第14卷第1期 智能系统学报 Vol.14 No.I 2019年1月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Jan.2019 D0:10.11992/tis.201804045 网络出版地址：http:/kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20180619.1422.004html 三支决策的时空性 刘盾'，李天瑞2，梁德翠3，杨新 (1.西南交通大学经济管理学院，四川成都610031；2.西南交通大学信息科学与技术学院，四川成都610031， 3.电子科技大学经济与管理学院，四川成都610054) 摘要：从三支决策发展历史和已有研究出发，在总结和分析三支决策近年来理论、方法、算法及应用的基础 上，基于时间和空间两个维度，分别提出了时间三支决策模型和空间三支决策模型。时间三支决策注重在动态 决策环境下对序贯决策进行诠释；空间三支决策主要基于“多层次”和“多视角”的粒计算思想对最优粒层和粒 度进行选择。此外，对三支决策的时空性作了深入探讨和分析，厘清了三支决策发展过程和研究脉络。最后， 对三支决策的研究现状进行总结，并给出未来发展方向。 关键词：三支决策：粒计算；时间三支决策：空间三支决策；粗糙集理论；粒度分析；多层次：多视角 中图分类号：TP18 文献标志码：A文章编号：1673-4785(2019)01-0141-09 中文引用格式：刘盾，李天瑞，梁德翠，等.三支决策的时空性智能系统学报，2019,14(1)：141-149. 英文引用格式：LIU Dun,.LI Tianrui,LIANG Decui,,etal.Temporality and spatiality of three-way decisions[Jl..CAAI transactions on intelligent systems,2019,14(1):141-149. Temporality and spatiality of three-way decisions LIU Dun',LI Tianrui2,LIANG Decui,YANG Xin2 (1.School of Economics and Management,Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031,China:2.School of Information Sci- ence and Technology,Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031,China:3.School of Management and Economics,University of Electronic Science and Technology of China,Chengdu 610054,China) Abstract:In this paper,the development history and recent researches of three-way decisions(3WDs)are discussed, and two models,each of temporal 3WDs and spatial 3WDs,are proposed based on the summary and analysis of theor- ies,methods,algorithms,and applications of 3WD.The temporal 3WDs focus on the sequential decisions under dynam- ic decision environment,and the spatial 3WDs emphasize the optimal granular selection with"multi-level"and"multi- view"strategies.In addition,the temporality and spatiality of 3WDs are investigated and analyzed in depth,clarifying the development process and research context of 3WDs.Finally,this paper presents the research status and future re- search directions of 3WD. Keywords:three-way decisions;granular computing;temporal three-way decisions;spatial three-way decisions;rough set theory;granular analysis;multi-level;multi-view 作为粒计算理论处理不确定问题的重要方法 模型。三支决策的主要思想是：在决策过程中将 之一，三支决策是加拿大学者Yao山在近十年来 整体分为3个部分或3个粒，对于不同的部分或 提出并发展起来的一种处理不确定性决策的粒计 者粒度采取不同的决策行为或处理策略。粗糙集 算方法，是一种符合人类认知过程的“三分而治” 理论是三支决策的一种典型代表，它利用上下近 似集将论域分为3个互不相交的区域。下近似集 收稿日期：2018-04-24.网络出版日期：2018-06-20. 基金项目：国家自然科学基金项目(61876157,71571148 生成正域，上近似集的补集生成负域，正域和负 71401026,71201133):四川省科技厅应用基础面上项 目(2017JY0221). 域诱导确定性规则；上下近似集的差集形成边界 通信作者：刘盾.E-mail:newton83@163.com. 域，边界域诱导可能性规则。进一步地，将三支
