D0I:10.13374/1.issm100103.2008.09.019 第30卷第9期 北京科技大学学报 Vol.30 No.9 2008年9月 Journal of University of Science and Technology Beijing Sep·2008 概率逻辑中的命题相关性与逻辑运算 刘宏岚高庆狮杨炳儒 北京科技大学信息工程学院，北京100083 摘要原子命题是数理逻辑研究的基本单位.分析了原子命题的相关性与逻辑运算之间的关系。在经典二值逻辑中，命题 逻辑运算结果的真值只与参与运算的命题的真值有关，而与命题的具体内容无关：在概率逻辑中，命题逻辑运算由命题的关 系决定，真值相同的不同命题，逻辑运算结果不一定相同·定义了与经典二值逻辑相容的蕴涵联结词，克服了条件概率不能用 于推理的缺点 关键词概率逻辑；二值逻辑：集合：逻辑运算 分类号0141.1 Proposition relativity and logic calculation in probabilistic logic LIU Honglan,GAO Qingshi.YANG Bingru School of Information Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083,China ABSTRACT Atom propositions are the basic unit of symbolic logic.The relationship between atom propositions'relativity and logic calculation was analyzed.In classical two-valued logic,the truth value of the proposition logic calculation result only bears on the truth value of the proposition which participates in the logic calculation,but is independent of the idiographic content in the proposition.In probabilistic logic,proposition logic calculation is decided by the relationship of propositions.The different propositions with the same truth value can not have the same logic calculation result.Implication connectives which are compatible with classical two-valued logic were defined,and they overcome the shortcoming that conditional probability can not be used to inference. KEY WORDS probabilistic logic:two-valued logic:set:logic calculation 概率逻辑是在经典二值逻辑和概率论的基础 都只是在一定范围内适用· 上，研究如何用逻辑的语言来进行概率推理山，概 本文首先简单介绍了两个传统标准概率逻辑模 率论作为不确定性推理的数学基础，虽然已在多种 型以及存在的不足：条件概率与逻辑蕴涵不一致，无 不确定性推理方法如确定性理论、主观Bayes方法、 法实现条件推理，然后根据概率命题之间的独立与 证据理论等中得到应用，但如何在逻辑框架内实现 非独立关系详细分析了逻辑运算（联结词），并同时 概率逻辑的不确定性推理是一个值得研究的重要课 定义了与经典二值逻辑一致的蕴涵联结词“→”，可 题. 用于条件推理.最后证明添加了蕴涵联结词的概率 从语义角度说，原子命题之间同概率论中事件 逻辑系统与经典二值逻辑完全相容. 间的关系一样，存在两类共四种不同的关系，即独立 1传统标准概率逻辑模型及分析 关系以及包含、不相交、相交而不包含等非独立关 系[3]，可通过命题的结构来描述命题之间的关系， 概率逻辑是由Keynes于1921年首先提出的， 命题之间的关系不同，逻辑运算的具体的数值计算 目前已有多种不同的逻辑模型，主要包括基于标准 公式便不同，所以传统多值逻辑系统和模糊逻辑系 概率空间的标准概率逻辑模型、基于概率最大熵原 统对于逻辑联结词定义了大量的算子，而每种算子 则的可能世界模型以及扩充概率空间的条件事件代 收稿日期：2007-09-26修回日期：2008-06-05 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。·60573014):国家高技术研究发展计划资助项目(N。,2006AA01z140) 作者简介：刘宏岚(1973一)，女，博士研究生，E-mail:honglanliu@ics~ustb:cd血：cm;高庆衡(l934-),男，中国科学院院士，博士生导师
