7.2估计理论基础21随机系统估计理论的应用主要包含两类其一，信号（状态）估计，主要解决如何从被污染的观测信号中，尽可能充分地滤除干扰噪声的影响，从而获得真实信号（状态）的最优估计，即从y=kx十v中估计出信号（状态）x。其二，系统辨识，主要解决如何从被污染的输入、输出信号中，最大可能建立系统的精确模型，系统辨识有时候与系统参数估计等价，即在已知系统结构的前提下，利用输入输出数据求解系统的参数。随机系统参数估计常用方法有维纳滤波法、最小二乘法和卡尔曼滤波法等。西安交大机械学
西 安 交 大 机械 学 院 7 21 .2 估计理论基础 u 随机系统估计理论的应用主要包含两类 §其一 ，信号（状态）估计，主要解决如何从被污染的观 测信号中，尽可能充分地滤除干扰噪声的影响，从而获 得真实信号（状态）的最优估计，即从� = �� + �中估计 出信号（状态） � 。 §其二，系统辨识，主要解决如何从被污染的输入、输出 信号中，最大可能建立系统的精确模型，系统辨识有时 候与系统参数估计等价，即在已知系统结构的前提下， 利用输入输出数据求解系统的参数。 §随机系统参数估计常用方法有维纳滤波法、最小二乘法 和卡尔曼滤波法等
7.3维纳滤波估计221.经典维纳滤波维纳滤波是实现从噪声中提取信号，完成信号估计的线性最佳估计方法之一，简单易行，可应用于平稳信号的实时处理，具有一定的工程实用价值。设实际观测信号z(n）为z(n) = y(n) + v(n)其中，y(n)为期望得到的有用信号，v(n)为观测噪声利用维纳滤波可以估计y(n)、y(n+α)(α>0)、y(n一α)(α>0)及y(n)的导数等信号的波形。西安交大机械学
西 安 交 大 机械 学 院 7 22 .3 维纳滤波估计 u 1.经典维纳滤波 §维纳滤波是实现从噪声中提取信号，完成信号估计的线 性最佳估计方法之一 , 简单易行，可应用于平稳信号的实 时处理，具有一定的工程实用价值。 §设实际观测信号�(�)为 �(�) = �(�) + �(�) 其中，�(�)为期望得到的有用信号，�(�)为观测噪声， 利 用 维 纳 滤 波 可 以 估 计 �(�) 、 �(� + �)(� > 0) 、 �(� − �)(� > 0)及�(�)的导数等信号的波形
7.3维纳滤波估计231.经典维纳滤波为了进行统一分析，用y(n）表示待估计的信号，滤波器的目的即为根据观测信号z(n），按照线性最小均方误差准则，对y(n)进行估计，以获得波形估计结果y(n)。设z(n）和y(n）都是零均值的平稳随机过程，则y(n）的最佳线性估计n）可表示为+8Z(n) =w(m)z(n - m)m=0其中，w(m）为滤波器的权值系数（脉冲响应）。用e（n）表示真值和估计值间的误差为e(n) = y(n) -y(n西安交大机械学
西 安 交 大 机械 学 院 7 23 .3 维纳滤波估计 u 1.经典维纳滤波 §为了进行统一分析，用�(�)表示待估计的信号，滤波器 的目的即为根据观测信号�(�)，按照线性最小均方误差 准则，对�(�)进行估计，以获得波形估计结果�(�)。 §设�(�)和�(�)都是零均值的平稳随机过程，则y(�)的最佳 线性估计�(�)可表示为 �(�) = �=0 +∞ �(�)�(� − �) 其中，�(�)为滤波器的权值系数（脉冲响应）。 §用�(�)表示真值和估计值间的误差为 �(�) = �(�) − �(�)
7.3维纳滤波估计241.经典维纳滤波显然e（n）为随机变量，均方误差可表示为E[e2(n)] = E[(v(n) - (n) +8Z=Ey(n) -w(m)z(n -m)m=0为了使均方误差达到最小，对各个w(m)，m=0,1,2,.求梯度，并令结果等于零，得+8Ey(n) -=0z(n-j)Wopt(m)z(n - m)m=0j = 0,1,2,..西安交大机械学
西 安 交 大 机械 学 院 7 24 .3 维纳滤波估计 u 1.经典维纳滤波 §显然�(�)为随机变量，均方误差可表示为 �[� 2 (�)] = � �(�) − �(�) 2 = � �(�) − �=0 +∞ �(�)�(� − �) 2 为了使均方误差达到最小，对各个�(�)，� = 0,1,2, ⋯ 求梯度，并令结果等于零，得 � �(�) − �=0 +∞ �opt(�)�(� − �) �(� − �) = 0 � = 0,1,2, ⋯
7.3维纳滤波估计251.经典维纳滤波+8E[y(n)z(n -n)]Wopt(m)E[z(n - m)z(n - n)] n ≥ 0m=0用相关函数R来表达上式，得+8ZRyz(n) =Wopt(m)Rz(n -m) n ≥ 0m=0上述内容从相关函数的角度定义了最优滤波器系数。式(7.3.1.7)就是离散随机信号的维纳-霍夫（Wiener-Hopf）方程，由该方程解出的w（m）就是满足线性最小均方误差准则的离散随机信号的维纳滤波器权值系数Wopt(m)。因为有㎡≥0的限制，所以求解得到的是物理可实现的（因果的）滤波器的单位脉冲响应。西安交大机械学
西 安 交 大 机械 学 院 7 25 .3 维纳滤波估计 u 1.经典维纳滤波 �[�(�)�(� − �)] = �=0 +∞ �opt(�)�[�(� − �)�(� − �)] � ≥ 0 §用相关函数�来表达上式，得 ���(�) = �=0 +∞ �opt(�)��(� − �) � ≥ 0 §上述内容从相关函数的角度定义了最优滤波器系数。式 (7.3.1.7)就是离散随机信号的维纳-霍夫（Wiener-Hopf） 方程，由该方程解出的�(�)就是满足线性最小均方误差 准则的离散随机信号的维纳滤波器权值系数�opt(�)。因 为有� ≥ 0的限制，所以求解得到的是物理可实现的（因 果的）滤波器的单位脉冲响应