DOI: 10.11992/tis.201804045 网络出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20180619.1422.004.html 三支决策的时空性 刘盾1 ，李天瑞2 ，梁德翠3 ，杨新2 （1. 西南交通大学 经济管理学院，四川 成都 610031; 2. 西南交通大学 信息科学与技术学院，四川 成都 610031; 3. 电子科技大学 经济与管理学院，四川 成都 610054） 摘 要：从三支决策发展历史和已有研究出发，在总结和分析三支决策近年来理论、方法、算法及应用的基础 上，基于时间和空间两个维度，分别提出了时间三支决策模型和空间三支决策模型。时间三支决策注重在动态 决策环境下对序贯决策进行诠释；空间三支决策主要基于“多层次”和“多视角”的粒计算思想对最优粒层和粒 度进行选择。此外，对三支决策的时空性作了深入探讨和分析，厘清了三支决策发展过程和研究脉络。最后， 对三支决策的研究现状进行总结，并给出未来发展方向。 关键词：三支决策；粒计算；时间三支决策；空间三支决策；粗糙集理论；粒度分析；多层次；多视角 中图分类号：TP18 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2019)01−0141−09 中文引用格式：刘盾, 李天瑞, 梁德翠, 等. 三支决策的时空性[J]. 智能系统学报, 2019, 14(1): 141–149. 英文引用格式：LIU Dun, LI Tianrui, LIANG Decui, et al. Temporality and spatiality of three-way decisions[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2019, 14(1): 141–149. Temporality and spatiality of three-way decisions LIU Dun1 ，LI Tianrui2 ，LIANG Decui3 ，YANG Xin2 (1. School of Economics and Management, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China; 2. School of Information Science and Technology, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China; 3. School of Management and Economics, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 610054, China) Abstract: In this paper, the development history and recent researches of three-way decisions (3WDs) are discussed, and two models, each of temporal 3WDs and spatial 3WDs, are proposed based on the summary and analysis of theories, methods, algorithms, and applications of 3WD. The temporal 3WDs focus on the sequential decisions under dynamic decision environment, and the spatial 3WDs emphasize the optimal granular selection with “multi-level” and “multiview” strategies. In addition, the temporality and spatiality of 3WDs are investigated and analyzed in depth, clarifying the development process and research context of 3WDs. Finally, this paper presents the research status and future research directions of 3WD. Keywords: three-way decisions; granular computing; temporal three-way decisions; spatial three-way decisions; rough set theory; granular analysis; multi-level; multi-view 作为粒计算理论处理不确定问题的重要方法 之一，三支决策是加拿大学者 Yao[1] 在近十年来 提出并发展起来的一种处理不确定性决策的粒计 算方法，是一种符合人类认知过程的“三分而治” 模型。三支决策的主要思想是：在决策过程中将 整体分为 3 个部分或 3 个粒，对于不同的部分或 者粒度采取不同的决策行为或处理策略。粗糙集 理论是三支决策的一种典型代表，它利用上下近 似集将论域分为 3 个互不相交的区域。下近似集 生成正域，上近似集的补集生成负域，正域和负 域诱导确定性规则；上下近似集的差集形成边界 域，边界域诱导可能性规则。进一步地，将三支 收稿日期：2018−04−24. 网络出版日期：2018−06−20. 基金项目：国家自然科学基金项 目 (61876157， 71571148， 71401026，71201133)；四川省科技厅应用基础面上项 目 (2017JY0221). 通信作者：刘盾. E-mail：newton83@163.com. 第 14 卷第 1 期 智 能 系 统 学 报 Vol.14 No.1 2019 年 1 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Jan. 2019
