第14卷第4期 智能系统学报 Vol.14 No.4 2019年7月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Jul.2019 D0:10.11992/tis.201806045 网络出版地址：http:/kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20190321.1044.012.html 一种快速鲁棒核空间图形模糊聚类分割算法 吴其平，吴成茂 (西安邮电大学电子工程学院，陕西西安710121) 摘要：针对现有鲁棒图形模糊聚类算法难以满足强噪声干扰下大幅面图像快速分割的需要，提出一种快速鲁 棒核空间图形模糊聚类分割算法。该算法将欧氏空间样本通过核函数映射至高维空间：采用待分割图像中像 素邻域的灰度和空间等信息构建线性加权滤波图像，对其进行鲁棒核空间图形模糊聚类：并引入当前聚类像素 与其邻域像素均值所对应的二维直方图信息，获得鲁棒核空间图形模糊聚类快速迭代表达式。对大幅面图像 添加高斯和椒盐噪声进行分割测试，实验结果表明：本文算法相比基于图形模糊聚类等分割算法的分割性能 抗噪鲁棒性和实时性有了显著提高。 关键词：图像分割；图形模糊聚类：核函数：线性加权和图像：邻域滤波；二维直方图；聚类有效性；鲁棒性 中图分类号：TP391.41文献标志码：A 文章编号：1673-4785(2019)04-0804-08 中文引用格式：吴其平，吴成茂.一种快速鲁棒核空间图形模糊聚类分割算法.智能系统学报，2019,14(4)：804-811. 英文引用格式：WU Qiping,VU Chengmao.A fast and robust clustering segmentation algorithm for kernel space graphics J. CAAI transactions on intelligent systems,2019,14(4):804-811. A fast and robust clustering segmentation algorithm for kernel space graphics WU Qiping,WU Chengmao (School of Electronic Engineering,Xi'an University of Posts and Telecommunications,Xi'an 710121,China) Abstract:Addressing the existing problem of difficulty in realizing fast segmentation of large-scale images under strong noise interference,a fast robust kernel space graph fuzzy clustering segmentation algorithm is proposed.This algorithm first mapped the samples in European Space to the high dimensional feature space through the kernel function;sub- sequently,it constructed the linear weighted filtering image using the gray scale and spatial information of the pixel neighborhood in the image to be segmented and carried out the robust kernel space pattern fuzzy clustering on the im- age.The fast iterative expression of robust kernel space graph fuzzy clustering was obtained by introducing the two-di- mensional histogram information corresponding to the mean value of the current clustering pixel and its neighboring pixels.Experimental test results of large size images interrupted by Gaussian and salt-and-pepper noise show that the segmentation,robustness,and real-time performance of the proposed segmentation algorithm