概率逻辑中的命题相关性与逻辑运算 刘宏岚 高庆狮 杨炳儒 北京科技大学信息工程学院北京100083 摘 要 原子命题是数理逻辑研究的基本单位．分析了原子命题的相关性与逻辑运算之间的关系．在经典二值逻辑中命题 逻辑运算结果的真值只与参与运算的命题的真值有关而与命题的具体内容无关；在概率逻辑中命题逻辑运算由命题的关 系决定真值相同的不同命题逻辑运算结果不一定相同．定义了与经典二值逻辑相容的蕴涵联结词克服了条件概率不能用 于推理的缺点． 关键词 概率逻辑；二值逻辑；集合；逻辑运算 分类号 O141∙1 Proposition relativity and logic calculation in probabilistic logic LIU HonglanGA O QingshiY A NG Bingru School of Information EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT Atom propositions are the basic unit of symbolic logic．T he relationship between atom propositions’relativity and logic calculation was analyzed．In classical two-valued logicthe truth value of the proposition logic calculation result only bears on the truth value of the proposition which participates in the logic calculationbut is independent of the idiographic content in the proposition．In probabilistic logicproposition logic calculation is decided by the relationship of propositions．T he different propositions with the same truth value can not have the same logic calculation result．Implication connectives which are compatible with classical two-valued logic were definedand they overcome the shortcoming that conditional probability can not be used to inference． KEY WORDS probabilistic logic；two-valued logic；set；logic calculation 收稿日期：2007－09－26 修回日期：2008－06－05 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．60573014）；国家高技术研究发展计划资助项目（No．2006AA01z140） 作者简介：刘宏岚（1973－）女博士研究生E-mail：honglanliu＠ies．ustb．edu．cn；高庆狮（1934－）男中国科学院院士博士生导师 概率逻辑是在经典二值逻辑和概率论的基础 上研究如何用逻辑的语言来进行概率推理［1］．概 率论作为不确定性推理的数学基础虽然已在多种 不确定性推理方法如确定性理论、主观 Bayes 方法、 证据理论等中得到应用但如何在逻辑框架内实现 概率逻辑的不确定性推理是一个值得研究的重要课 题［1］． 从语义角度说原子命题之间同概率论中事件 间的关系一样存在两类共四种不同的关系即独立 关系以及包含、不相交、相交而不包含等非独立关 系［3］可通过命题的结构来描述命题之间的关系． 命题之间的关系不同逻辑运算的具体的数值计算 公式便不同所以传统多值逻辑系统和模糊逻辑系 统对于逻辑联结词定义了大量的算子而每种算子 都只是在一定范围内适用． 本文首先简单介绍了两个传统标准概率逻辑模 型以及存在的不足：条件概率与逻辑蕴涵不一致无 法实现条件推理．然后根据概率命题之间的独立与 非独立关系详细分析了逻辑运算（联结词）并同时 定义了与经典二值逻辑一致的蕴涵联结词“→”可 用于条件推理．最后证明添加了蕴涵联结词的概率 逻辑系统与经典二值逻辑完全相容． 1 传统标准概率逻辑模型及分析 概率逻辑是由 Keynes 于1921年首先提出的 目前已有多种不同的逻辑模型主要包括基于标准 概率空间的标准概率逻辑模型、基于概率最大熵原 则的可能世界模型以及扩充概率空间的条件事件代 第30卷 第9期 2008年 9月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．9 Sep．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．09．019
,1080 北京科技大学学报 第30卷 数模型，但都还不完善，如：逻辑模型无法解决条件 系，8)，本文在逻辑框架内探讨概率命题的关系与 推理问题，可能世界模型超出了逻辑框架的范畴，条 逻辑运算，即各种逻辑联结词特别是条件联结词的 件事件概率的概率测度不再是标准概率测度等6]， 定义与实现以及逻辑运算的性质， 1.1标准概率逻辑模型 如陈述句“硬币抛出去将正面朝上”以及著名的 标准概率逻辑模型是指在标准概率空间上建立 J.Lukasiewicz命题“明年12月21日中午，我将在 的一种标准概率逻辑体系.其中卡尔纳普(Carnap) 华沙”，从概率论的角度，它们是两个随机事件； 概率逻辑和波普尔(Popper)概率逻辑是这种模型的 从逻辑学的角度，就是真值v∈[0,1]的两个命题 两个典型代表[门. (表达判断的、有唯一确定真值的陈述句)· Popper概率逻辑包括Popper先验概率和 2.1原子命题之间的内在联系对逻辑运算的影响 Popper条件概率.Popper先验概率是由Popper于 原子命题本身是有内部结构即组成成分的，命 1938年提出的先验概率函数来定义的，该函数的基 题的内部结构决定了命题的真值、命题之间的关系 本性质包括非负性、正规性、可加性、交换律、结合律 以及命题之间的逻辑运算等，命题间的关系与概率 和幂等律等.Popper先验概率函数的这些基本性质 论中事件间的关系一样3.