·142· 智能系统学报 第14卷 决策思想应用到粗糙集理论中，可赋予粗糙集新 糙集模型。Zhou2讨论了一种多分类决策粗糙集 的语义解释：从正域里得到的正规则可以表示接 模型。Zhang等2提出了基于Gini系数的三支决 受或赞成某事物：从负域里获取的负规则可以表 策模型。梁德翠等2考虑了在多人决策环境下， 示拒绝或反对某事物；落在边界域上的规则具有 基于群决策的三支决策问题。张楠等从决策理 不确定性，需要进一步观察或思考，此时需要作 论中的效用函数出发，讨论了基于效用函数的三 出“延迟决策”的判断。可以看到，粗糙集理论中 支决策模型。Liu等2将前景理论引入到三支决 的3个论域对应了决策分析中的3种决策结果 策过程中，研究了行为视角下的群决策三支决策 (即三支决策)，这与人类在处理实际决策问题的 模型。郎广名等2可分析了决策粗糙集相应决策规 方法是一致的。三支决策通过“分而治之”和自下 则的冲突问题。 而上“化繁为简”的思想，按照分治法将复杂问题 在算法研究上，现有研究主要集中在属性约 转化为3个规模较小的问题，从而提高决策效 简和规则获取两个方面。在属性约简方面， 率、减少决策成本、降低决策时间。通过对现有 Yao等2割最早研究了决策粗糙集的属性约简理 文献的整理和分析，三支决策的研究主要集中在 论。他们发现经典代数粗糙集约简理论已不再适 理论、方法、算法和应用4个层面上。 用于决策粗糙集模型，并从性质保留性和属性独 在理论研究上，胡宝清将几类有代表性的 立性2个方面人手，给出了一种广义的概率粗糙 三支决策模型统一到一个数学理论框架中，研究 集约简定义。在此基础上，Zhao等2利用信息表 了三支决策空间问题。李小南等提出了一种基 中的区分矩阵，借鉴保持决策属性不变和决策区 于子集评估的一般性三支决策模型。Yao给出 域不变思想，给出了基于决策粗糙集的2种属性 了一种三支决策与认知计算的研究框架。Ciucci 约简方法。李华雄等0提出决策粗糙集正域约简 等利用一个图形来探讨三支决策下的三值逻辑 定义和算法，并指出：不同于Pawlak粗糙集模型， 问题。Abd El-monsef等将决策粗糙集模型中的 决策粗糙集模型中的正域变化具有非单调性，其 等价关系扩展到广义二元关系，提出了一种具有 大小随着属性集的减少可能会增大。基于这种思 5个决策划分区域的扩展决策粗糙集模型。马卫 想，他们提出一种保持正域最大的启发式约简算 民等和钱宇华等分别讨论了多论域和多粒度 法。贾修一等考虑了由代价损失函数引起的决 情形下的三支决策理论模型。Deng等研究了模 策风险问题。他认为最优约简应满足总体决策风 糊集的决策三支近似，并进一步考虑了基于阴影 险最小原则，并提出了一种基于决策风险最小的 集的三支决策模型。祁建军等讨论了三支决策 属性约简方法。闵帆等提出了基于代价敏感最 与概念格的理论模型。张清华等探讨了三支决 小化的属性约简方法。鞠恒荣等B将决策风险最 策过程中，两类分类错误相关问题。刘盾等2提 小化的思想引入到不完备信息系统中，提出了6 出了一种4层次决策粗糙集模型。 截集的属性约简方法。马希骜等探讨了在保持 在方法研究上，李华雄等根据不同决策者 决策区域不变情形下，不同种类的属性约简方 的不同风险偏好，提出一种多视角三支决策模 法。任睿思等考虑了三支概念格的约简理论与 型，并分析了乐观、中性和悲观风险偏好下的决 方法。张贤勇等从数据分析视角对三层和三支 策规则。Herbert等提出了博弈三支决策模型， 决策约简作了系统研究。在规则获取方面，闵帆 其主要思想是：把代价损失函数作为博弈矩阵的 等研究了代价敏感三支决策与三支推荐问题。 收益函数，并利用Nash均衡思想来求解三支决策 黄佳进等进一步考虑了偏序关系的代价敏感 阈值问题。杨晓平等考虑了多个代理人情形下 支推荐方法。张恒汝等提出了一种基于回归分 的决策粗糙集模型，进而提出一种多代理三支决 析的三支推荐模型。汪敏等将主动学习理论引 策方法。刘盾等6考虑了当损失函数为几类典 入到三支决策中，提出了基于主动学习的三支决 型的不确定性测度时，相应不确定性三支决策阈 策模型。于洪等探讨了三支决策的聚类分析模 值的获取方法；进而将区间性、随机性和模糊性 型和聚类数的自动学习算法。刘盾等将Logistic 3种不确定测度引入到决策粗糙集中，提出了一 模型引入到决策粗糙集中，讨论了基于Logistic 系列不确定性三支决策模型。Yao等建立了基 回归的多分类三支决策模型。 于阴影集的不确定性三支决策模型。Li等2讨论 在实际应用上，三支决策已经在医疗诊断、 了三支决策中边界域的不确定性建模问题。Zhao 石油开采、论文审稿、政策制定、环境管理、文本 等考虑了基于模糊概率测度的区间模糊决策粗 分类、垃圾邮件过滤、产品检验、矿床选择等领域
决策思想应用到粗糙集理论中，可赋予粗糙集新 的语义解释：从正域里得到的正规则可以表示接 受或赞成某事物；从负域里获取的负规则可以表 示拒绝或反对某事物；落在边界域上的规则具有 不确定性，需要进一步观察或思考，此时需要作 出“延迟决策”的判断。可以看到，粗糙集理论中 的 3 个论域对应了决策分析中的 3 种决策结果 (即三支决策)，这与人类在处理实际决策问题的 方法是一致的。三支决策通过“分而治之”和自下 而上“化繁为简”的思想，按照分治法将复杂问题 转化为 3 个规模较小的问题，从而提高决策效 率、减少决策成本、降低决策时间。通过对现有 文献的整理和分析，三支决策的研究主要集中在 理论、方法、算法和应用 4 个层面上。 在理论研究上，胡宝清[2]将几类有代表性的 三支决策模型统一到一个数学理论框架中，研究 了三支决策空间问题。李小南等[3]提出了一种基 于子集评估的一般性三支决策模型。Yao [4]给出 了一种三支决策与认知计算的研究框架。Ciucci 等 [5]利用一个图形来探讨三支决策下的三值逻辑 问题。Abd El-monsef 等 [6]将决策粗糙集模型中的 等价关系扩展到广义二元关系，提出了一种具有 5 个决策划分区域的扩展决策粗糙集模型。马卫 民等[7]和钱宇华等[8]分别讨论了多论域和多粒度 情形下的三支决策理论模型。Deng 等 [9]研究了模 糊集的决策三支近似，并进一步考虑了基于阴影 集的三支决策模型。祁建军等[10]讨论了三支决策 与概念格的理论模型。张清华等[11]探讨了三支决 策过程中，两类分类错误相关问题。刘盾等[12]提 出了一种 4 层次决策粗糙集模型。 在方法研究上，李华雄等[13]根据不同决策者 的不同风险偏好，提出一种多视角三支决策模 型，并分析了乐观、中性和悲观风险偏好下的决 策规则。Herbert 等 [14] 提出了博弈三支决策模型， 其主要思想是：把代价损失函数作为博弈矩阵的 收益函数，并利用 Nash 均衡思想来求解三支决策 阈值问题。杨晓平等[15]考虑了多个代理人情形下 的决策粗糙集模型，进而提出一种多代理三支决 策方法。刘盾等[16-18]考虑了当损失函数为几类典 型的不确定性测度时，相应不确定性三支决策阈 值的获取方法；进而将区间性、随机性和模糊性 3 种不确定测度引入到决策粗糙集中，提出了一 系列不确定性三支决策模型。Yao 等 [19]建立了基 于阴影集的不确定性三支决策模型。