have improved more signi- ficantly than those of the picture-based fuzzy clustering,and other fuzzy clustering segmentation algorithms. Keywords:image segmentation;graph fuzzy clustering:kernel function;linear weighted image,neighborhood filtering, two-dimensional histogram;clustering validity;robustness 图像分割的本质是将图像中不同类目标按 是图像处理和图像分析的一个重要环节。由于图 照要求划分成不同区域，用于解决相似特性像素 像从三维目标投影为平面对象时会有信息损失， 的分类问题，使同类像素更可能划分为一类，它 人眼对相邻灰度级的区分存在不确定性，从而使 得模糊聚类在图像分割领域得到了广泛应用。 收稿日期：2018-06-26.网络出版日期：2019-03-22. 基金项目：国家自然科学基金项目(61671377,51709228)：陕西 目前，模糊C-均值(fuzzy c-means,FCM)聚类是 省自然科学基金项目(20I7JM6107):西安邮电大学 研究生创新基金项目(CXL201614), 图像分割中最常用的聚类方法之一，但该聚类所 通信作者：吴其平.E-mail:1739565890@qq.com. 对应的划分信息仅采用隶属度表达样本分类程度
DOI: 10.11992/tis.201806045 网络出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20190321.1044.012.html 一种快速鲁棒核空间图形模糊聚类分割算法 吴其平，吴成茂 （西安邮电大学 电子工程学院，陕西 西安 710121） 摘 要：针对现有鲁棒图形模糊聚类算法难以满足强噪声干扰下大幅面图像快速分割的需要，提出一种快速鲁 棒核空间图形模糊聚类分割算法。该算法将欧氏空间样本通过核函数映射至高维空间；采用待分割图像中像 素邻域的灰度和空间等信息构建线性加权滤波图像，对其进行鲁棒核空间图形模糊聚类；并引入当前聚类像素 与其邻域像素均值所对应的二维直方图信息，获得鲁棒核空间图形模糊聚类快速迭代表达式。对大幅面图像 添加高斯和椒盐噪声进行分割测试，实验结果表明：本文算法相比基于图形模糊聚类等分割算法的分割性能、 抗噪鲁棒性和实时性有了显著提高。 关键词：图像分割；图形模糊聚类；核函数；线性加权和图像；邻域滤波；二维直方图；聚类有效性；鲁棒性 中图分类号：TP391.41 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2019)04−0804−08 中文引用格式：吴其平, 吴成茂. 一种快速鲁棒核空间图形模糊聚类分割算法 [J]. 智能系统学报, 2019, 14(4): 804–811. 英文引用格式：WU Qiping, WU Chengmao. A fast and robust clustering segmentation algorithm for kernel space graphics[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2019, 14(4): 804–811. A fast and robust clustering segmentation algorithm for kernel space graphics WU Qiping，WU Chengmao (School of Electronic Engineering, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121, China) Abstract: Addressing the existing problem of difficulty in realizing fast segmentation of large-scale images under strong noise interference, a fast robust kernel space graph fuzzy clustering segmentation algorithm is proposed. This algorithm first mapped the samples in European Space to the high dimensional feature space through the kernel function; subsequently, it constructed the