门，存在两类不同的关系， 通常被看做是先验概率函数的标准公理系统， 即独立关系和非独立关系，其中非独立关系包括不 Popper条件概率是由Popper本人基于概率逻 相交（不相容）、包含、相等等关系，为了说明情况， 辑的自主性描述，分别于1955年和1959年提出的 本文举例如下， 条件概率函数来定义的，条件概率是一个二元函 例1设命题P(张三，某地区)表示“（张三）明 数，是通过两个先验概率函数的商的形式给出的，条 年12月21日中午将在（某地区）”，A表示石家庄， 件概率函数的基本性质包括非负性、正规性、可加 B表示河北，C表示辽宁，D表示中国. 性、乘法律、左交换律和右交换律等. 四个命题P(张三，A)、P(张三，B)、P(张三， Carnap概率逻辑也包括Carna即先验概率和 C)和P(张三，D)是相互关联的，如果命题P(张 Carnap条件概率，Carnap先验概率由Carnap(1950 三，A)为真，则P(张三，B)、P(张三，D)为真，P 年)函数所描述，是在Popper先验概率函数标准公 (张三，C)为假.若命题P(张三，B)为真，则P(张 理系统的基础上，增加了限制条件：如果P(α)=0， 三，C)为假，P(张三，D)为真，P(张三，A)可能为 那么a是逻辑假，Carna即p条件概率由Carnap 真，也可能为假 (1952年)函数描述，讨论了条件概率的一些性质. 可以这样理解，这里的A={石家庄市{，B= 1.2传统标准概率逻辑模型的简单分析 {河北省城市，C={辽宁省城市，D={中国的城 标准概率逻辑模型是一种在逻辑框架内解决概 市，有A三B三D,C三D,B∩C=⑦.因为客体 率逻辑不确定性推理的方法，经典二值逻辑定义了 A、B、C和D之间有相互关系，导致命题之间有相 蕴涵联结词“→”，b→a台bVa,可直接用于推理. 互联系 传统标准概率逻辑系统一般都是给出了与经典逻辑 若假设张三明年12月21日中午就在国内，则 对应的三个独立算子一、八和V,但对经典逻辑中的 有真值v(P(张三，D)=1.若张三是等概率地出 蕴涵算子→却未明确定义，而是通过条件概率来处 现在各个城市，可以计算。(P(张三，4》=。 理的，条件概率不适用于逻辑运算与推理 条件概率P(a|b)与逻辑蕴涵b→a是不一致 (P(张三，)=B(P(张三，C)=其 的.P(ab)=P(aAb)/P(b),P(b→a)= 中A表示集合A中元素的个数，考虑到命题之间 P(一bVa).可以证明P(b→a)≥P(ab),其中 的关系，所以有： 当且仅当P(b)=1或P(a|b)=1时，P(b→a)= v(P(张三，A)VP(张三，B))=max(o(P(张 P(ab)[6]. 三，A),(P(张三，B))=v(P(张三，B)), 2概率命题的相关性与逻辑运算 (A=B): v(P(张三，A)AP(张三，B)=min(v(P(张 按照Carnap的观点，概率应分为两大类：一类 三，A)),（P(张三，B))=（P(张三，A), 是逻辑概率，是指概率的逻辑解释；另一类是统计概 (A=B); 率，是指概率的频率解释，概率逻辑就是指概率的 v(P(张三，B)VP(张三，C))=v(P(张三， 逻辑解释，它是在概率空间上定义的一个逻辑体 A)十u(P(张三，B),(B∩C=①；
数模型但都还不完善如：逻辑模型无法解决条件 推理问题可能世界模型超出了逻辑框架的范畴条 件事件概率的概率测度不再是标准概率测度等［6］． 1∙1 标准概率逻辑模型 标准概率逻辑模型是指在标准概率空间上建立 的一种标准概率逻辑体系．其中卡尔纳普（Carnap） 概率逻辑和波普尔（Popper）概率逻辑是这种模型的 两个典型代表［7］． Popper 概 率 逻 辑 包 括 Popper 先 验 概 率 和 Popper条件概率．Popper 先验概率是由 Popper 于 1938年提出的先验概率函数来定义的该函数的基 本性质包括非负性、正规性、可加性、交换律、结合律 和幂等律等．Popper 先验概率函数的这些基本性质 通常被看做是先验概率函数的标准公理系统． Popper 条件概率是由 Popper 本人基于概率逻 辑的自主性描述分别于1955年和1959年提出的 条件概率函数来定义的．条件概率是一个二元函 数是通过两个先验概率函数的商的形式给出的条 件概率函数的基本性质包括非负性、正规性、可加 性、乘法律、左交换律和右交换律等． Carnap 概率逻辑也包括 Carnap 先验概率和 Carnap 条件概率．Carnap 先验概率由 Carnap（1950 年）函数所描述是在 Popper 先验概率函数标准公 理系统的基础上增加了限制条件：如果 P（ a）＝0 那么 a 是 逻 辑 假．Carnap 条 件 概 率 由 Carnap （1952年）函数描述讨论了条件概率的一些性质． 1∙2 传统标准概率逻辑模型的简单分析 标准概率逻辑模型是一种在逻辑框架内解决概 率逻辑不确定性推理的方法．经典二值逻辑定义了 蕴涵联结词“→”b→ a⇔ b∨ a可直接用于推理． 传统标准概率逻辑系统一般都是给出了与经典逻辑 对应的三个独立算子 、∧和∨但对经典逻辑中的 蕴涵算子→却未明确定义而是通过条件概率来处 理的条件概率不适用于逻辑运算与推理． 条件概率 P（ a｜b）与逻辑蕴涵 b→ a 是不一致 的．P （ a｜b） ＝ P （ a∧ b）／P （ b ）P （ b → a） ＝ P（ b∨ a）．可以证明 P（ b→ a）≥ P（ a｜b）其中 当且仅当 P（ b）＝1或 P（ a｜b）＝1时P（ b→ a）＝ P（ a｜b） ［6］． 2 概率命题的相关性与逻辑运算 按照 Carnap 的观点概率应分为两大类：一类 是逻辑概率是指概率的逻辑解释；另一类是统计概 率是指概率的频率解释．概率逻辑就是指概率的 逻辑解释它是在概率空间上定义的一个逻辑体 系［18］．本文在逻辑框架内探讨概率命题的关系与 逻辑运算即各种逻辑联结词特别是条件联结词的 定义与实现以及逻辑运算的性质． 如陈述句“硬币抛出去将正面朝上”以及著名的 J．