Li 等 [20]讨论 了三支决策中边界域的不确定性建模问题。Zhao 等 [21]考虑了基于模糊概率测度的区间模糊决策粗 糙集模型。Zhou[22]讨论了一种多分类决策粗糙集 模型。Zhang 等 [23]提出了基于 Gini 系数的三支决 策模型。梁德翠等[24]考虑了在多人决策环境下， 基于群决策的三支决策问题。张楠等[25]从决策理 论中的效用函数出发，讨论了基于效用函数的三 支决策模型。Liu 等 [26]将前景理论引入到三支决 策过程中，研究了行为视角下的群决策三支决策 模型。郎广名等[27]分析了决策粗糙集相应决策规 则的冲突问题。 δ 在算法研究上，现有研究主要集中在属性约 简和规则获取两个方面。在属性约简方面， Yao 等 [28]最早研究了决策粗糙集的属性约简理 论。他们发现经典代数粗糙集约简理论已不再适 用于决策粗糙集模型，并从性质保留性和属性独 立性 2 个方面入手，给出了一种广义的概率粗糙 集约简定义。在此基础上，Zhao 等 [29]利用信息表 中的区分矩阵，借鉴保持决策属性不变和决策区 域不变思想，给出了基于决策粗糙集的 2 种属性 约简方法。李华雄等[30]提出决策粗糙集正域约简 定义和算法，并指出：不同于 Pawlak 粗糙集模型， 决策粗糙集模型中的正域变化具有非单调性，其 大小随着属性集的减少可能会增大。基于这种思 想，他们提出一种保持正域最大的启发式约简算 法。贾修一等[31]考虑了由代价损失函数引起的决 策风险问题。他认为最优约简应满足总体决策风 险最小原则，并提出了一种基于决策风险最小的 属性约简方法。闵帆等[32]提出了基于代价敏感最 小化的属性约简方法。鞠恒荣等[33]将决策风险最 小化的思想引入到不完备信息系统中，提出了 - 截集的属性约简方法。马希骜等[34]探讨了在保持 决策区域不变情形下，不同种类的属性约简方 法。任睿思等[35]考虑了三支概念格的约简理论与 方法。张贤勇等[36]从数据分析视角对三层和三支 决策约简作了系统研究。在规则获取方面，闵帆 等 [32]研究了代价敏感三支决策与三支推荐问题。 黄佳进等[37]进一步考虑了偏序关系的代价敏感三 支推荐方法。张恒汝等[38]提出了一种基于回归分 析的三支推荐模型。汪敏等[39]将主动学习理论引 入到三支决策中，提出了基于主动学习的三支决 策模型。于洪等[40]探讨了三支决策的聚类分析模 型和聚类数的自动学习算法。刘盾等[41]将 Logistic 模型引入到决策粗糙集中，讨论了基于 Logistic 回归的多分类三支决策模型。 在实际应用上，三支决策已经在医疗诊断、 石油开采、论文审稿、政策制定、环境管理、文本 分类、垃圾邮件过滤、产品检验、矿床选择等领域 ·142· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
第1期 刘盾，等：三支决策的时空性 ·143 得到了较好的应用似。 论域U 通过对已有文献分析发现，国内外学者主要 三分 对三支决策理论模型、数学性质、算法设计、应用 区域R 区域R 区域R, 背景进行研究，对于三支决策系统性整理和总结 策略 t 的论述还较为少见。本文在现有研究的基础上， 策略S, 策略S, 策略S 分别从时间和空间两个维度出发，以时序性和层 次性为研究脉络，提出时间三支决策和空间三支 图1三支决策模型示意图 决策基本模型，并详细讨论不同模型的建模机理 Fig.1 Three-way decision model diagram 和应用前景。最后，进一步对三支决策的时空性 在图1中，二元关系R将论域分为3个区域， 作了深入探讨和分析。 即区域R1、区域R和区域R,每个区域对应一种策 略。对于区域R的事件执行策略S1;对于区域R的 1三支决策模型与基本概念 事件执行策略S2;对于区域R3的事件执行策略 假设S=(U,R为一信息系统，其中：U={x, S3。一般地，在很多实际决策问题中，3种策略具 x2,…,x}是对象的非空有限集合，称为论域；R是 有偏好关系：S1>S2>S。例如：在论文审稿过程 定义在U上的一种二元关系。基于二元关系R,三 中，主编可以根据审稿情况作出接受、修改和拒 支决策通过函数f将对象集U分为3个两两互不 绝3种选择；在医疗诊断过程中，医生可以给出有 病、进一步检查和无病的诊断结论：在石油开采 相交的区域：R1-域、R2-域和R-域，即 f:U→{R1,R2,R3l (1) 过程中，勘探人员可以通过地质、地貌、环境等因 式中：R1、R2、R3SU,U=R1UR2UR;R1nR2=O,R2n 素作出开采、需进一步勘探、不开采3种决策方 R3=O,R1nR=O。其补集的构造如下： 案；在高校学生管理问题中，学生处根据学生成 Ri=R2 UR3 绩作出给奖学金、维持现状和发警告信3种行 R=RUR3 (2) 动；在客户关系管理领域，市场分析人员会从顾 R=RUR2 客以往购买行为中给出用户提升、保留和放弃 对于3个区域R1、R,和R3,分别采取3种不同 3种不同的建议。在具有偏序关系的三支决策问 的策略（行动）：S1、S2、S3。如果仅考虑R、R和 题中，决策者可能会重点关注某一区域（如R区 R是对论域U的一种划分，则上述模型可看作一 域)的决策情形。 个三分类决策问题。特别地，若R1、R2和R这3个 此外，三支决策模型在众多不确定性理论中 区域当且仅当有1个区域为空集时，三支决策转 也有不同的表示方法，文献[43]通过结合区间集、 化为二支决策问题41；若对某区域R,进行进一步 模糊集、粗糙集、阴影集和偏序集5种不确定性 划分，则三支决策将会转化为一个多分类问题。 度量来说明三支决策的构造过程。表1给出了不 图1为三支决策模型的决策示意图。 同情形下的三支决策模型。 表1不同情形下的三支决策模型 Table 1 The three-way decision models under different conditions 集合 核心定义 区域R1 区域R 区域R 下界：I 区间集 R1={x∈Ulyu.a(x)≥T}R2={XEUIF<u(x)<T}R3={xeUM.a(x)≤F} 上界：a 模糊集 隶属度μ() R1={x∈Ulu(x)≥al R2={x∈UB<u(x)<ah R3={x∈U(x)≤B 粗糙集 等价关系[x] R1={x∈U[x]≤X R2={x∈UI[xnX≠O} R3={x∈UI[x]nX=O) 阴影集 隶属度μ(x) R1={x∈Ulu(x)≥1-T}R2={x∈UT<4(x)<1-T R3=4(x)≤T 两个互补相交 偏序集 R={x∈Ufx)∈L}R2={x∈Ufx)EL*Afx)生L}R={x∈Ufx)eL} 子集L+和L