linear weighted filtering image using the gray scale and spatial information of the pixel neighborhood in the image to be segmented and carried out the robust kernel space pattern fuzzy clustering on the image. The fast iterative expression of robust kernel space graph fuzzy clustering was obtained by introducing the two-dimensional histogram information corresponding to the mean value of the current clustering pixel and its neighboring pixels. Experimental test results of large size images interrupted by Gaussian and salt-and-pepper noise show that the segmentation, robustness, and real-time performance of the proposed segmentation algorithm have improved more significantly than those of the picture-based fuzzy clustering, and other fuzzy clustering segmentation algorithms. Keywords: image segmentation; graph fuzzy clustering; kernel function; linear weighted image; neighborhood filtering; two-dimensional histogram; clustering validity; robustness 图像分割[1] 的本质是将图像中不同类目标按 照要求划分成不同区域，用于解决相似特性像素 的分类问题，使同类像素更可能划分为一类，它 是图像处理和图像分析的一个重要环节。由于图 像从三维目标投影为平面对象时会有信息损失， 人眼对相邻灰度级的区分存在不确定性，从而使 得模糊聚类[2]在图像分割领域得到了广泛应用。 目前，模糊 C-均值 (fuzzy c-means, FCM)[3] 聚类是 图像分割中最常用的聚类方法之一，但该聚类所 对应的划分信息仅采用隶属度表达样本分类程度 收稿日期：2018−06−26. 网络出版日期：2019−03−22. 基金项目：国家自然科学基金项目 (61671377, 51709228)；陕西 省自然科学基金项目 (2017JM6107)；西安邮电大学 研究生创新基金项目 (CXL2016-14). 通信作者：吴其平. E-mail：1739565890@qq.com. 第 14 卷第 4 期 智 能 系 统 学 报 Vol.14 No.4 2019 年 7 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Jul. 2019
第4期 吴其平，等：一种快速鲁棒核空间图形模糊聚类分割算法 ·805· 大小，无法刻画样本归类中存在的不确定性和拒 和空间位置信息构造新的线性加权图像，然后在 绝程度，导致该算法难以有效聚类复杂的非凸数 该图像的灰度直方图上进行图像聚类，减少运行 据。针对这一不足，Chaira等将传统模糊C-均 时间，并且提高了抑制噪声能力，但无法改善该 值聚类推广至直觉模糊集，提出直觉模糊聚类算 类分割算法的分割性能，不利于诸如医学和遥感 法(intuitionistic fuzzy c-means,IFCM,该算法不仅 等复杂场合的图像分割需要。 考虑了样本聚类的模糊隶属度，而且考虑了其隶 为了提高鲁棒图形模糊聚类分割法的分割性 属度的不确定性，使分类隶属度尽可能最大化并 能和噪声抑制能力，并能降低大幅面遥感或医学 达到改善聚类性能的目的。但是，无原则地增大 等影像分割的时间开销，本文将PFCM_S1算法推 样本分类隶属度会导致样本误分的概率偏大，不 广至核空间并与FGFCM分割算法相结合，提出 利于光照不均匀、噪声干扰等复杂图像分割的需 一种改进的鲁棒核空间图形模糊聚类分割算法， 要。文献[6]将图形模糊集引入传统模糊C-均值 并将像素与其邻域像素紧密关联的二维直方图引 聚类，对聚类过程中的图形模糊隶属度、中立度 入新的鲁棒分割算法中，获得一种快速鲁棒核空 和拒分度进行规范约束，并得到一种称为图形模 间图形模糊聚类分割算法。