7.3维纳滤波估计26利用维纳-霍夫方程设计出因果的离散随机信号维纳滤波器，滤波器的单位脉冲响应w(m）是无限长的因果序列这种滤波器的实现和应用显然是非常困难的。因此通常采用逼近的方法来设计离散随机信号的维纳滤波器。设滤波器的输入离散随机信号是长度为N的有限长序列z(n)(n=0,1,2,N-1)，则选择长度为M(M≥N)的有限长序列w(m)(0≤m≤M -1)作为滤波器的单位脉冲响应，并按最小均方误差准则求的解，得到的结果w（m）就是离散随机信号维纳滤波器的wm）(0≤m<0）的时域近似解，则式（7.3.1.7）可表达为如下矩阵形式P=RW式中R=E[z(n)zT(n)l为输入随机信号z(n)(n=0,1,2,…,N-1)构成的随机信号矢量z= (zo,Z1,…,ZN-1)T的自相关矩阵，是N × N的对称阵；p = E[z(n)y(n)]为输入随机信号矢量z与被估信号y(n）的互相关矩阵。西安交大机械学
西 安 交 大 机械 学 院 7 26 .3 维纳滤波估计 §利用维纳-霍夫方程设计出因果的离散随机信号维纳滤波 器，滤波器的单位脉冲响应�(�)是无限长的因果序列， 这种滤波器的实现和应用显然是非常困难的。因此通常 采用逼近的方法来设计离散随机信号的维纳滤波器。设 滤波器的输入离散随机信号是长度为�的有限长序列 �(�)(� = 0,1,2, ⋯, � − 1)，则选择长度为�(� ≥ �)的有 限长序列�(�)(0 ≤ � ≤ � − 1)作为滤波器的单位脉冲 响应，并按最小均方误差准则求的解，得到的结果�(�) 就是离散随机信号维纳滤波器的�(�)(0 ≤ � < ∞)的时 域近似解，则式(7.3.1.7)可表达为如下矩阵形式 � = �� §式 中 � = �[�(�)� �(�)] 为 输 入 随 机 信 号 �(�)(� = 0,1,2, ⋯, � − 1)构成的随机信号矢量� = (�0, �1, ⋯, ��−1 )� 的自相关矩阵，是� × �的对称阵；� = �[�(�)�(�)]为 输入随机信号矢量�与被估信号�(�)的互相关矩阵
7.3维纳滤波估计271.经典维纳滤波■如果自相关矩阵R非奇异，则维纳滤波器的脉冲响应WoptWopt = R-1p采用这种有限长的因果序列来逼近设计维纳滤波器，显然滤波器的滤波精度与参数M的大小有关。因此在滤波器的结构复杂度和运算时间允许的前提下，应尽可能取较长的滤波器的单位脉冲响应，更好地逼近理论上的维纳滤波器，以获得较高的估计精度。从推导可看出，直接求解维纳-霍夫方程非常困难，它要预先知道输入信号的自相关函数，输入信号与输出信号的互相关函数，而自适应滤波器是处理输入信号统计特性未知的系统，因此维纳-霍夫方程只是给出理论的最佳解，难以在实际工程中应用。西安交大机械学
西 安 交 大 机械 学 院 7 27 .3 维纳滤波估计 u1.经典维纳滤波 §如果自相关矩阵�非奇异，则维纳滤波器的脉冲响应�opt �opt = � −1� §采用这种有限长的因果序列来逼近设计维纳滤波器，显 然滤波器的滤波精度与参数�的大小有关。因此在滤波 器的结构复杂度和运算时间允许的前提下，应尽可能取 较长的滤波器的单位脉冲响应，更好地逼近理论上的维 纳滤波器，以获得较高的估计精度。 §从推导可看出，直接求解维纳-霍夫方程非常困难，它要 预先知道输入信号的自相关函数，输入信号与输出信号 的互相关函数，而自适应滤波器是处理输入信号统计特 性未知的系统，因此维纳-霍夫方程只是给出理论的最佳 解，难以在实际工程中应用
7.3维纳滤波估计281.经典维纳滤波最陡下降算法为维纳滤波器的工程应用提供了解决思路，接下来将利用最陡下降法对有限长度（长度为M）维纳滤波器进行递推求解。首先对式（7.3.1.3）中均方误差利用矩阵的形式重新定义，即均方误差J(W）可表示为J(w) = E[e2(n)] = E{[y(n) - wTz(n)][y(n) - wTz(n)]T)= E[y2(n)] - E[y(n)zT (n)]w - wTE[z(n)y(n)]+ wTE[z(n)zT (n)]w式中，W=[Wo,W1,,WM-1]T，第n时刻的随机输入矢量z(n) = [z(n),z(n - 1),.,z(n - M + 1)]T 。西安交大机械学