得到了较好的应用[42]。 通过对已有文献分析发现，国内外学者主要 对三支决策理论模型、数学性质、算法设计、应用 背景进行研究，对于三支决策系统性整理和总结 的论述还较为少见。本文在现有研究的基础上， 分别从时间和空间两个维度出发，以时序性和层 次性为研究脉络，提出时间三支决策和空间三支 决策基本模型，并详细讨论不同模型的建模机理 和应用前景。最后，进一步对三支决策的时空性 作了深入探讨和分析。 1 三支决策模型与基本概念 S = (U,R) U = {x1, x2,··· , xn} R U R f U R1 R2 R3 假 设 为一信息系统，其中： 是对象的非空有限集合，称为论域； 是 定义在 上的一种二元关系。基于二元关系 ，三 支决策通过函数 将对象集 分为 3 个两两互不 相交的区域： -域、 -域和 -域，即 f : U → {R1, R2, R3} (1) R1、R2、R3 ⊆ U U=R1 ∪R2 ∪R3 R1 ∩R2=Ø R2∩ R3=Ø R1 ∩R3=Ø 式中： ， ； ， ， 。其补集的构造如下： R c 1 = R2 ∪R3 R c 2 = R1 ∪R3 R c 3 = R1 ∪R2 (2) R1 R2 R3 S 1 S 2 S 3 R1 R2 R3 U R1 R2 R3 Ri 对于 3 个区域 、 和 ，分别采取 3 种不同 的策略 (行动)： 、 、 。如果仅考虑 、 和 是对论域 的一种划分，则上述模型可看作一 个三分类决策问题。特别地，若 、 和 这 3 个 区域当且仅当有 1 个区域为空集时，三支决策转 化为二支决策问题[43] ；若对某区域 进行进一步 划分，则三支决策将会转化为一个多分类问题。 图 1 为三支决策模型的决策示意图。 R R1 R2 R3 R1 S 1 R2 S 2 R3 S 3 S 1 ≻ S 2 ≻ S 3 R1 在图 1 中，二元关系 将论域分为 3 个区域， 即区域 、区域 和区域 ，每个区域对应一种策 略。对于区域 的事件执行策略 ；对于区域 的 事件执行策略 ；对于区域 的事件执行策略 。一般地，在很多实际决策问题中，3 种策略具 有偏好关系： 。例如：在论文审稿过程 中，主编可以根据审稿情况作出接受、修改和拒 绝 3 种选择；在医疗诊断过程中，医生可以给出有 病、进一步检查和无病的诊断结论；在石油开采 过程中，勘探人员可以通过地质、地貌、环境等因 素作出开采、需进一步勘探、不开采 3 种决策方 案；在高校学生管理问题中，学生处根据学生成 绩作出给奖学金、维持现状和发警告信 3 种行 动；在客户关系管理领域，市场分析人员会从顾 客以往购买行为中给出用户提升、保留和放弃 3 种不同的建议。在具有偏序关系的三支决策问 题中，决策者可能会重点关注某一区域 (如 区 域) 的决策情形。 此外，三支决策模型在众多不确定性理论中 也有不同的表示方法，文献[43]通过结合区间集、 模糊集、粗糙集、阴影集和偏序集 5 种不确定性 度量来说明三支决策的构造过程。表 1 给出了不 同情形下的三支决策模型。 表 1 不同情形下的三支决策模型 Table 1 The three-way decision models under different conditions 集合 核心定义 区域 R1 区域 R2 区域 R3 区间集 Il Iu 下界： 上界： R1 = {x ∈ U|v[Il,Iu ](x) ⩾ T} R2 = {x ∈ U|F < v[Il,Iu ](x) < T} R3 = {x ∈ U|v[Il,Iu ](x) ⩽ F} 模糊集 隶属度 µA˜(x) R1 = {x ∈ U|µA˜(x) ⩾ α} R2 = {x ∈ U|β < µA˜(x) < α} R3 = {x ∈ U|µA˜(x) ⩽ β} 粗糙集 等价关系 [x] R1 = {x ∈ U|[x] ⊆ X} R2 = {x ∈ U|[x]∩ X , Ø} R3 = {x ∈ U|[x]∩ X=Ø} 阴影集 隶属度 µA˜(x) R1 = {x ∈ U|µA˜(x) ⩾ 1−τ} R2 = {x ∈ U|τ < µA˜(x) < 1−τ} R3 = µA˜(x) ⩽ τ 偏序集 L + L − 两个互补相交 子集 和 R1 = {x ∈ U| f(x) ∈ L + } R2 = {x ∈ U| f(x) < L + ∧ f(x) < L − } R3 = {x ∈ U| f(x) ∈ L − } 策略 S1 策略 S2 策略 S3 区域 R1 区域 R2 区域 R3 三分 策略 论域 U 图 1 三支决策模型示意图 Fig. 1 Three-way decision model diagram 第 1 期 刘盾，等：三支决策的时空性 ·143·
·144· 智能系统学报 第14卷 以粗糙集为例，对于某个概念XSU,令R1= 2基于时间维度三支决策模型 POS(X)=x∈UIsX;R2=BNDX)={x∈UInX ≠O;R3=NEG(X)={x∈UI]Ox=O1。区域R1、区 在很多决策问题中，其决策过程往往呈现出 域R和区域R分别对应了正域、边界域和负域：相 实时性、多次性、序贯性的特征。决策者需要考 应的，策略S表示接受正规则，策略S2表示延迟决 虑过去(past)、现在(now)和将来(future),或是昨 策，策略S,表示拒绝负规则。图2给出了三支决 天(yesterday)、今天(today)和明天(tomorrow) 策与粗糙集理论的相互转换模型。 这些时间维度对决策结果的影响。本文首先以北 京获得的2008年奥运会举办权时的投票过程作 R 为例子来阐述基于时间维度的三支决策思想。 2001年7月13日，国际奥委会第112次全会 在俄罗斯莫斯科召开，与会全体委员将投票选举 出第29届夏季奥运会的举办城市。有北京、多伦 多、伊斯坦布尔、巴黎和大阪5个候选城市参加 图2三支决策与粗糙集理论的转换模型 选举，一共118名国际奥委会委员进行投票。在 Fig.2 Transformation model between 3WD and rough sets 对于三支决策基本模型，提出了一种广义三 第一轮投票中，有14名申办城市委员和时任主席 萨马兰奇不参加投票，实际有104名委员投票， 支决策和狭义三支决策的模型。广义三支决策 2票弃权，有效票102张。