●ukasiewicz 命题“明年12月21日中午我将在 华沙［4］ ”．从概率论的角度它们是两个随机事件； 从逻辑学的角度就是真值 ν∈［01］的两个命题 （表达判断的、有唯一确定真值的陈述句）． 2∙1 原子命题之间的内在联系对逻辑运算的影响 原子命题本身是有内部结构即组成成分的命 题的内部结构决定了命题的真值、命题之间的关系 以及命题之间的逻辑运算等．命题间的关系与概率 论中事件间的关系一样［37］存在两类不同的关系 即独立关系和非独立关系其中非独立关系包括不 相交（不相容）、包含、相等等关系．为了说明情况 本文举例如下． 例1 设命题 P（张三某地区）表示“（张三）明 年12月21日中午将在（某地区）”A 表示石家庄 B 表示河北C 表示辽宁D 表示中国． 四个命题 P（张三A）、P（张三B）、P（张三 C）和 P（张三D）是相互关联的如果命题 P（张 三A）为真则 P（张三B）、P（张三D）为真P （张三C）为假．若命题 P（张三B）为真则 P（张 三C）为假P（张三D）为真P（张三A ）可能为 真也可能为假． 可以这样理解这里的 A ＝｛石家庄市｝B＝ ｛河北省城市｝C＝｛辽宁省城市｝D＝｛中国的城 市｝有 A ⊆ B⊆ DC⊆ DB∩ C＝／○．因为客体 A、B、C 和 D 之间有相互关系导致命题之间有相 互联系． 若假设张三明年12月21日中午就在国内则 有真值 v （ P（张三D））＝1．若张三是等概率地出 现在各个城市可以计算 v （ P（张三A ））＝ ｜A｜ ｜D｜ v （P（张三B））＝ ｜B｜ ｜D｜ v （ P（张三C））＝ ｜C｜ ｜D｜ 其 中｜A｜表示集合 A 中元素的个数．考虑到命题之间 的关系所以有： v （P（张三A ）∨ P（张三B））＝max（ v （ P（张 三A ））v （ P （张三B））） ＝ v （ P （张三B）） （ A⊆B）； v （P（张三A）∧ P（张三B））＝min（ v （ P（张 三A ））v （ P （张三B））） ＝ v （ P （张三A ）） （ A⊆B）； v （ P（张三B）∨ P（张三C））＝ v （ P（张三 A））＋v （P（张三B））（B∩C＝／○）； ·1080· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第9期 刘宏岚等：概率逻辑中的命题相关性与逻辑运算 ,1081, u(P(张三，B)AP(张三，C)=0,(B∩C= (P,A,b)=v(P,A,b)=1-v(P,A, 少· b). 命题“P:张三明年12月21日中午将在石家 设D={D1,D2,,Dn}是2的一个划分，则 庄”与命题“Q:李四明年12月21日中午将在石家 庄”之间是相互独立的：v(P人Q)=v(P)×v(Q) 满足之(P,D,6)=1. =1 2.2命题与联结词 P(X,6)=(P,x,6,v(P,x,6))lxEX, 在数理逻辑中，谓词用大写英文字母P、Q和 b∈Y称为关系命题集合，集合中的所有命题有相 R等表示，真值用)表示，下面给出定义在标准概 同的谓词和确定客体，不同的非确定客体，如例1 率空间(，X,v)上的原子命题的表示， 中的关系命题集合P(X,b)=张三明年12月21 定义1不能被分解成更简单的陈述句的命题 日中午将在x「x∈X,根据概率论理论，同一关系 称为原子命题·原子命题表示为： 命题集合中的命题属于非独立关系，不属于同一关 P(A,b)=(P,A,b)= 系命题集合中的命题是独立关系， (P,A,b,v(P,A,b),A∈X,b∈Y. 2.2.1原子命题之间的关系 P表示谓词(predication),如P表示：…明年l2月 下面分别讨论命题之间的非独立关系（相交、包 21日中午将在，A和b为客体，如A表示河北，b 含、相等等)和独立关系. 表示张三，P(A,b)表示命题“（张三）明年12月21 定义2（同一关系命题集合内命题关系）设 日中午将在（河北）”. P(X,b)={(P,x,b)x∈X,b∈Y为一关系命 为了进一步刻画随机命题，本系统将客体分为 题集合，任意的命题P(A,b),P(B,b)∈P(X,b), 非确定客体和确定客体，其中非确定客体相当于概 P(A,b)与P(B,b)之间是非独立的，具体关系定 率论中的随机事件，与真值的取值（概率）直接相关， 义如下： 非确定客体实质上代表的是集合，用大写英文字母 P(A,b)二P(B,b)被定义为A三B(包含关 A、B和C等表示，如例1中的C=“辽宁”={辽宁 系)： 省城市}、B=“河北”=河北省城市}等是非确定客 P(A,b)与P(B,b)不相交被定义为A∩B= 体.。由于事件未发生，不能确定命题是否为真，但可 ①（不相交关系）； 用概率论方法通过非确定客体计算命题的真值， P(A,b)=P(B,b)充分必要条件是A=B(相 命题描述的其他对象称为确定客体，如例1中 等关系) 的“张三”是确定客体，用小写英文字母a、b和c等 命题相等与真值相等是两个不同的概念，命题 表示， 的真值是命题的一个属性 客体空间是命题所表达的随机事件发生后，A 例2已知命题P(A,b)表示：b明年12月21 位置所有可能取值的集合，相当于概率论中的样本 日中午将在A.其中Ω={中国所有的城市}，非确 空间，用2表示.如例1中，到了明年12月21日中 定个体域X=2”,A∈X,确定客体域Y={人{， 午，张三一定是在中国的某一个城市，则Ω={中国 b∈Y. 的城市} 则命题P(石家庄，张三)、P(河北，张三)和P 定义中X和Y是客体的取值范围即客体域，其 (沿海城市，张三)之间的关系如下. 中X是非确定客体域，Y是确定客体域，X是Ω的 相交而不包含：P(河北，张三)与P(沿海城市， 幂集20.在例1中，2={中国所有的城市}，非确定 张三)· 个体域X=20=0,{北京{，{石家庄，…，{台北， 不相交：P(石家庄，张三)与P(沿海城市，张 河北=河北省城市，，海南={海南省城市，东 三) 北={东北地区城市，…，沿海=沿海城市}，…，中 包含：P(河北，张三)包含P(石家庄，张三) 国=中国的城市}，Y={人. 属于同一个关系命题集合的各命题之间，真值 (P,A,b)是命题P(A,b)的真值，满足： 的取值通常是有相互影响的，上例中，当命题P(石 0≤u(P,A,b)≤1，v(P,①，b)=0,v(P,2, 家庄，张三)为真时，很明显命题P(河北，张三)为 b)=1; 真，反过来不一定成立，但大多数情况下，任两命题 (P,AUB,b)=u(P,A,b)+u(P,一A∩ 的真值的取值是无关的，如命题P(石家庄，张三)、 B,b): P(石家庄，李四)，与“张三2008年奥运会将拿金