测试结果表明，本文 糊聚类算法(fuzzy clustering method on picture 提出的算法能有效地提高大幅面图像分割速度： fuzzy sets,.PFCM),该聚类中的拒分度计算仅利 同时，相比现有的图形模糊聚类分割法能有更强 用隶属度和中立度经Yager补算子获得，导致交 的分割性能。 替迭代所获得的隶属度、中立度和聚类中心出现 1鲁棒图形模糊聚类 负值，使聚类算法失效。Thong等提出了另 种新的图形模糊聚类算法(fuzzy clustering of pic- 针对现有PFCM算法中的拒分度存在负值问 ture fuzzy sets,.FC-PFS),该聚类性能相比现有 题，导致隶属度、中立度和聚类中心出现非法值， FCM算法有一定程度提升。 且缺乏鲁棒抗噪性。文献[10]利用文献[7)有关 图形模糊聚类被广泛应用于医学影像和气象 中立度和拒分度的正则化思想并引入像素邻域均 云图的分割⑧，但该聚类仅结合当前像素的的灰 值信息，构造一种PFCM S1算法，其最优化模型为 度信息，并未考虑当前像素的邻域像素空间信息 和灰度信息对聚类的影响，导致该种算法对噪声 minJ(0,V,n,)=∑ ，)"[-P+ 1k=1 1--专 (1) 的抑制能力较差。为此，文献[10]将文献[)中 a(民-wP]+∑∑（传i4+) 的中立度和拒分度相结合，构造正则项幂积型表 =1 达式，并引入像素邻域灰度信息，提出一种具有 s.t 鲁棒性的改进图形模糊聚类分割算法(PFCM with 1)0≤4、k、5k≤1,0≤+u+5k≤1，i=1,2, spatial constraints,PFCM S1),同理，可将此思想引 …,n,k=1,2,…,c; 入文献[)，获得一种改进图形模糊聚类算法(FC- PFS with spatial constraints,FC-PFS S1),该算法采 221-- =1,i=1,2.…,n k=1 用欧氏距离构造聚类目标函数，将样本空间中相 3)u+)=li=1,2, = 近的样本聚在一起，易于陷人局部极小值点且对 式中：n表示聚类样本数；c表示聚类数；、和 初始化值较为敏感，主要适合于类样本数相差不 分别表示第个样本x属于第k类的隶属度、中立 悬殊的团状凸数据集，而对于那些非凸数据的聚 度和拒分度；x代表第个样本，其中表示当前样 类，其聚类性能存在显著下降。而核模糊C-均 本x所对应的邻域窗内样本的均值；代表第k类 (kernel-based fuzzy c-means clustering method, 的聚类中心，(：-)为样本x与聚类中心之间的 KFCM0聚类算法，能有效解决非凸数据聚类问 欧氏距离平方，（民-）表示均值和之间的欧氏 题，它将样本数据通过非线性映射至高维特征空 距离平方；m是模糊指数，常取m=2;α是描述像素 间并改善样本的可分性，从而达到改善聚类性能 邻域信息对当前像素聚类分割的影响参数。 的目的。但是核函数的引入将增加算法时间复杂 2鲁棒图形模糊聚类算法的改进 度，不利于实时性要求较高场合图像分割的需 要。为此，Cai等3提出了空间信息约束的快 2.1核空间鲁棒图形模糊聚类 速FCM分割算法(fast generalized FCM,FGFCM), 针对最优化模型式(1)，它所对应的迭代聚类 该算法利用原始图像的每个像素邻域窗内的灰度 算法主要适合呈团状数据分析。为了增强该聚类
大小，无法刻画样本归类中存在的不确定性和拒 绝程度，导致该算法难以有效聚类复杂的非凸数 据。针对这一不足，Chaira 等 [4-5] 将传统模糊 C-均 值聚类推广至直觉模糊集，提出直觉模糊聚类算 法 (intuitionistic fuzzy c-means, IFCM)，该算法不仅 考虑了样本聚类的模糊隶属度，而且考虑了其隶 属度的不确定性，使分类隶属度尽可能最大化并 达到改善聚类性能的目的。但是，无原则地增大 样本分类隶属度会导致样本误分的概率偏大，不 利于光照不均匀、噪声干扰等复杂图像分割的需 要。文献 [6] 将图形模糊集引入传统模糊 C-均值 聚类，对聚类过程中的图形模糊隶属度、中立度 和拒分度进行规范约束，并得到一种称为图形模 糊聚类算法 (fuzzy clustering method on picture fuzzy sets, PFCM)[6] ，该聚类中的拒分度计算仅利 用隶属度和中立度经 Yager 补算子获得，导致交 替迭代所获得的隶属度、中立度和聚类中心出现 负值，使聚类算法失效。Thong 等 [7] 提出了另一 种新的图形模糊聚类算法 (fuzzy clustering of picture fuzzy sets, FC-PFS)，该聚类性能相比现有 FCM 算法有一定程度提升。 图形模糊聚类被广泛应用于医学影像和气象 云图的分割[8-9] ，但该聚类仅结合当前像素的的灰 度信息，并未考虑当前像素的邻域像素空间信息 和灰度信息对聚类的影响，导致该种算法对噪声 的抑制能力较差。