其中，北京获得44票，多 主要从不同的内涵和外延去探讨不同的决策模 伦多获得20票，伊斯坦布尔获得17票，巴黎获得 型，主要包括三支决策空间、三支决策一般模型、 15票，大阪获得6票。第一轮投票结束，北京占 三支决策与认知模型、三支决策与形式概念分 据优势，大阪得票最少被淘汰，其余3个城市作为 析、三支决策逻辑、三支决策与商空间等。狭义 待定城市进入下一轮竞选。在接下来的第二轮投 三支决策侧重对模型的语义解释、方法设计和实 票中，有106名委员(2名日本委员因大阪淘汰获 际应用，主要包括三支决策分类与聚类、代价敏 得投票权)实际参加投票，1票弃权，有效票105 感三支决策、不确定性三支决策、三支推荐、机器 张。最终，北京获得56票，超半数票成功获得举 学习与三支决策等。进一步地，在2009一2018 办权，多伦多、巴黎、伊斯坦布尔分别获得22票、 年连续十届国际粗糙集联合学术会议(IJCRS), 18票和9票被淘汰。从投票过程可以看到，随着 以及2011一2018年连续八届中国粒计算与知 外界环境和时间的变化，中选城市(R域)、侯选城 识发现学术会议(CGCKD)上都举办了与“三支 市(R域)和落选城市(R域)也会随之发生改变。 决策与决策粗糙集”相关的主题研讨会。国内学 此外，Jeffery通过Savage打鸡蛋的故事通俗 者先后出版了4本专著：《三支决策理论与应 易懂地描述了三支决策随时间变化的序贯决策过 用》、《三支决策与粒计算》4、《三支决策： 程。故事大意为：孩子们早餐想吃煎鸡蛋，厨房 复杂问题求解方法与实践》6、《粒计算、商空 里有6个鸡蛋，丈夫Savage自告奋勇过来帮忙。 间及三支决策的回顾与发展》41，介绍了三支决 在打鸡蛋的过程中，鸡蛋有可能是好鸡蛋也可能 策研究的最新动态。国际著名SCI期刊Interna- 是坏鸡蛋。如果是好鸡蛋，把它直接打到碗里和 tional Journal of Approximate Reasoning Informa- 前面鸡蛋合并即可；如果是坏鸡蛋，所有的鸡蛋 tion Sciences,Knowledge-based Systems Interna- 都会被扔掉。Savage是一个决策论爱好者，他需 tional Journal of Machine Learning and Cybernet- 要设计在每打一颗鸡蛋时相应的行动策略，使得 ics等分别出版多本专辑来介绍和推动三支决策 总体决策代价最小。表2给出了Savage在第i次 研究领域的发展。 决策过程中可能采取的3种策略和后果。 表2 Savage可能采取的3种策略和后果 Table 2 Three strategies and results of Savage's omelet problem 状态 策略 好鸡蛋 坏鸡蛋 S:打到碗里 不浪费鸡蛋，做成个鸡蛋的鸡蛋饼 浪费一1个鸡蛋，做不成鸡蛋饼 S2:扔掉 浪费1个鸡蛋，做成一1个鸡蛋的鸡蛋饼 不浪费鸡蛋，做成一1个鸡蛋的鸡蛋饼 S,:打到另一个碗里不浪费鸡蛋，做成个鸡蛋的鸡蛋饼，多洗1个碗不浪费鸡蛋，做成一1个鸡蛋的鸡蛋饼，多洗1个碗
X ⊆ U R1 = POS(X) = {x ∈ U|[x] ⊆ X} R2 = BND(X) = {x ∈ U|[x]∩ X , Ø} R3 = NEG(X) = {x ∈ U|[x]∩ X=Ø} R1 R2 R3 S 1 S 2 S 3 以粗糙集为例，对于某个概念 ，令 ； ； 。区域 、 区 域 和区域 分别对应了正域、边界域和负域；相 应的，策略 表示接受正规则，策略 表示延迟决 策，策略 表示拒绝负规则。图 2 给出了三支决 策与粗糙集理论的相互转换模型。 对于三支决策基本模型，提出了一种广义三 支决策和狭义三支决策的模型[43]。广义三支决策 主要从不同的内涵和外延去探讨不同的决策模 型，主要包括三支决策空间、三支决策一般模型、 三支决策与认知模型、三支决策与形式概念分 析、三支决策逻辑、三支决策与商空间等。狭义 三支决策侧重对模型的语义解释、方法设计和实 际应用，主要包括三支决策分类与聚类、代价敏 感三支决策、不确定性三支决策、三支推荐、机器 学习与三支决策等。进一步地，在 2009—2018 年连续十届国际粗糙集联合学术会议 (IJCRS)， 以及 2011—2018 年连续八届中国粒计算与知 识发现学术会议 (CGCKD) 上都举办了与“三支 决策与决策粗糙集”相关的主题研讨会。国内学 者先后出版了 4 本专著：《三支决策理论与应 用》[44] 、《三支决策与粒计算》[45] 、《三支决策: 复杂问题求解方法与实践》[46] 、《粒计算、商空 间及三支决策的回顾与发展》[47] ，介绍了三支决 策研究的最新动态。国际著名 SCI 期刊 International Journal of Approximate Reasoning、Information Sciences、Knowledge-based Systems 和 International Journal of Machine Learning and Cybernetics 等分别出版多本专辑来介绍和推动三支决策 研究领域的发展。 2 基于时间维度三支决策模型 在很多决策问题中，其决策过程往往呈现出 实时性、多次性、序贯性的特征。决策者需要考 虑过去 (past)、现在 (now) 和将来 (future)，或是昨 天 (yesterday)、今天 (today) 和明天 (tomorrow) 这些时间维度对决策结果的影响。本文首先以北 京获得的 2008 年奥运会举办权时的投票过程作 为例子来阐述基于时间维度的三支决策思想。 R1 R2 R3 2001 年 7 月 13 日，国际奥委会第 112 次全会 在俄罗斯莫斯科召开，与会全体委员将投票选举 出第 29 届夏季奥运会的举办城市。有北京、多伦 多、伊斯坦布尔、巴黎和大阪 5 个候选城市参加 选举，一共 118 名国际奥委会委员进行投票。在 第一轮投票中，有 14 名申办城市委员和时任主席 萨马兰奇不参加投票，实际有 104 名委员投票， 2 票弃权，有效票 102 张。其中，北京获得 44 票，多 伦多获得 20 票，伊斯坦布尔获得 17 票，巴黎获得 15 票，大阪获得 6 票。第一轮投票结束，北京占 据优势，大阪得票最少被淘汰，其余 3 个城市作为 待定城市进入下一轮竞选。在接下来的第二轮投 票中，有 106 名委员 (2 名日本委员因大阪淘汰获 得投票权) 实际参加投票，1 票弃权，有效票 105 张。