第二章有限单元法基础 13 为了能用单元节点位移q表示单元内某点位移d即把d(x,y)表达成节点位移插值函数 的形式应从上式中解出a=Cq可用矩阵求逆法求出 C,0 0c,0 式中4是三角形面积 A 1,y|=( y b (2-5) 为不使A为负值,图2-5中i,,k的顺序必须按逆时针方向标注 把a=Cq代入式(2-4)中,得 , 0 b,o b,0 0 相乘后得 [(a,+b, r+cy)u,+(a,+b, r+cy)u +(a,+b+ay)u] (r,y)=k(a,+6.x+c; y)u +(a, +6 x+cy)u, +(a,+b, +e,y)v. 或写成 u(r, y)=N,u,+ Nu,+ Niup 可简写为 d= no N,0N,0N0 式中 此式即为单元内某点的位移用节点位移插值表示的多项式称N为形状函数,其中 (4,十b+cy)/2A N=(a,+bx+c,y)/2 (2-6b 2)由位移函数求应变
I 实用工程数值模拟技术及其在 ANSYS上的实践 由弹性力学知eOnr 可得 t,+bn2十bu 十C+C动 或写成 le, b, c, h, c, bi 0b,0b 式中 0c,0c,0 3)根据虎克定律,通过应变求应力 对于平面问题,有 σ=[,a,r 其中的D,对平面应力问题为 E 10 4)由虚功原理求单元的刚度矩阵 根据虚功原理,当结构受载荷作用处于平衡状态时,在任意给出的节点虚位移下,外力(节 点力)F及内力a所做的虚功之和应等于零,即 dWe+8W 现给单元节点以任意虚位移oq 则单元内各点将产相应的虚位移d,o和虚应变e,0e,0Xx它们都为坐标r,y的函数可分 别按式(2-6a)和(2-7)求得 N de Boq" (2-11) 求单元节点力的虚功 oWF= au, Fa a, Fw+ au,t o, auf+ dv, F
第二章有限单元法基础 再求内力虚功: ∂eor+e,an+62z)dv 式中v—单元体积 上式写成矩阵形式为 doody (2-13) 将式(2-11)和(2-8)代人式(2-13) dgBDBo'dl 式中,6q和q可视为常值,将其移出积分号之外,即 8w.=-8g B'DBdvq' (2-14) 将式(2-12)和(2-14)代入虚功方程,得 8g= 8q B g 式中q是任意的,可消去,得 fe=LB'DBdVg (2-15) 或 f=k'g (2-15a) 式中 K'=[B'DBdy 把B及D代人式(2-15b)得平面应力问题三角形单元刚度矩阵为 KK Kki Ku +1- K, 4(1-P2)A (2-16) mb+1。bC.c+1“b (=t,j,k;5=t,j,k) 式中 单元厚度。 3.能正变分原理方法 1)最小势能原理 弹性体受外力作用产生变形时,外力对弹性体作功W势能降低,伴随着产生变形势能U 所以系统总势能Ⅱ可写成为 I=U-w (2-17) 对于线弹性问题,式中
实用工程数值模拟技术及其在 ANSYS上的实践 =coy、W=(xu+y+o+x++2mn小 而 [e,ε,e,Yy 是应变列阵; 是应力列阵 由于E和a是位移a,U,的函数,所以Ⅱ=U-W是一个函数的函数即“泛函”这个泛 函是弹性体的总势能用变分法求能量泛函的极值方法就是能量变分原理。 当用位移法时,应变能可写成 ((u, v, u) (1+)(1-2) ++)2+26[()2+()+() [(x+)2+(+)2 as .rdy sdk 将式(2-17)对位移求变分,得最小势能原理为 bⅡ=′-oW=0 它的意义是:在所有满足连续条件(几何关系和位移已知的边界条件)的所有可能位移中我 们把每一组位移称为容许函数),只有真正满足平衡方程式的那组位移a,U,t才能使物体的 总势能为最小。该组位移4v,w的值就是问题的正确解答 现在对式(2-17)进行具体的变分计算因为 0=(a,e,+a,6e、+a,0c,+τ1Y,+rx87yx+x,07)dV= O'dedv= de odv 而 dW=I(XSu+Y8u+Zwe)dv +I(XOu +YSv+ZOu)dS 或离散化后近似表达为 oW=∫oq=aqf 式中X.Y,Z—物体在r,y,z方向上的体积力 X,Y,2—物体在,y,x方向上的表面力。 自Ⅱ=b-W=0,有J=Aw 即 de ddv og f 这是虚位移原理(虚功原理)两种原理导出同样结果虚功原理是理论力学上的一个根本性的 原理它同样可用于一切非线性力学问题最小势能原理只是虚功原理对弹性体导出的一种表 述形式。但对线弹性问题,能量变分原理的应用极其方便。能量变分原理方法是从势能的泛函 表达式出发进行变分求极值的结果能量变分原理方法的应用范围可以方便地扩大到机械结 构位移场以外的其它不含非线性的领域如求解热传导,电磁场流体力学等连续性问题 2)能量变分原理的应用
第二章有限单元法基础 下面以图2-6所示的一个简支的平面直梁弯曲问题为例,来说明能量变分原理的应用 对于平面直梁弯曲问题,可只考虑弯曲产生的应变能,其值为 U=∫#)dx 外载荷作功为 w= p(r)v(r)dx 图2-6受分布载胥作用 两式中的υ是挠度,p(r)是分布载荷则系统总势能(为了简 的间支梁 化.用p代替p(r))为 I=U-w 把v和看成变量,所以上式的变分为 EI ddv 经过分部积分和代入两端边条件它的极值条件给出: (er d'v )oud r=o 由于δ是任意的,则只有在下面条件成立时才能满足要求 当p(r)=0时,则得 上面两式就是直梁的基本微分方程。 对于直梁问题可在给定的边界条件下通过解上述微分方程式,求出v(r)。这就是解微分 方程的边值问题。这对简单梁问题并不困难,但对复杂结构则比较困难,有时甚至不可能。所 以,就产生了“泛函变分的近似解法”或称“变分问题中的直接解法”,里兹法就是其中的一种。 里兹汰是假设个线性组合形式的函数y=∑a,,它是一个容许函数(可能位移函数), 其中的ω,是待定系数。然后,把该函数代入所论问题的能量变分原理泛函Ⅱ中去,求其变分 an、再从极值条件=0,即=0(=1,2…,m给出的方程组中解出以待定系数之值,最 后把求得的a值代入设定的函数y=∑a中去,即得问题的正确解古典里兹法是对所论 问题的整个区域来设定光滑的可能函数的,因此难度较大。采用里兹法进行泛函变分近似计算 时,是分区在离散处理后的单元体上设定可能位移函数的在单元之间的光滑性可能降低这 就比较容易 现在采用能量变分原理的有限元法来计箅平面直梁问题 设定梁单元的位移函数为 v( r)=a+a2r+ a3r+asr 式中a—待定系数(其数目和自由度数目相等)