7.1概述11数学模型式（7.1.3）为系统状态方程，式（7.1.4）为观测方程。设系统状态维度为n，观测维度为m，控制维度为l，则，XkE Rn为k时刻的状态向量，Φk,k-1 E Rn×n为一步状态转移矩阵，把k一1时刻的状态转移到k时刻的状态，Bk-1ERn×l为控制矩阵，Uk-1ERl为控制向量，Wk-1ERl为状态噪声向量，Tk-1ERn×l状态噪声加权矩阵，ZkERm为k时刻的观测向量，m≤n，VkERm为观测噪声向量，HkERmXn为已知观测矩阵。为了分析简便，本章仅考虑线性时不变的随机系统的状态估计问题，则上述系统简化为线性时不变系统为：Xk=ΦXk-1+BUk-1+TWk-1Zk=HXk+Vk西安交大机械学
西 安 交 大 机械 学 院 11 u 数学模型 §式（7.1.3）为系统状态方程，式（7.1.4）为观测方程。 设系统状态维度为�，观测维度为�，控制维度为�，则 ，�� ∈ � �为�时刻的状态向量，��,�−1 ∈ � �×�为一步状 态转移矩阵，把� − 1时刻的状态转移到�时刻的状态， ��−1 ∈ � �×� 为 控 制 矩 阵 ， ��−1 ∈ � � 为 控 制 向 量 ， ��−1 ∈ � �为状态噪声向量，��−1 ∈ � �×�状态噪声加权 矩阵，�� ∈ ��为�时刻的观测向量，� ≤ �，�� ∈ ��为 观测噪声向量，�� ∈ ��×�为已知观测矩阵。为了分析 简便，本章仅考虑线性时不变的随机系统的状态估计问 题，则上述系统简化为线性时不变系统为： �� = ���−1 + ���−1 + ���−1 �� = ��� + �� 7.1 概述
7.1概述12数学模型■式中，状态转移矩阵ΦERnXn为，控制矩阵BERn×l观测矩阵HERmXn，状态噪声加权矩阵rERnXI不随时间变化，状态噪声向量Wk-1ERl和观测噪声向量VkERm既可以为白噪声，也可以为有色噪声。利用随机状态空间模型可以方便地实现系统的状态反馈、最优控制、鲁棒控制以及参考模型自适应控制，控制手段和技术种类比较多，但随机状态空间模型的建立比较困难，通常通过随机差分模型来获得状态空间模型。西安交大机械学
西 安 交 大 机械 学 院 12 u 数学模型 §式中，状态转移矩阵� ∈ � �×�为，控制矩阵� ∈ � �×� ， 观测矩阵� ∈ ��×� ，状态噪声加权矩阵� ∈ � �×�不随时 间变化，状态噪声向量��−1 ∈ � �和观测噪声向量�� ∈ ��既可以为白噪声，也可以为有色噪声。利用随机状态 空间模型可以方便地实现系统的状态反馈、最优控制、 鲁棒控制以及参考模型自适应控制，控制手段和技术种 类比较多，但随机状态空间模型的建立比较困难，通常 通过随机差分模型来获得状态空间模型。 7.1 概述
7.2估计理论基础13估计理论基础由于随机系统的统计特性是有规律的，可采用概率论与数理统计和随机过程等数学工具进行统计对随机系统进行描述，然后采用统计学的方法进行处理。为此在对随机系统状态估计前，我们需要对随机变量、均值、方差、有偏估计、无偏估计等数理统计知识进行简要说明。定义7.2.1设E为一随机试验，2为它的样本空间，若X=XW)，WE2是定义在2上的一个单值实函数，且对任意实数x，集合(wlX(w）≤x都是随机事件，则称X为随机变量。西安交大机械学
西 安 交 大 机械 学 院 7 13 .2 估计理论基础 u 估计理论基础 §由于随机系统的统计特性是有规律的，可采用概率论与 数理统计和随机过程等数学工具进行统计对随机系统进 行描述，然后采用统计学的方法进行处理。为此在对随 机系统状态估计前，我们需要对随机变量、均值、方差 、有偏估计、无偏估计等数理统计知识进行简要说明。 §定义7.2.1 设�为一随机试验，�为它的样本空间，若� = �(�)，� ∈ �是定义在�上的一个单值实函数，且对任意 实数�，集合 �|�(�) ≤ � 都是随机事件，则称�为随机 变量
7.2估计理论基础14估计理论基础■定义7.2.2设X为一个随机变量，记F(x) = P(X ≤ x), x E (-8, +8)称F(x）为随机变量X的分布函数，F(X)满足如下性质：(1)F(x)是一个非降函数；(2)对任意实数x，0≤F(X)≤1，且F(-) = lim F(x) = 0X--8F(+o) = lim F(x) = 1X→+80(3)F(x)是右连续函数，即F(x+O）=F(x）西安交大机械学
西 安 交 大 机械 学 院 7 14 .2 估计理论基础 u 估计理论基础 §定义7.2.2 设�为一个随机变量，记 �(�) = � � ≤ � ，� ∈ (−∞， + ∞) 称�(�)为随机变量�的分布函数,�(�)满足如下性质： （1） �(�)是一个非降函数； （2） 对任意实数�，0 ≤ �(�) ≤ 1，且 �(−∞) = lim �→−∞ �(�) = 0 �(+∞) = lim �→+∞ �(�) = 1 （3） �(�)是右连续函数，即�(� + 0) = �(�)
7.2估计理论基础15定义7.2.3设随机变量X的分布函数为F（x），若存在非负可积函数f（x），使对于任意实数x，有XF(x) = f(t)dt则称X为连续型随机变量，称f(x）为X的概率密度。且f(x)具有如下性质：(1) f(x) ≥ 0, - 8 < x<+ 8;(2) J-° f(x)dx = 1;(3）对任意实数a，b，且a≤b有bf(x)dxP(a<X≤ b) =F(b) - F(a) =a（4）若f(x）在点x处连续，则有F(x）=f(x）西安交大机械学
西 安 交 大 机械 学 院 7 15 .2 估计理论基础 §定义7.2.3 设随机变量�的分布函数为�(�)，若存在非负 可积函数�(�)，使对于任意实数�，有 �(�) = −∞ � �(�)�� 则称�为连续型随机变量，称�(�)为�的概率密度。 且�(�)具有如下性质： （1）�(�) ≥ 0， − ∞ < � <+ ∞； （2） −∞ +∞ �(�)�� = 1； （3）对任意实数�，�，且� ≤ �有 � � < � ≤ � = �(�) − �(�) = � � �(�)�� （4）若�(�)在点�处连续，则有� ′(�) = �(�)