最终，北京获得 56 票，超半数票成功获得举 办权，多伦多、巴黎、伊斯坦布尔分别获得 22 票、 18 票和 9 票被淘汰。从投票过程可以看到，随着 外界环境和时间的变化，中选城市 ( 域)、候选城 市 ( 域) 和落选城市 ( 域) 也会随之发生改变。 此外，Jeffery 通过 Savage 打鸡蛋的故事通俗 易懂地描述了三支决策随时间变化的序贯决策过 程。故事大意为：孩子们早餐想吃煎鸡蛋，厨房 里有 6 个鸡蛋，丈夫 Savage 自告奋勇过来帮忙。 在打鸡蛋的过程中，鸡蛋有可能是好鸡蛋也可能 是坏鸡蛋。如果是好鸡蛋，把它直接打到碗里和 前面鸡蛋合并即可；如果是坏鸡蛋，所有的鸡蛋 都会被扔掉。Savage 是一个决策论爱好者，他需 要设计在每打一颗鸡蛋时相应的行动策略，使得 总体决策代价最小。表 2 给出了 Savage 在第 i 次 决策过程中可能采取的 3 种策略和后果。 表 2 Savage 可能采取的 3 种策略和后果 Table 2 Three strategies and results of Savage’s omelet problem 策略 状态 好鸡蛋 坏鸡蛋 S 1 : 打到碗里 不浪费鸡蛋，做成 i 个鸡蛋的鸡蛋饼 浪费 i−1 个鸡蛋，做不成鸡蛋饼 S 2: 扔掉 浪费 1 个鸡蛋，做成 i−1 个鸡蛋的鸡蛋饼 不浪费鸡蛋，做成 i−1 个鸡蛋的鸡蛋饼 S 3 : 打到另一个碗里 不浪费鸡蛋，做成 i 个鸡蛋的鸡蛋饼，多洗 1 个碗 不浪费鸡蛋，做成 i−1 个鸡蛋的鸡蛋饼，多洗 1 个碗 R3 R2 R1 U X 图 2 三支决策与粗糙集理论的转换模型 Fig. 2 Transformation model between 3WD and rough sets ·144· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
第1期 刘盾，等：三支决策的时空性 ·145· 对于Savage而言，在他作出每一步决策前， 其中： 需要预估下一个鸡蛋是好鸡蛋的概率。他可以按 (slw2)-A(s2lw) a= 照以往的经验（先验知识）来判断：若有充分把握 [(s1l2)-(s2la2】+[0(52lw)-A(s1la)】 判定是好鸡蛋则直接打到碗里，否则就扔掉。如 B0- o(s2lw2)-o(52l2) o(s2w2)-0(s3lw2)】+o(s3lw1)-0(lw1】 果没有任何先验知识，Savage的最优做法是把每 9(sl2)-9(s3lw2) yn= 个鸡蛋打到另一个碗里，他将最终付出多洗5个 [(s1l2)-o(s3l2)]+[λo(s31)-λ0(s1l1)] 碗的决策代价。 (6) 特别地，若a”≤B,上述三支决策模型将转 基于上面的例子，可以构造一种基于时间维 化为二支决策模型，策略S2失效，即： 度的三支决策模型。假设2={w1,w2表示事件的 1)若P()≥y9,则x在w下采取策略S1 2种不同的状态（如表2中的好鸡蛋和坏鸡蛋）， 2)若P(w)<0,则x在ω1下采取策略S3。 S={s1,s2,s}表示3种决策策略。P(wx)表示第 类似地，可以推导以状态作为基准的三支 1时刻对象x在状态o,的条件概率。(slω)表示 决策模型。值得一提的是，基于事件维度的三支 第1时刻在状态ω，的情况下采取s行动的损失或 决策模型与损失函数(s)密切相关。对于损 者成本。对于对象x而言，假设采取行动S。如 失函数的变化，可考虑前后时刻关联情形的两类 果Po(wx)表示第1时刻给定的对象x在真实状态 数学模型：第一类是考虑第t+1时刻损失函数 仙，下的概率，那么采取行动s的期望效用可表示为 (so)随时间t变化而变化；第二类是考虑第 R(e树=2reka)pnan t+1时刻损失函数+(so,)与前面状态(sw, (3) λ2(slw),…,(sw)有关。 =1 根据式(3)，对于每一个对象x可以计算其条 3基于空间维度三支决策模型 件风险R(s,x,从中选出条件风险最小的行动。 显然地，在第1时刻采取S1、S2、S3这3种策略下的 三支决策对于空间维度的描述主要通过粒计算 期望损失可分别为 方法来实现，其核心问题主要关注粒层的构建、粒 度的刻画、最优粒层和粒度的选取等。下面给出从 R (sx)=A)(slw)P (wx)+A(slw)P((wx) 粒计算思想解决空间三支决策问题的途径和策略。 R(s2x)=A(s2l)P(x)+(52l2)P (w2x) 首先，Yao从粒、粒层和层次结构出发，提 R(s3x)=A(s3l)PD (@)+(s3l2)P(@2x) 出一种粒计算的三元论思想，分别从哲学思想、 (4) 方法论和计算模式3个层面诠释了粒计算的结构 根据贝叶斯决策准则，需要选择期望损失最 化思维、结构化问题求解和结构化信息处理的统 小的行动集作为最佳行动方案，于是可得到如下 一研究框架。他进一步指出：粒计算哲学关注不 三条决策规则： 同粒度层次下的结构化理解和表示，包含还原 1)若R(s,x)≤RO(S2l)和R(s1lw)≤R(s3Ix)同 论、系统论和层次论；粒计算方法是基于粒结构 时成立，则对x采取S策略； 的结构化问题求解，分为自顶向下、自底向上和 2)若R(S2w)≤R(sx)和R0(s2lx)≤R(slx)同 自中向外3种处理方法；粒计算的计算模式是运 用粒结构来实现结构化粒信息处理，具体有Pan- 时成立，则对x采取S2策略； demonium架构、渐进式计算、序列三支决策等。 3)若R(S3lx)≤R(s1x)和Ro(slx)≤R0(s2lx)同 图3给出了这种粒计算三元论的思想，这为空间 时成立，则对x采取S,策略。 三支决策理论的构建提供了思想指导。 由于P(wx)+p(2x)=1,上述规则只与概 粒计算 率p(ww)和损失函数(slw,)有关。进一步假设： 哲学思想 方法论 计算模式 o(slω1)≤o(s2o)<o(s3w) 结构化思维 结构化问题求解 结构化信息处理 (5) A(s3lw2)(s2lw2)<(sil2) 以状态ω，作为基准，将式(3)代入到3条决策 还原论 自顶向下 Pandemonium架构！ 规则中可得： 系统论 自底向上 渐进式技术 层次论 自中向外 序列三支决策 I)若p(w1w)≥a9,则x在w,下采取策略S1 2)若B≤p(wx)≤a9则x在a下采取策略S2; 图3粒计算的三元论 3)若P(w,d)≤B,则x在1下采取策略S3o Fig.3 Trialistic theory of granular computing