为此，文献 [10] 将文献 [7] 中 的中立度和拒分度相结合，构造正则项幂积型表 达式，并引入像素邻域灰度信息，提出一种具有 鲁棒性的改进图形模糊聚类分割算法 (PFCM with spatial constraints, PFCM_S1)，同理，可将此思想引 入文献 [7]，获得一种改进图形模糊聚类算法 (FCPFS with spatial constraints, FC-PFS_S1)，该算法采 用欧氏距离构造聚类目标函数，将样本空间中相 近的样本聚在一起，易于陷入局部极小值点且对 初始化值较为敏感，主要适合于类样本数相差不 悬殊的团状凸数据集，而对于那些非凸数据的聚 类，其聚类性能存在显著下降[11]。而核模糊 C-均 值 (kernel-based fuzzy c-means clustering method, KFCM) 聚类算法[12] ，能有效解决非凸数据聚类问 题，它将样本数据通过非线性映射至高维特征空 间并改善样本的可分性，从而达到改善聚类性能 的目的。但是核函数的引入将增加算法时间复杂 度，不利于实时性要求较高场合图像分割的需 要。为此，Cai 等 [13-14] 提出了空间信息约束的快 速 FCM 分割算法 (fast generalized FCM, FGFCM)， 该算法利用原始图像的每个像素邻域窗内的灰度 和空间位置信息构造新的线性加权图像，然后在 该图像的灰度直方图上进行图像聚类，减少运行 时间，并且提高了抑制噪声能力，但无法改善该 类分割算法的分割性能，不利于诸如医学和遥感 等复杂场合的图像分割需要。 为了提高鲁棒图形模糊聚类分割法的分割性 能和噪声抑制能力，并能降低大幅面遥感或医学 等影像分割的时间开销，本文将 PFCM_S1 算法推 广至核空间并与 FGFCM 分割算法相结合，提出 一种改进的鲁棒核空间图形模糊聚类分割算法， 并将像素与其邻域像素紧密关联的二维直方图引 入新的鲁棒分割算法中，获得一种快速鲁棒核空 间图形模糊聚类分割算法。测试结果表明，本文 提出的算法能有效地提高大幅面图像分割速度； 同时，相比现有的图形模糊聚类分割法能有更强 的分割性能。 1 鲁棒图形模糊聚类 针对现有 PFCM 算法中的拒分度存在负值问 题，导致隶属度、中立度和聚类中心出现非法值， 且缺乏鲁棒抗噪性。文献 [10] 利用文献 [7] 有关 中立度和拒分度的正则化思想并引入像素邻域均 值信息，构造一种 PFCM_S1 算法，其最优化模型为 min J(U,V,η,ξ)= ∑n i=1 ∑c k=1 ( ui,k 1−ηi,k−ξi,k ) m [(xi−vk) 2+ α( ¯xi −vk) 2 ]+ ∑n i=1 ∑c k=1 (ξi,kη 2 i,k+ξ 2 i,kηi,k) (1) s.t. 0 ⩽ ui,k ηi,k ξi,k ⩽ 1,0 ⩽ ui,k +ηi,k +ξi,k ⩽ 1 i = 1,2, ··· ,n, k = 1,2,··· , c 1) 、 、 , ； ∑c k=1 ui,k 1−ηi,k −ξi,k = 1,i = 1,2,··· ,n; 2) ∑c k=1 (ηi,k + 1 c 3) ξi,k) = 1,i = 1,2,··· ,n。 n c ui,k ηi,k ξi,k i xi k xi i x¯i xi vk k (xi −vk) 2 xi vk ( ¯xi −vk) 2 x¯i vk m m = 2 α 式中： 表示聚类样本数； 表示聚类数； 、 和 分别表示第 个样本 属于第 类的隶属度、中立 度和拒分度； 代表第 个样本，其中 表示当前样 本 所对应的邻域窗内样本的均值； 代表第 类 的聚类中心， 为样本 与聚类中心 之间的 欧氏距离平方， 表示均值 和 之间的欧氏 距离平方； 是模糊指数，常取 ； 是描述像素 邻域信息对当前像素聚类分割的影响参数。 2 鲁棒图形模糊聚类算法的改进 2.1 核空间鲁棒图形模糊聚类 针对最优化模型式 (1)，它所对应的迭代聚类 算法主要适合呈团状数据分析。为了增强该聚类 第 4 期 吴其平，等：一种快速鲁棒核空间图形模糊聚类分割算法 ·805·
·806· 智能系统学报 第14卷 模型对不同形状数据聚类的适应性，将数据样本 虽然最优化式(7)对噪声具有一定的抑制能 通过非线性函数()映射至高维希尔伯特再生核 力，但难以满足医学、遥感等复杂场合影像分割 空间，它与核函数之间具有内积关系K(x,)= 的需要。为此，将最优化模型式(2)和式(7)相结 <(x),y)>,通过改变样本之间的空间分布结 合，构造一种更强噪声抑制能力的鲁棒核空间图 构，促使模糊聚类性能得到改善，相应的核空间 形模糊聚类分割算法，最优化模型表示为： 鲁棒图形模糊聚类(kernel-based PFCM_Sl, min J(U,V.n)= li.k PKFCM S1)最优化模型为： 1--专 [d(g,)+ Mik min J(U,V,n)= -）[d(,w)+ ada(gi,v+ 〉，（传i+异n) 1= (2) (8) dwl+∑∑ 传i+员n) 式中：：是当前样本x所对应的邻域窗内所有 =1= g,(r∈N)经均值估计所得。 