是梁单元的插值函数,N称为形状函数 把式(226)代入泛函式 n()=5E/ d2. P(r)u(r)d r 并进行变分求极值的计算由于此时是考虑一个单元,并且有 (v")2=(vN"1+0N"t+v".+0.N";)2=qN"N"q )=内(vN1十.N2+vN+O,N,) 这样,则单元的泛函式可写成 Ⅱ,(v) Eiq n"Ngd pq (2-27) 或写成 I,u)=9K 式中 K=EINN、f=|pNdr N"id r N"N",dr N"A"d. N".A"dr 丶":d K'- EI ∫ w",N,dr N"N",drn"d;wdr PN,d UNedr N N,drI 把式(2-26a)代入K积分,得 El 12 612
实用工程数值模拟技术及其在 ANSYS上的实践 再计人梁端轴向位移与轴向力关系得 12Fl 6El 2El 6EI GEl 4 AEl 6EI 2EI E,1 EA 0 6El 2El 上式说明,由能量变分原理所得到的单元特性矩阵和直接方法求得的完全一样 3.位移函数 从前面的叙述中已经看到,在单元特性分析时常需设定位移函数。在有限单元法中,一般 设定位移函数是多项式y=∑4中的形式(其中是待定系数)并用它近似的描述实际的位 移变化规律。至于在符合要求的条件下如何选择不同形式的函数,可以通过计算进行比较,以 便确定一种较为理想的函数。 从数学意义上看,设定的位移函数,至少应具有分片连续的一阶导数,这样才能使泛函积 分有意义,这是因为泛函中被积函数含有应变(,,…,它们都是位移的一阶导数位 栘函数之所以设定为多项式主要是考虑这样会使数学运算容易。多项式可以是常数、线性或 次曲线形式 选择多项式的阶次应考虑几种因 常数项 素.即完备性、协调性和对称性。多项式 线性项 项数应等于单元节点的自由度数。一般 二次项 来说,用一个由低阶算起的完全的多项 三次项 式就能保证完备性。协调性则要求位移 uui- Windy di'y' aury u,w 四次项 函数在单元内都是r,y的连续函数,而 在相邻单元的交界面上两单元间应有相 图2-7多项式形式 同的位移对称性是指该多项式位移函数应当与局部坐标系(单位坐标)的方位无关即几何 各向同性。也就是.位移函数的形式不应随局部坐标的更换而改变例如对于二维问题可根据 图2-7所示宝塔形的形式选择多项式 若从物理、几何方面考虑,要求分区设定的位移函数在单元边界上能满足变形协调条件 否则单元之间在变形后会重选或裂开:在位移函数的设定中必须至少满足单元的常应变要求 位移函数也应包含有代表刚体运动的项。 例如对三节点平面三角形单元、位移函数设定为 +u,r +u,y v(r y)=a4+a,r t asy (2-30)
第二章有限单元法基础 对于四节点平面矩形单元的位移函数可假设为 u(r,y)=a+u,r +uy +a4ry v(r, y)aa +a,+ u,y+ury 另外,位移函数也可用插值多项式的方式来表示例如三节点平面三角形单元位移函数也 可写为 u(x,y)=N山1+N4,+N2u v( r,y)=N u,+A U,+N,va d= ng 式中,N是形状函数矩阵如果我们能选到合适的形状函数矩阵N就会很方便地写出位移函 数的插值多项式 对于工程上常用的四节点、八节点平面等参数单元,以及20节点三维等参数单元等同样 可以表示 x 以及 在此n为单元节点数,不过N,为自然坐标的函数,即是直角坐标的隐函数 下面通过梁的插值多项式v(x)=vN+0.N2+v,N3+N说明形状函数矩阵N的 概念 当2=1.0.=v,=0,=0时单元的位移分布态就是N所代表的几何意义;N2代表当 0.=1,=可=0,=0时单元的位移分布状态同样N和N都是代表单元的位移分布状 态它们相应的几何图形如图2-8所示。 0n=1 图2-8梁单元形状函数的几何意义 这说明位移函数是形状函数的线性组合。只要求出待定的节点位移 .θ.v,,J,就确定了位移函数v(r)的值。 2.2.2有限单元法的解题步骤 现将有限单元法的解题步骤归纳如下。 单元剖分和插值函数的确定 根据构件的几何特性、载荷情况及所要求的变形点,建立由各种单元所组成的计算模型 再按单元的性质和精度要求,写出表示单元内任意点的位移函数u(x,y,:),v(,y,),x(r, yz)或d=S(r,y,z)a
实川L程数值模拟技术及在 ANSYS上的实践 利用节点处的边界条件,写出以a表示的节点位移q=[a1v1tt:v:t:…]并 写成 求C·及a=C"q,并代入d=Sa,得 (2…33) 它是用节点位移表示单元体内任意点位移的插值函数式 2.单元特性分析 根据位移插值函数由弹性力学中给出的应变和位移关系,可计算出应变为 31) 式中B—应变矩阵。相应的变分为 Se Boq 自物理关系,得应变与应力的关系式为 a s DE DBq 式中,D为弹性矩阵。 自虚位移原理ao=y,可得单元节点力与位移之间的关系式为 f=K'q 式中,K是单元特性,即刚度矩阵,并可写成 K'=IB'DBdV 3.单元纽集 把各单元按节点组集成与原结构相似的整体绩构得到整体结构的节点力与节点位移的 关系,即整体结构平衡方程组 式中K—整体结构的刚度矩阵; ∫-总的载荷列阵 整体结构所有节点的位移列阵。 对于结构静力分析载荷列阵∫可包括 ∫=∫r+Jm+∫ 式中∫r NpdV(体积力转移);NNpd(表面力转移);f,=Np(集中力转移) 4.解有限元方程 可采用不同的计算方法解有限元方程得出各节点的位移在解题之前,必须对结构平衡 方程组进行边界条件处理然后再解出节点位移q。 5.计算应力 若要求计算应力则在计算出各单元的节点位移q后自∈=B和口=DE即可求出相应 的节点应力。 2.2.3用三角形单元进行静力分析的实例 例2-1图2-9(a)所示是一平面墙梁。载荷沿梁的上边均匀分布,其单位长度上的均布