v （P（张三B）∧ P（张三C））＝0（ B∩ C＝ ／○）． 命题“ P：张三明年12月21日中午将在石家 庄”与命题“ Q：李四明年12月21日中午将在石家 庄”之间是相互独立的：v （P∧ Q）＝v （P）×v （ Q）． 2∙2 命题与联结词 在数理逻辑中谓词用大写英文字母 P、Q 和 R 等表示真值用 v 表示下面给出定义在标准概 率空间（ΩXv ）上的原子命题的表示． 定义1 不能被分解成更简单的陈述句的命题 称为原子命题．原子命题表示为： P（ Ab）＝（PAb）＝ （PAbv （PAb））A∈Xb∈ Y ． P 表示谓词（predication）如 P 表示：…明年12月 21日中午将在…．A 和b 为客体如 A 表示河北b 表示张三P（ Ab）表示命题“（张三）明年12月21 日中午将在（河北）”． 为了进一步刻画随机命题本系统将客体分为 非确定客体和确定客体其中非确定客体相当于概 率论中的随机事件与真值的取值（概率）直接相关． 非确定客体实质上代表的是集合用大写英文字母 A、B 和 C 等表示．如例1中的 C＝“辽宁”＝｛辽宁 省城市｝、B＝“河北”＝｛河北省城市｝等是非确定客 体．由于事件未发生不能确定命题是否为真但可 用概率论方法通过非确定客体计算命题的真值． 命题描述的其他对象称为确定客体．如例1中 的“张三”是确定客体用小写英文字母 a、b 和 c 等 表示． 客体空间是命题所表达的随机事件发生后A 位置所有可能取值的集合相当于概率论中的样本 空间用 Ω表示．如例1中到了明年12月21日中 午张三一定是在中国的某一个城市则 Ω＝｛中国 的城市｝． 定义中 X 和 Y 是客体的取值范围即客体域其 中 X 是非确定客体域Y 是确定客体域X 是Ω的 幂集2Ω．在例1中Ω＝｛中国所有的城市｝非确定 个体域 X＝2Ω＝｛／○｛北京｝｛石家庄｝…｛台北｝ 河北＝｛河北省城市｝…海南＝｛海南省城市｝东 北＝｛东北地区城市｝…沿海＝｛沿海城市｝…中 国＝｛中国的城市｝｝Y ＝｛人｝． v （PAb）是命题 P（ Ab）的真值满足： 0≤v （PAb）≤1v （ P／○b）＝0v （ PΩ b）＝1； v（PA ∪ Bb）＝ v （ PAb）＋ v （ P A ∩ Bb）； v （ PAb）＝ v （ P Ab）＝1－ v （ PA b）． 设 D＝｛D1D2…Dn｝是 Ω的一个划分则 满足 ∑ n i＝1 v （PDib）＝1． P（ Xb）＝｛（ Pxbv （ Pxb））｜x ∈ X｝ b∈ Y 称为关系命题集合．集合中的所有命题有相 同的谓词和确定客体不同的非确定客体．如例1 中的关系命题集合 P（ Xb）＝｛张三明年12月21 日中午将在 x｜x∈X｝．根据概率论理论同一关系 命题集合中的命题属于非独立关系不属于同一关 系命题集合中的命题是独立关系． 2∙2∙1 原子命题之间的关系 下面分别讨论命题之间的非独立关系（相交、包 含、相等等）和独立关系． 定义2 （同一关系命题集合内命题关系）设 P（ Xb）＝｛（Pxb）｜x ∈ X｝b∈ Y 为一关系命 题集合任意的命题 P（ Ab）P（Bb）∈P（ Xb） P（ Ab）与 P（ Bb）之间是非独立的具体关系定 义如下： P（ Ab）⊆ P（ Bb）被定义为 A ⊆ B（包含关 系）； P（ Ab）与 P（Bb）不相交被定义为 A ∩ B＝ ／○（不相交关系）； P（ Ab）＝P（Bb）充分必要条件是 A ＝B（相 等关系）． 命题相等与真值相等是两个不同的概念命题 的真值是命题的一个属性． 例2 已知命题 P（ Ab）表示：b 明年12月21 日中午将在 A．其中 Ω＝｛中国所有的城市｝非确 定个体域 X ＝2 ΩA ∈ X确定客体域 Y ＝｛人｝ b∈ Y ． 则命题 P（石家庄张三）、P（河北张三）和 P （沿海城市张三）之间的关系如下． 相交而不包含：P（河北张三）与 P（沿海城市 张三）． 不相交：P（石家庄张三）与 P（沿海城市张 三）． 包含：P（河北张三）包含 P（石家庄张三）． 属于同一个关系命题集合的各命题之间真值 的取值通常是有相互影响的．上例中当命题 P（石 家庄张三）为真时很明显命题 P（河北张三）为 真反过来不一定成立．但大多数情况下任两命题 的真值的取值是无关的．如命题 P（石家庄张三）、 P（石家庄李四）与“张三2008年奥运会将拿金 第9期 刘宏岚等： 概率逻辑中的命题相关性与逻辑运算 ·1081·