式中：该模型约束条件与最优化模型式(1)相同， 针对最优化模型式（⑧），核函数选取局部逼近 d(x,)=‖(x)-(yP表示(x)和()之间的平 能力的高斯核函数K.(x,y)=exp(-2.lx-y),则 方欧氏距离；(，)=川()-()表示均值() 获得类似式(3)(6)的迭代表达式，相应分割算法 和v之间的平方欧氏距离；(x)和()分别表示 虽然能改善最优化模型式(2)的抑制噪声能力， 样本x和聚类中心y在高维特征空间中的像。核函数 但二者存在的共同不足是非常耗时，不利于大幅 K(x,y)常选取高斯核函数K(x,y)=exp(-c2.Ix-y) 面的医学、遥感等影像快速分割的需要。 (σ是核函数参数)，于是有d(x,y)=2(1-K(x,y) 23快速核空间图形模糊聚类 成立，相应的优化求解式(2)所对应的隶属度、中 为了提高像素邻域信息加权图像分割法的快 立度和聚类中心迭代表达式分别为： 速性，将直方图模糊聚类11引入线性加权图像 1-k-缺 (3) 鲁棒核空间图形模糊聚类，探索一种基于二维直 d(xi v)+ad(,V) 方图的鲁棒核空间图形模糊聚类分割法。 d(x,y)+ad(民，y) 假设大小为M1×N的灰度图像G=(g)M,x,不 k=k(2nk+5)/(c(0u+2E)》 (4) 同灰度级数为L,采用3×3或5×5大小的邻域模板 A=1-(u+hu)-(1-(u+P月)1B (5) 平滑所得图像为G=(g）M,。图像G与平滑滤波 (K(,)x:+aK(,)) 图像G相同位置不同像素对所对应的二维直方图 (6) 描述如下： ( 1-k-5k (K(x,)+aK(,)》 6(g-i)6(gs -j) (9) =1=1 式中：B∈(0,1)为调节因子；σ1、2为不同高斯核函 它描述了图像G与其平滑滤波图像G相同位 数参数。 置不同灰度级的分布情况，已广泛用于解决噪声 可将模型式(2)推广至FGFCM算法中，获得 干扰图像的鲁棒分割问题6m:同时，利用它可获 种快速核图形模糊聚类分割算法(fast general-- 得大幅面图像快速分割，对实时性要求高场合的 ized kernel-based PFCM,FGPKFCM),从而使得聚 目标跟踪与识别等具有较大实用价值。 类性能远优于FGFCM分割算法。 针对灰度Lena图像，与平滑滤波图像联合获 2.2 改进核空间鲁棒图形模糊聚类 得的二维直方图如图1所示。 为了进一步提高图形模糊聚类抑制噪声能 力，将文献[13]中图像邻域像素平滑滤波信息推 108 广至图形模糊聚类，相应的最优化模型为： min J(U.V,n.5) d(g,)+ 201 200 平滑滤波 .100 图像灰度级 0501001500050 图像灰度级 (7 (a)Lena图 )二维直方图 式中g:表示当前样本x所对应的邻域窗内所有样 图1Lena图及二维直方图 本估计所得的加权图像。 Fig.1 Lena image and its two-dimensional histogram
Φ(·) K(x, y) = < Φ(x),Φ(y) > 模型对不同形状数据聚类的适应性，将数据样本 通过非线性函数 映射至高维希尔伯特再生核 空间，它与核函数之间具有内积关系 ，通过改变样本之间的空间分布结 构，促使模糊聚类性能得到改善，相应的核空间 鲁棒图形模糊聚类 (kernel-based PFCM_S1, PKFCM_S1) 最优化模型为： min J(U,V,η,ξ) = ∑n i=1 ∑c k=1 ( ui,k 1−ηi,k −ξi,k ) m [d 2 Φ (xi , vk)+ αd 2 Φ ( ¯xi , vk)]+ ∑n i=1 ∑c k=1 (ξi,kη 2 i,k +ξ 2 i,kηi,k) (2) d 2 Φ (xi , vk) = ||Φ(xi)−Φ(vk)||2 Φ(xi) Φ(vk) d 2 Φ ( ¯xi , vk) = ||Φ( ¯xi)−Φ(vk)||2 Φ( ¯xi) Φvk Φ(xi) Φ(vk) xi vk K(x, y) Kσ(x, y) = exp(−σ −2 · ||x−y||2 ) σ d 2 Φ (xi , vk) = 2(1−Kσ(xi , vk)) 式中：该模型约束条件与最优化模型式 (1) 相同， 表示 和 之间的平 方欧氏距离； 表示均值 和 之间的平方欧氏距离； 和 分别表示 样本 和聚类中心 在高维特征空间中的像。