第二章有限单元法基础 2.1有限单元法的基本概念 有限单元法是随着电子计箅机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50年代 首先在连续体力学领域——飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法随 后很快就广泛地应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题 图2-1是用有限单元法对直齿圆柱齿轮的轮齿进行的变形和应力分析,其中图2-1(a) 为有限元模型图2-1(b)是最大切应力等应力线图。在图2-1(a)中采用八节点四边形等参 单元把轮齿划分成网格这些网格称为单元。网格间相互联接的交点称为节点网格与网格的 交界线称为边界。显然,图中的节点数是有限的,单元数目也是有限的,所以称为“有限单元”。 这就是“有限元”一词的由来。有限元法分析计算的思路和作法可归纳如下: 图2-1直齿圆柱齿轮轮齿应力分析 (a)有限元模型b)最大切应力等应力线 物体高散化 将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型如图2-1(a),这一步称作单元剖 分离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连结起来;单元节点的设置、性质数目等应视 问題的性质,描述变形形态的需要和计算精度而定(一般情况,单元划分越细则描述变形情况 越精确即越接近实际变形,但计算量越大)。所以有限元法中分析的结构已不是原有的物体或 结构物而是同样材料的由众多单元以一定方式连结成的离散物体。这样,用有限元分析计算
第二章有限单元法基础 所获得的结果只是近似的如果划分单元数目非常多而又合理,则所获得的结果就与实际情况 相符合。 2.单元特性分析 1)选择位移模式 在有限单元法中,选择节点位移作为基本未知量时称为位移法;选择节点力作为基本未知 量时称为力法;取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法位移法易于 实现计算自动化,所以在有限单元法中位移法应用范围最广 当釆用位移法时物体或结构物离散化之后,就可把单元中的一些物理量如位移、应变和 应力等由节点位移来表示这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数 予以描述。通常,有限元法中我们就将位移表示为坐标变量的简单函数。这种函数称为位移模 式或位移函数如y=∑a其中a是待定系数是与坐标有关的某种函数, 2)分析单元的力学性质 根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等,找出单元节点力和节点位 移的关系式这是单元分析中的关键一步。,此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来 建立力和位移的方程式从而导出单元刚度矩阵,这是有限元法的基本步骤之一。 3)计算等效节点力 物体离散化后,假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是,对于实际的连续 体,力是从单元的公共边界传递到另一个单元中去的因而,这种作用在单元边界上的表面力、 体积力或集中力都需要等效地移到节点上去,也就是用等效的节点力来替代所有作用在单元 上的力。 3.单元组集 利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新联接起来,形成整体的 有限元方程 式中,K是整体结构的刚度矩阵;q是节点位移列阵:∫是载荷列阵。 A.求解来知节点位移 解有限元方程式(2-1)得出位移。这里,可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算 方法。 通过上述分析,可以看出,有限单元法的基本思想是一分一合”,分是为了进行单元分析 合则是为了对整体结构进行综合分析 2.2结构静力分析的有限单元法 22.1单元特性的导出方法 进行有限元分析的基本步骤之一就是要找出所剖分的单元的刚度矩阵和质量矩阵,一般 来说,建立刚度阵的方法有:(1)直接方法;(2)虚功原理法;(3)能量变分原理方法;(1)迦辽 金法
实用工程数值模拟技术及其在 ANSYS上的实践 下面主要叙述直接方法虚功原理法及能量变分原理法。 .直接方法 直接方法是直接应用物理概念来建立单元的有限元方程和分析单元特性的一种方法,这 种方法仅能用于简单形状的单元,如梁单元但它可以帮助理解有限元法的物理概念 图2-2(a)所示是xOy平面中的平面刚架简图,考虑单元②,暂不计轴向位移,可视为简 支梁,EⅠ为梁的抗弯刚度,A为截面面积现在,以它为例用直接方法建立单元的刚度矩阵。 Pi ( F (M) EI 图2-2平面刚架和它的计算模型 梁在横向外载荷(可以是集中力或力矩或分布载荷等)作用下产生弯曲变形,对于平面弯 曲问题,每个点(包括支承点)处的位移有两个,即挠度和转角;相应地也有两个节点力,即与 挠度对应的剪力和与转角对应的弯矩我们规定挠度和剪力向上为正,转角和弯矩逆时针方向 为正 如图2-2(b)所示,当令左支承点为节点i右支承点为节点j时,则节点位移和节点力可 以分别写成0…9,和F,MF,M也可写成矩阵形式 q=[,,",b3j 称为单元的节点位移列阵 [F Mi Fy M. 称为单元的节点力列阵。 显然梁的节点力和节点位移是有联系的在弹性小位移范围内,这种联系是线性的,可用 下式表示: ku kx2 ksa k3 ku kuz kas ku lee 或 f=k'g 它代表了单元的节点力和节点位移之间(或力和变形之间)的关系,式中K称为单元刚度 阵,它是单元的特性矩阵从方程中可以看出F=k1M+k1+k+k,O3,M,=k34+ k:0.+k23,十k;9等等从而可以得出这样的物理概念,即单元刚度矩阵中任一元素k,表示 号自由度对第号节点力(或矩)的贡献如K中第1列各元素就分别代表当第i个自由度方 向产生单位位移(或转角)=1时,它对各位移(包括v)方向上引起的节点力(或矩)F,M
第二章有限单元法基 Fx,M:的贡献。由功的互等定理有k,=kn,所以单元刚度矩阵是对称的对于图2-2所示的 梁单元平面弯曲问题,可以计算出各系数k的数值。 M 图2-3梁变形图 图2 梁变形图 例如,若假设U.=1,0="=6,=0(如图2-3所示)由悬臂梁的变形公式得 F L M/ 挠度 U=3E了 2EI 转角 2-b+=0 El 解得 F-12E 再从平衡条件 Fx=-Fr, M,=Fnl-M. F:- 12EI 同理,若再假设.=1,,=0=6,=0(如图2-4所示),由悬臂梁的变形边界条件 可得 类似地,还可求出 k3=12E GEI 再考虑单元②的梁端轴向位移和梁端轴向力关系 F 这样 f'=[Fn Fy M F. Fr, M,] 所以.平面梁单元的刚度矩阵或单元特性矩阵为
实用工程数值模拟技术及其在ANSY$上的实践 EA 12El 6El 2EI EA 0 12EI 6El 12EI hEr 2.虚功原理法 以平面问题中的三角形单元为例,说明其方法步骤 l)设定位移函数 设三节点三角形单元内的位移函数为:d(x,y)=[u(x, y)(x,y)],它是未知的。当单元很小时,单元内一点的位移 可以通过节点的位移插值来表示。对图2-5所示的三角形,可假 设单元内位移为x,y的线性函数,即 u(r, y)=d+a2r+a3y y 或写成矩阵形式 图2-5三角形单元 xy0001a3 (2-1 0 1 r ya a(r,y),v(x,y)既然是单元内某点的位移表达式,当然单元的三个节点i,j,k上的位移也可用 它来表示,所以有 ,+ +a2,+u3y, U,=4 r,+.y, u=d1+ a2I,+ a3,, v=u,+asCt +asy 写成矩阵形式为 r,y,(00 00 ry,000