,1082 北京科技大学学报 第30卷 牌”相互之间真值取值无影响 (1)P(A,b)与P(B,b)不相交时 定义3（独立命题）设P、Q是两个命题，如果 P(A,6)A P(B,6)=P(AB,6)=P(D, 具有等式v(PAQ)=v(P)Xv(Q),则称命题P、 b),u(P,0,b)=0: Q相互独立. P(A,6)V P(B,6)=P(AUB,6),(P,AU 容易证明： B,6)=v(P,A,b)+v(P,B,6). ①不属于同一关系命题集合的命题相互独立； 如例2中，v(P(石家庄，张三)八P(北京，张 ②若命题P与Q相互独立，则P与门Q、一P 三)=0，与事实相符，张三不能同时出现在两地、 与Q、一P与Q也相互独立， (2)P(A,b)与P(B,b)包含（即P(A,b)三 2.2.2联结词（逻辑运算） P(B,b)或P(B,b)三P(A,b)时. 在二值逻辑中，命题逻辑运算结果的真值只与 P(A,6)AP(B,6)=P(AB,6),v(P, 参与运算的命题的真值有关，而与命题的关系、命题 AnB,b)=min(v(P,A,6),v(P,B,6)); 的结构或内容无关，在概率逻辑中，命题之间的逻 P(A,b)V P(B,6)=P(AUB,b),v(P, 辑运算结果是由命题及命题的关系决定的，依据以 AUB,b)=max(v(P,A,6),v(P,B,b)). 上对关系的讨论，重新分析命题的逻辑运算 这正是上ukasiew icz系统和Zadeh系统给出的 定义4（联结词）设P、Q为任意命题，联结词 相应A、V联结词的定义 的定义如下，] (3)对于联结词“→”. u(冖P)=1-u(P),从语义上一个命题有且仅 当P(A,b)三P(B,b)时，P(A,b)→P(B,b)= 有一个反命题： P(AUB,b)=P(Q,b),v(P,Q,6)=1.A= (P一Q)=v(P)一(PAQ)=v(Q)- 石家庄，B=河北，也就是例2中讨论的石家庄三 (PAQ); 河北省城市的情况，当P(石家庄，张三)为真时， (PVQ)=v(P)+v(Q)-v(PAQ); P(河北，张三)为真，与事实相符. u(P→Q)=v(PVQ) 当A=D时，P(A,b)→P(B,b)=P(7AU 根据是否属于同一个关系命题集合（即是否独 B,b)=P(2,b),v(P,2,b)=1.即二值逻辑中 立)，对原子命题之间的逻辑运算分别进行详细的讨 “善意的假设”，当前件为假时，后件的真值无论是多 论 少，v(P(B,b)→P(A,b))=1,与经典二值逻辑相 定义5（非独立命题的逻辑运算）关系命题集 容 合P(X,b)=i(P,x,b,u(P,x,b)lx∈X},b∈ 定义6（独立命题的逻辑运算）不属于同一关 Y中，任意的命题P(A,b)与P(B,b)之间的逻辑 系命题集合的独立命题P(A,b)与Q(B,)之间 运算如下 的逻辑运算定义如下， 合取运算：P(A,b)AP(B,b)=P(A∩B,b); 合取运算：u(P(A,b)AQ(B,d))=v(P,A, 析取运算：P(A,b)VP(B,b)=P(AUB,b): b)Xv(Q,B,d); 取反运算：P(A,b)=P(A,b),v(P,A, 析取运算：v(P(A,b)VQ(B,d)=v(P,A, b)十v(P,A,b)=1,一个命题有且仅有一个反 b)+v(Q,B,d)-v(P,A,6)Xv(Q,B,d); 命题； 取反运算：(P,A,b,(P,A,b))=(P,A, 蕴涵运算：P(A,b)→P(B,b)=一P(A,b)V b,v(P,A,b)),v(P,A,b)+v(P,A,b)=1, P(B,b)=P(口AUB,b) 一个命题有且仅有一个反命题，且互为否定的两个 任取P(x1,b),P(x2,b),…,P(xm,b)∈ 命题属于同一个关系命题集合； P(X,b),f(P(x1,b),P(x2b)…,P(xn,b)是 蕴涵运算：v(P(A,b)→Q(B,d))=v(P 由V、A和一等构成的逻辑复合运算，∫是相应的经 (A,6)V(Q,B,d))=1-v(P,A,6)+v(P,A, 典集合运算、∩和一，则有： b)Xv(Q,B,d). f(P(x1,b),P(x2,b),…,P(xm,b)= 2.2.3逻辑运算的性质 P(f(x1,x2,…,xm),b) 原子命题之间的逻辑运算满足所有的等价定 即通过非确定客体的集合运算，实现非独立命题的 律：对合律、幂等律、结合律、交换律、分配律、吸收 逻辑运算， 律、德·摩根律、矛盾律、排中律、同一律、零律、联词 讨论一些特殊情况的运算公式， 转换律等
牌”相互之间真值取值无影响． 定义3 （独立命题）设 P、Q 是两个命题如果 具有等式 v （P∧ Q）＝v （ P）×v （ Q）则称命题 P、 Q 相互独立． 容易证明： ① 不属于同一关系命题集合的命题相互独立； ② 若命题 P 与 Q 相互独立则 P 与 Q、 P 与 Q、 P 与 Q 也相互独立． 2∙2∙2 联结词（逻辑运算） 在二值逻辑中命题逻辑运算结果的真值只与 参与运算的命题的真值有关而与命题的关系、命题 的结构或内容无关．在概率逻辑中命题之间的逻 辑运算结果是由命题及命题的关系决定的依据以 上对关系的讨论重新分析命题的逻辑运算． 定义4（联结词） 设 P、Q 为任意命题联结词 的定义如下［13］： v （ P）＝1－v （P）从语义上一个命题有且仅 有一个反命题； v （P Q）＝ v （ P）－ v （P∧ Q）＝ v （ Q）－ v （ P∧ Q）； v （P∨ Q）＝v （P）＋v （ Q）－v （P∧ Q）； v （P→ Q）＝v （ P∨ Q）． 根据是否属于同一个关系命题集合（即是否独 立）对原子命题之间的逻辑运算分别进行详细的讨 论． 定义5 （非独立命题的逻辑运算）关系命题集 合 P（ Xb）＝｛（Pxbv （ Pxb））｜x∈ X｝b∈ Y 中任意的命题 P（ Ab）与 P（ Bb）之间的逻辑 运算如下． 合取运算：P（ Ab）∧P（Bb）＝P（ A∩Bb）； 析取运算：P（ Ab）∨P（Bb）＝P（ A∪Bb）； 取反运算： P（ Ab）＝ P（ Ab）v （ PA b）＋v （P Ab）＝1一个命题有且仅有一个反 命题； 蕴涵运算：P（ Ab）→P（ Bb）＝ P（ Ab）∨ P（Bb）＝P（ A∪Bb）． 任取 P （ x1b）P （ x2b）…P （ x nb） ∈ P（ Xb）f （P（ x1b）P（ x2b）…P（ x nb））是 由∨、∧和 等构成的逻辑复合运算f 是相应的经 典集合运算∪、∩和 则有： f （P（ x1b）P（ x2b）…P（ x nb））＝ P（ f （ x1x2…x n）b）． 即通过非确定客体的集合运算实现非独立命题的 逻辑运算． 