核函数 常选取高斯核函数 ( 是核函数参数)，于是有 成立，相应的优化求解式 (2) 所对应的隶属度、中 立度和聚类中心迭代表达式分别为： ui,k = 1−ηi,k −ξi,k ∑c j=1 ( d 2 Φ (xi , vk)+αd 2 Φ ( ¯xi , vk) d 2 Φ (xi , vj)+αd 2 Φ ( ¯xi , vj) ) 1 m−1 (3) ηi,k = ξi,k(2ηi,k +ξi,k)/(c(ηi,k +2ξi,k)) (4) ξi,k = 1−(ui,k +ηi,k)−(1−(ui,k +ηi,k) β ) 1/β (5) vk = ∑n i=1 ( ui,k 1−ηi,k −ξi,k )m (Kσ1 (xi , vk)xi +αKσ2 ( ¯xi , vk) ¯xi) ∑n i=1 ( ui,k 1−ηi,k −ξi,k )m (Kσ1 (xi , vk)+αKσ2 ( ¯xi , vk)) (6) 式中： β ∈ (0,1) 为调节因子；σ1、σ2为不同高斯核函 数参数。 可将模型式 (2) 推广至 FGFCM 算法中，获得 一种快速核图形模糊聚类分割算法 (fast generalized kernel-based PFCM, FGPKFCM)，从而使得聚 类性能远优于 FGFCM 分割算法。 2.2 改进核空间鲁棒图形模糊聚类 为了进一步提高图形模糊聚类抑制噪声能 力，将文献 [13] 中图像邻域像素平滑滤波信息推 广至图形模糊聚类，相应的最优化模型为： min J(U,V,η,ξ) = ∑n i=1 ∑c k=1 ( ui,k 1−ηi,k −ξi,k )m d 2 (gi , vk)+ ∑n i=1 ∑c k=1 (ξi,kη 2 i,k +ξ 2 i,kηi,k) (7) 式中 gi表示当前样本xi所对应的邻域窗内所有样 本估计所得的加权图像[13]。 虽然最优化式 (7) 对噪声具有一定的抑制能 力，但难以满足医学、遥感等复杂场合影像分割 的需要。为此，将最优化模型式 (2) 和式 (7) 相结 合，构造一种更强噪声抑制能力的鲁棒核空间图 形模糊聚类分割算法，最优化模型表示为： min J(U,V,η,ξ) = ∑n i=1 ∑c k=1 ( ui,k 1−ηi,k −ξi,k )m [d 2 Φ (gi , vk)+ αd 2 Φ ( ¯gi , vk)]+ ∑n i=1 ∑c k=1 (ξi,kη 2 i,k +ξ 2 i,kηi,k) (8) g¯i xi gr(r ∈ Ni) 式中： 是当前样本 所对应的邻域窗内所有 经均值估计所得。 Kσ(x, y) = exp(−σ −2 · ||x−y||2 ) 针对最优化模型式 (8)，核函数选取局部逼近 能力的高斯核函数 ，则 获得类似式 (3)~(6) 的迭代表达式，相应分割算法 虽然能改善最优化模型式 (2) 的抑制噪声能力， 但二者存在的共同不足是非常耗时，不利于大幅 面的医学、遥感等影像快速分割的需要。 2.3 快速核空间图形模糊聚类 为了提高像素邻域信息加权图像分割法的快 速性，将直方图模糊聚类[14-15] 引入线性加权图像 鲁棒核空间图形模糊聚类，探索一种基于二维直 方图的鲁棒核空间图形模糊聚类分割法。 M1 ×N1 G= (gxy)M1×N1 L 3×3 5×5 G ′= ( g ′ xy) M1×N1 G G ′ 假设大小为 的灰度图像 ，不 同灰度级数为 ，采用 或 大小的邻域模板 平滑所得图像为 。图像 与平滑滤波 图像 相同位置不同像素对所对应的二维直方图 描述如下： H(i, j) = ∑M1 x=1 ∑N1 y=1 δ(gxy −i)δ(g ′ xy − j) (9) G G 它描述了图像 与其平滑滤波图像 ′相同位 置不同灰度级的分布情况，已广泛用于解决噪声 干扰图像的鲁棒分割问题[16-17] ；同时，利用它可获 得大幅面图像快速分割，对实时性要求高场合的 目标跟踪与识别等具有较大实用价值。 针对灰度 Lena 图像，与平滑滤波图像联合获 得的二维直方图如图 1 所示。 (a) Lena 图 (b) 二维直方图 120 100 80 60 40 20 0 200 100 0 50100150200250 频数 图像灰度级 平滑滤波 图像灰度级 图 1 Lena 图及二维直方图 Fig. 1 Lena image and its two-dimensional histogram ·806· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