对于 Savage 而言，在他作出每一步决策前， 需要预估下一个鸡蛋是好鸡蛋的概率。他可以按 照以往的经验 (先验知识) 来判断：若有充分把握 判定是好鸡蛋则直接打到碗里，否则就扔掉。如 果没有任何先验知识，Savage 的最优做法是把每 个鸡蛋打到另一个碗里，他将最终付出多洗 5 个 碗的决策代价。 Ω={ω1, ω2} S = {s1, s2, s3} P (t) (ωi |x) λ (t) (sj |ωi) P (t) (ωi |x) 基于上面的例子，可以构造一种基于时间维 度的三支决策模型。假设 表示事件的 2 种不同的状态 (如表 2 中的好鸡蛋和坏鸡蛋)， 表示 3 种决策策略。 表示第 t 时刻对象 x 在状态 ωi 的条件概率。 表示 第 t 时刻在状态 ωi 的情况下采取 sj 行动的损失或 者成本。对于对象 x 而言，假设采取行动 sj。如 果 表示第 t 时刻给定的对象 x 在真实状态 ωi 下的概率，那么采取行动 sj 的期望效用可表示为 R (t) ( sj |x ) = ∑m i=1 λ (t) ( sj |ωi ) P (t) (ωi |x) (3) R (t) ( sj |x ) 根据式 (3)，对于每一个对象 x 可以计算其条 件风险 ，从中选出条件风险最小的行动。 显然地，在第 t 时刻采取 s1、s2、s3 这 3 种策略下的 期望损失可分别为 R (t) (s1|x)=λ (t) (s1|ω1)P (t) (ω1|x)+λ (t) (s1|ω2)P (t) (ω2|x) R (t) (s2 |x)=λ (t) (s2 |ω1)P (t) (ω1 |x)+λ (t) (s2 |ω2)P (t) (ω2 |x) R (t) (s3 |x)=λ (t) (s3 |ω1)P (t) (ω1 |x)+λ (t) (s3 |ω2)P (t) (ω2 |x) (4) 根据贝叶斯决策准则，需要选择期望损失最 小的行动集作为最佳行动方案，于是可得到如下 三条决策规则： R (t) (s1|x) ⩽ R (t) (s2|x) R (t) (s1|x) ⩽ R (t) (s3|x) x S 1 1) 若 和 同 时成立，则对 采取 策略； R (t) (s2|x) ⩽ R (t) (s1|x) R (t) (s2|x) ⩽ R (t) (s3|x) x S 2 2) 若 和 同 时成立，则对 采取 策略； R (t) (s3|x) ⩽ R (t) (s1|x) R (t) (s3|x) ⩽ R (t) (s2|x) x S 3 3) 若 和 同 时成立，则对 采取 策略。 P (t) (ω1|x)+ P (t) (ω2|x) = 1 P (t) (ωi |x) λ (t) (sj |ωi) 由于 ，上述规则只与概 率 和损失函数 有关。进一步假设： λ (t) (s1|ω1) ⩽ λ (t) (s2|ω1) < λ(t) (s3|ω1) λ (t) (s3|ω2) ⩽ λ (t) (s2|ω2) < λ(t) (s1|ω2) (5) 以状态ω1作为基准，将式 (3) 代入到 3 条决策 规则中可得： P (t) (ω1|x) ⩾ α (t) 1) 若 ，则x在ω1下采取策略 S 1； β (t) ⩽ P (t) (ω1|x) ⩽ α (t) 2) 若 ，则x在ω1下采取策略 S 2； P (t) (ω1|x) ⩽ β (t) 3) 若 ，则x在ω1下采取策略 S 3。 其中： α (t)= λ (t) (s1|ω2)−λ (t) (s2|ω2) [λ (t) (s1|ω2)−λ (t) (s2|ω2)]+[λ (t) (s2|ω1)−λ (t) (s1|ω1)] β (t)= λ (t) (s2|ω2)−λ (t) (s2|ω2) [λ (t) (s2|ω2)−λ (t) (s3|ω2)]+[λ (t) (s3|ω1)−λ (t) (s1|ω1)] γ (t)= λ (t) (s1|ω2)−λ (t) (s3|ω2) [λ (t) (s1|ω2)−λ (t) (s3|ω2)]+[λ (t) (s3|ω1)−λ (t) (s1|ω1)] (6) α (t) ⩽ β (t) S 2 特别地，若 ，上述三支决策模型将转 化为二支决策模型，策略 失效，即： P (t) (ω1|x) ⩾ γ (t) 1) 若 ，则x在ω1下采取策略 S 1； P (t) (ω1|x) < γ(t) 2) 若 ，则x在ω1下采取策略 S 3。 ω2 λ (t) (sj |ωi) t+1 λ (t+1)(sj |ωi) t t+1 λ (t+1)(sj |ωi) λ (1)(sj |ωi), λ (2)(sj |ωi),··· , λ(t) (sj |ωi) 类似地，可以推导以状态 作为基准的三支 决策模型。值得一提的是，基于事件维度的三支 决策模型与损失函数 密切相关。对于损 失函数的变化，可考虑前后时刻关联情形的两类 数学模型：第一类是考虑第 时刻损失函数 随时间 变化而变化；第二类是考虑第 时刻损失函数 与前面状态 有关。 3 基于空间维度三支决策模型 三支决策对于空间维度的描述主要通过粒计算 方法来实现，其核心问题主要关注粒层的构建、粒 度的刻画、最优粒层和粒度的选取等。下面给出从 粒计算思想解决空间三支决策问题的途径和策略。 首先，Yao[48] 从粒、粒层和层次结构出发，提 出一种粒计算的三元论思想，分别从哲学思想、 方法论和计算模式 3 个层面诠释了粒计算的结构 化思维、结构化问题求解和结构化信息处理的统 一研究框架。他进一步指出：粒计算哲学关注不 同粒度层次下的结构化理解和表示，包含还原 论、系统论和层次论；粒计算方法是基于粒结构 的结构化问题求解，分为自顶向下、自底向上和 自中向外 3 种处理方法；粒计算的计算模式是运 用粒结构来实现结构化粒信息处理，具体有 Pandemonium 架构、渐进式计算、序列三支决策等。 图 3 给出了这种粒计算三元论的思想，这为空间 三支决策理论的构建提供了思想指导。 粒计算 计算模式 结构化信息处理 方法论 结构化问题求解 哲学思想 结构化思维 还原论 系统论 层次论 自顶向下 自底向上 自中向外 Pandemonium 架构 渐进式技术 序列三支决策 图 3 粒计算的三元论 Fig. 3 Trialistic theory of granular computing 第 1 期 刘盾，等：三支决策的时空性 ·145·