讨论一些特殊情况的运算公式． （1） P（ Ab）与 P（Bb）不相交时． P（ Ab）∧ P（ Bb）＝ P（ A ∩ Bb）＝ P（／○ b）v （P／○b）＝0； P（ Ab）∨P（Bb）＝P（ A∪Bb）v （ PA ∪ Bb）＝v （PAb）＋v （PBb）． 如例2中v （ P（石家庄张三）∧ P（北京张 三））＝0与事实相符张三不能同时出现在两地． （2） P（ Ab）与 P（ Bb）包含（即 P（ Ab）⊆ P（Bb）或 P（Bb）⊆P（ Ab））时． P（ Ab）∧ P（ Bb）＝ P（ A ∩ Bb）v （ P A∩Bb）＝min（ v （PAb）v （PBb））； P（ Ab）∨ P（ Bb）＝ P（ A ∪ Bb）v （ P A∪Bb）＝max（ v （PAb）v （PBb））． 这正是 ●ukasiewicz 系统和 Zadeh 系统给出的 相应∧、∨联结词的定义． （3） 对于联结词“→”． 当 P（ Ab）⊆P（Bb）时P（ Ab）→P（Bb）＝ P（ A∪Bb）＝P（Ωb）v （PΩb）＝1．令 A＝ 石家庄B＝河北也就是例2中讨论的｛石家庄｝⊆ ｛河北省城市｝的情况当 P（石家庄张三）为真时 P（河北张三）为真与事实相符． 当 A ＝／○时P（ Ab）→ P（ Bb）＝ P（ A ∪ Bb）＝ P（Ωb）v （ PΩb）＝1．即二值逻辑中 “善意的假设”当前件为假时后件的真值无论是多 少v （P（Bb）→P（ Ab））＝1与经典二值逻辑相 容． 定义6（独立命题的逻辑运算） 不属于同一关 系命题集合的独立命题 P（ Ab）与 Q（ Bd）之间 的逻辑运算定义如下． 合取运算：v （P（ Ab）∧ Q（ Bd））＝ v （ PA b）×v （ QBd）； 析取运算：v （P（ Ab）∨ Q（ Bd））＝ v （ PA b）＋v （ QBd）－v （PAb）×v （ QBd）； 取反运算：（PAbv （PAb））＝（ P A bv （P Ab））v （PAb）＋v （P Ab）＝1 一个命题有且仅有一个反命题且互为否定的两个 命题属于同一个关系命题集合； 蕴涵运算：v （ P（ Ab）→ Q（ Bd））＝ v （ P （ Ab）∨（ QBd））＝1－ v （ PAb）＋ v （ PA b）×v （ QBd）． 2∙2∙3 逻辑运算的性质 原子命题之间的逻辑运算满足所有的等价定 律：对合律、幂等律、结合律、交换律、分配律、吸收 律、德·摩根律、矛盾律、排中律、同一律、零律、联词 转换律等． ·1082· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第9期 刘宏岚等：概率逻辑中的命题相关性与逻辑运算 ,1083 证明：根据定义4~6，非独立命题，由于将命题 辑运算结果是由命题及命题的关系决定的 的逻辑运算转换为集合运算，集合运算满足所有的 例3真值相同的不同命题，逻辑运算结果的 等价定律 真值不一定相同 对于独立命题，任意的独立命题P(A,b)∈ 任两命题P(A)和Q(B),设u(P(A))=0.3, {P(x,b)lx∈X,b∈Y,Q(B,d)∈iQ(u,d)l u(Q(B)=0.5,令p=P(A),g=Q(B),有： u∈Ul,d∈V和R(C,e)∈iR(z,e))lz∈Z, 当二者属于同一关系命题集合且不相交时 e∈W,有： (P=Q,A∩B=①)，v(pAq)=v(P(A∩B)= 矛盾律：P(A,b)A一P(A,b)=P(A,b)A 0： P(A,b)=P(④，b),u(P(A,b)A一P(A,b)= 当二者属于同一关系命题集合且包含时(P= v(P,Φ，b)=0 Q,ACB),v(pAq)=v(P(AB))=0.3; 排中律：P(A,b)V一P(A,b)=P(A,b)V 当二者不属于同一关系命题集合（独立，P≠ P(A,6)=P(Q,6),v(P(A,6)VP(A,6))= Q)时，(pAq)=v(P(A)ΛQ(B)=0.5X0.3= v(P,n,b)=1; 0.15. 联词转换律：v(P(A,b)→Q(B,d)= 3.2概率逻辑与经典二值逻辑相容 v(P(A,b)VQ(B,d)); 概率逻辑与二值逻辑的明显不同在于，命题真 分配律：当P(A,b),Q(B,d),R(C,e)相互 值的取值范围即真值集己由0,1{扩大为[0,1].除 独立时，有 此之外概率逻辑仍然是用抽象的字母或这些字母通 v(P(A,6)V(Q(B,d)AR(C,e))= 过一些必要的联结词如冖、V和→等连接而成的式 v((P(A,6)V Q(B,d))A(P(A,b)V R(C,e)))= 子来表示命题及命题公式， v(P,A,b)+v(Q,B,d)Xv(R,C,e) 概率逻辑系统和经典二值逻辑在以下几个方面 v(P,A,6)Xv(Q,B,d)Xv(R,C,e), 是相容的 v(P(A,b)A(Q(B,d)VR(C,e)))= (1)联结词定义相容.在概率逻辑系统中，对 v((P(A,b)AQ(B,d))V(P(A,B)AR(C,e)))= 于所有的真值为0或1的命题，关系无论独立与否， v(P,A,b)Xv(Q,B.d)+v(P.A,6)Xv(R,C,e)- 带入定义5和定义6给出的公式，各种逻辑运算得 v(P,A,6)Xv(Q,B,d)Xv(R,C,e). 出的结果都与经典二值逻辑真值表给出的联结词定 其他情况证明略。 义相同，即对概率系统中的任意命题p、q,若v(p), 德·摩根律：当P(A,b)与Q(B,d)独立时， v(g)∈0,1l,则有： 一P(A,b)与Q(B,d)也独立，有 (p)=1-v(p); (P(A,6)V Q(B.d)))= v(pVq)=max(v(p),v(q)); P(A,6)A-Q(B,d))= v(pAq)=min(v(p),v(q)); 1-u(P,A,b)-v(Q,B,d)+ v(p-q)=max(1-v(p),v(q)) o(P,A,b)×u(Q,B,d), (2)蕴涵联结词“→”也与二值逻辑相一致，即 ((P(A,b)AQ(B.d)))= v(p→q)=u(一pVq),并且蕴涵运算也与事实相 P(A,6)V-Q(B,d))= 符.