西 安 交 大 机械 学 院 7 28 .3 维纳滤波估计 u 1.经典维纳滤波 §最陡下降算法为维纳滤波器的工程应用提供了解决思路 ，接下来将利用最陡下降法对有限长度（长度为�）维 纳滤波器进行递推求解。 §首先对式(7.3.1.3)中均方误差利用矩阵的形式重新定义， 即均方误差�(�)可表示为 �(�) = �[� 2 (�)] = � [�(�) − ���(�)][�(�) − ���(�)]� = �[� 2 (�)] − �[�(�)� �(�)]� − ���[�(�)�(�)] + ���[�(�)� �(�)]� 式中，� = [�0, �1, ⋯, ��−1 ]� ，第�时刻的随机输入矢量 �(�) = [�(�), �(� − 1), ⋯, �(� − � + 1)]�
7.3维纳滤波估计291.经典维纳滤波由R=E[z(n)zT(n)], p = E[z(n)y(n)], 得J(w)=o)-pTw-wTp+wTRw若假设期望响应y(n)的均值为零，则其方差哆E[y2(n)l，将式(7.3.1.9)代入式(7.3.1.10)得Jmin = J(Wopt) = o - pTw -wTp + wTRw= -pTR-1p假设在第n时刻，已得到滤波器的权值失量w(n）和对应的均方误差J(w(n）），n+1时刻的权值矢量w(n+1)表示为w(n）与某个微小修正矢量△w之和，即w(n+ 1) = w(n)+△w西安交大机械学
西 安 交 大 机械 学 院 7 29 .3 维纳滤波估计 u 1.经典维纳滤波 §由� = �[�(�)� �(�)]，� = �[�(�)�(�)]，得 �(�) = σ� 2 − � �� − ��� + ���� §若 假 设 期 望 响 应 �(�) 的 均 值 为 零 ， 则 其 方 差 σ� 2 = �[� 2 (�)]，将式(7.3.1.9)代入式(7.3.1.10)得 ���� = � ���� = σ� 2 − � �� − ��� + ���� = σ� 2 − � �� −1� §假设在第�时刻，已得到滤波器的权值矢量�(�)和对应 的均方误差� �(�) ，� + 1时刻的权值矢量�(� + 1)表示 为�(�)与某个微小修正矢量∆�之和，即 �(� + 1) = �(�) + ∆�
7.3维纳滤波估计301.经典维纳滤波由于J（w(n））是一个二次函数，其最快下降方向为负梯度方向，为使n+1时刻的权值向量w(n+1)的更快收敛至最优解，修正量△W应满足1w =-(w(n)■式中，VJ(w(n)）为均方误差J(w(n))的梯度，u为步长参数或步长因子，用来调整算法的迭代速度。由式(7.3.1.11)可得aVI(w(n) = % [V(w(n) =- 2p + 2Rw(n)令VJ(w）=0，可得式(7.3.1.8）所述的维纳-霍夫（Wiener-Hopf）方程。西安交大机械学
西 安 交 大 机械 学 院 7 30 .3 维纳滤波估计 u 1.经典维纳滤波 §由于� �(�) 是一个二次函数，其最快下降方向为负梯度 方向，为使� + 1时刻的权值向量�(� + 1)的更快收敛至 最优解，修正量∆�应满足 ∆� =− 1 2 ��� �(�) §式中，�� �(�) 为均方误差� �(�) 的梯度，�为步长参 数 或 步 长 因 子 ， 用 来 调 整 算 法 的 迭 代 速 度 。 由 式 (7.3.1.11)可得 �� �(�) = � �� � �(�) =− 2� + 2��(�) §令��(�) = 0，可得式(7.3.1.8)所述的维纳-霍夫（Wiener- Hopf）方程