通过例2中的实例加以验证， 1-u(P,A,b)×v(Q,B,d) 事实1若命题P(石家庄，张三)：“张三明年 双重否定律、幂等律、交换律、结合律、吸收律、 12月21日中午将在石家庄”成立，则P(河北，张 同一律、零律等证明略 三)：“张三明年12月21日中午将在河北”成立，即 3概率逻辑 v(P(石家庄，张三)→P(河北，张三)=1. 令A=石家庄}，B=河北省城市}，b=张三， 概率逻辑是在经典二值逻辑和概率论的基础 A三B,由定义5有，P(A,b)→P(B,b)=P(A 上，研究如何用逻辑的语言来进行概率命题演算、 UB,b)=P(2,b),u(P,2,b)=1.与事实相符. 3.1概率逻辑与经典二值逻辑的区别 事实2二值逻辑中的蕴涵联结词为“善意的 在二值逻辑中，命题逻辑运算结果的真值只与 假设”，即当前件p为假时，后件q的真值无论是多 参与运算的命题的真值有关，而与命题的关系、命题 少，(p→q)=1. 的结构或内容无关.在概率逻辑中，命题之间的逻 根据定义1，当A=①时，u(P,A,b)=0
证明：根据定义4～6非独立命题由于将命题 的逻辑运算转换为集合运算集合运算满足所有的 等价定律． 对于独立命题任意的独立命题 P（ Ab）∈ ｛P（ xb）｜x∈X｝b∈ Y Q（Bd）∈｛Q（ ud））｜ u∈ U｝d∈ V 和 R（ Ce）∈｛R（ z e））｜z ∈ Z｝ e∈ W有： 矛盾律：P（ Ab）∧ P（ Ab）＝ P（ Ab）∧ P（ Ab）＝P（Φb）v （P（ Ab）∧ P（ Ab））＝ v （PΦb）＝0； 排中律：P（ Ab）∨ P（ Ab）＝ P（ Ab）∨ P（ Ab）＝P（Ωb）v （P（ Ab）∨ P（ Ab））＝ v （PΩb）＝1； 联词 转 换 律：v （ P （ Ab ） → Q （ Bd ）） ＝ v （ P（ Ab）∨ Q（Bd））； 分配律：当 P（ Ab）Q（ Bd）R（ Ce）相互 独立时有 v （P（ Ab）∨（ Q（Bd）∧ R（Ce））＝ v（（P（ Ab）∨ Q（Bd））∧（P（ Ab）∨R（Ce）））＝ v （PAb）＋v （ QBd）×v （ RCe）－ v （PAb）×v （ QBd）×v （ RCe） v （P（ Ab）∧（ Q（Bd）∨ R（Ce）））＝ v（（P（ Ab）∧ Q（Bd））∨（P（ Ab）∧R（Ce）））＝ v（PAb）×v（QBd）＋v（PAb）×v（RCe）－ v （PAb）×v （ QBd）×v （ RCe）． 其他情况证明略． 德·摩根律：当 P（ Ab）与 Q（ Bd）独立时 P（ Ab）与 Q（Bd）也独立有 v （ （P（ Ab）∨ Q（Bd）））＝ v （ P（ Ab）∧ Q（Bd））＝ 1－v （PAb）－v （ QBd）＋ v （PAb）×v （ QBd） v （ （P（ Ab）∧ Q（Bd）））＝ v （ P（ Ab）∨ Q（Bd））＝ 1－v （PAb）×v （ QBd）． 双重否定律、幂等律、交换律、结合律、吸收律、 同一律、零律等证明略． 3 概率逻辑 概率逻辑是在经典二值逻辑和概率论的基础 上研究如何用逻辑的语言来进行概率命题演算． 3∙1 概率逻辑与经典二值逻辑的区别 在二值逻辑中命题逻辑运算结果的真值只与 参与运算的命题的真值有关而与命题的关系、命题 的结构或内容无关．在概率逻辑中命题之间的逻 辑运算结果是由命题及命题的关系决定的． 例3 真值相同的不同命题逻辑运算结果的 真值不一定相同． 任两命题 P（ A）和 Q（B）设 v （P（ A ））＝0∙3 v （ Q（B））＝0∙5令 p＝P（ A）q＝ Q（B）有： 当二者属于同一关系命题集合且不相交时 （P＝ QA∩B＝／○）v （ p∧ q）＝ v （ P（ A ∩ B））＝ 0； 当二者属于同一关系命题集合且包含时（ P＝ QA⊆B）v （ p∧q）＝v （P（ A∩B））＝0∙3； 当二者不属于同一关系命题集合（独立P≠ Q）时v （ p∧q）＝v （P（ A）∧ Q（B））＝0∙5×0∙3＝ 0∙15． 3∙2 概率逻辑与经典二值逻辑相容 概率逻辑与二值逻辑的明显不同在于命题真 值的取值范围即真值集已由｛01｝扩大为［01］．除 此之外概率逻辑仍然是用抽象的字母或这些字母通 过一些必要的联结词如 、∨和→等连接而成的式 子来表示命题及命题公式． 概率逻辑系统和经典二值逻辑在以下几个方面 是相容的． （1） 联结词定义相容．在概率逻辑系统中对 于所有的真值为0或1的命题关系无论独立与否 带入定义5和定义6给出的公式各种逻辑运算得 出的结果都与经典二值逻辑真值表给出的联结词定 义相同即对概率系统中的任意命题 p、q若v （ p） v （ q）∈｛01｝则有： v （ p）＝1－v （ p）； v （ p∨q）＝max（ v （ p）v （ q））； v （ p∧q）＝min（ v （ p）v （ q））； v （ p→q）＝max（1－v （ p）v （ q））． （2） 蕴涵联结词“→”也与二值逻辑相一致即 v （ p→q）＝v （ p∨q）并且蕴涵运算也与事实相 符．通过例2中的实例加以验证． 事实1 若命题 P（石家庄张三）：“张三明年 12月21日中午将在石家庄” 成立则 P（河北张 三）：“张三明年12月21日中午将在河北”成立即 v （P（石家庄张三）→P（河北张三））＝1． 令 A＝｛石家庄｝B＝｛河北省城市｝b＝张三 A⊆B由定义5有P（ Ab）→ P（ Bb）＝ P（ A ∪Bb）＝P（Ωb）v （PΩb）＝1．与事实相符． 事实2 二值逻辑中的蕴涵联结词为“善意的 假设”即当前件 p 为假时后件 q 的真值无论是多 少v （ p→q）＝1． 根据定义 1当 A ＝／○时v （ PAb ） ＝0 第9期 刘宏岚等： 概率逻辑中的命题相关性与逻辑运算 ·1083·