第4期 吴其平，等：一种快速鲁棒核空间图形模糊聚类分割算法 ·807· 由图1可见，该二维直方图描述了图像任意 利用上述迭代表达式可构造鲁棒核空间图形 像素与其邻域像素滤波信息的空间分布关系，利 模糊聚类分割快速算法，其详细过程描述如下： 用它可增强阈值分割或聚类分割等算法对噪声干 1)引人文献[13]思想，获取被分割原始图像 扰的抑制能力。为此，本文将其应用于鲁棒图形 G=(g)MxN,所对应的加权图像g=(g)MxM,以及对 模糊聚类分割算法，改善聚类分割算法的实时 加权图像获取局部均值滤波图像多=（⑧）MxM。 性，促使该算法在医学、遥感等领域的广泛应用。 2)利用加权图像g=(g)M,xM,和局部均值滤波 针对鲁棒核空间图形模糊聚类分割最优化模 图像g=(g)Mxw获取不同位置像素对所对应的二 型式(8)，将二维直方图引入并得到等价模型为： 维直方图Hi,),i,j=0,1,…,L-1。 w-222 3)利用二维直方图H(,》分别求出加权图像 --a 的高斯核函数参数σ和局部均值滤波图像的高斯 核函数参数2o gw)+adgw】+∑丁.传m正+ne 4)初始化聚类中心°、选取聚类数c、糊指数 1=1k= m和迭代终止误差ε，设置初始迭代次数t=0,最大 k ×[di,v)+ 迭代次数tx=1000,参数a和B依经验选取适当 值，其中B∈(0,1)。 -1L-1 ad(j.vs)】+ 5)利用式(11)、(12)和式(13)所对应的隶属 度、中立度n、拒分度迭代表达式，计算相应 (10) 灰度级聚类模糊隶属度、中立度和拒分度值。 S.t. 6)采用式(14)所对应的聚类中心y迭代表达 1)0≤k、、5认≤1,0≤k+u+k≤1,0≤i≤ 式，更新相应的聚类中心。 L-1,1≤k≤c; 21-a1u+w=10 7)若m{->s且t+1<T时，执行迭 2) 代次数增加t=t+1,转5)；否则，聚类分割算法 L-1 终止。 0<<L.1k6c 3测试结果与分析 0 式中：g=(g)M,xN是图像G=(g)M,x经式(8)利用 为了客观评价不同图形模糊聚类分割算法的 像素邻域信息加权所得的；=（⑧n)M,xN是图像g= 聚类性能，将现有的图形复合基(picture compos- (g)M,xN所对应邻域像素均值滤波图像，二维直方 ite cardinality,PCC)lI作为图形聚类性能好坏的 M Nu 图Hi,)= ∑2 6g-06gw-)。 评价指标，将其进行修改并定义为： 针对最优化模型式(10)，采用高斯核函数所 PCC=1 4u(1-7k-专k) (15) 对应的隶属度、中立度和聚类中心y,的迭代 n台a 一般而言，图形模糊聚类结果所对应的PCC 表达式为： 值越小，则相应的模糊聚类性能越好，反之亦然。 1-1k-5 (11) 将改进的峰值信噪比(peak signal to noise ra- (1-K(i,)+a(1-Ki》\ tio,PSNR)作为量化指标来评价聚类算法抗噪 (I-K.,vg》+a(1-K,jg》 =】 性能强弱，其定义为： u=5k(27k+)/c(7k+2k) (12) PSNR =10-log10(2552/MSE) (16) =1-(+)-(1-(+n1B (13) L-1L-1 式中：MSE= ∑，-KR,MSE表示均方根 ∑∑H, mn号 (K (i,vk)i+ak (r,ve)r) 误差；1表示无噪声干扰图像分割结果的像素值： K表示噪声干扰图像分割结果的像素值，m×n表 Ko (i,v&)+aK,(r,Ve)) 1--专 示图像大小。PSNR的值越大表明聚类分割算法 (14) 抗噪性能越好，对噪声抑制能力越强。另外，为 式中σ1和o,利用加权和图像G=(gMxw及邻 了定量分析不同聚类分割算法的分割效果，本文 域均值平滑图像G=(⑧)M,xw的像素均方差进行 将误分率作为不同算法分割效果好坏的定量评定 估计。 指标，其定义式为：
由图 1 可见，该二维直方图描述了图像任意 像素与其邻域像素滤波信息的空间分布关系，利 用它可增强阈值分割或聚类分割等算法对噪声干 扰的抑制能力。为此，本文将其应用于鲁棒图形 模糊聚类分割算法，改善聚类分割算法的实时 性，促使该算法在医学、遥感等领域的广泛应用。 针对鲁棒核空间图形模糊聚类分割最优化模 型式 (8)，将二维直方图引入并得到等价模型为： min J(U,V,η,ξ) = ∑M1 i=1 ∑N1 j=1 ∑c k=1 ( ugi j,k 1−ηgi j,k −ξgi j,k )m × [d 2 Φ (gi j, vk)+αd 2 Φ ( ¯gi j, vk)]+ ∑M1 i=1 ∑N1 j=1 ∑c k=1 (ξgi j,kη 2 gi j,k +ξ 2 gi j,k ηgi j,k ) = ∑L−1 i=0 ∑L−1 j=0 ∑c k=1 H(i, j) ( ui,k 1−ηi,k −ξi,k )m ×[d 2 Φ (i, vk)+ αd 2 Φ (j, vk)]+ ∑L−1 i=0 ∑L−1 j=0 ∑c k=1 H(i, j)(ξi,kη 2 i,k +ξ 2 i,kηi,k) (10) s.t. 0 ⩽ ui,k ηi,k ξi,k ⩽ 1 0 ⩽ ui,k +ηi,k +ξi,k ⩽ 1,0 ⩽ i ⩽ L−1 1 ⩽ k ⩽ c 1) 、 、 , , ； ∑c k=1 ui,k 1−ηi,k −ξi,k = 1, ∑c k=1 (ηi,k + 1 c ξi,k) = 1 0 ⩽ i ⩽ L−1 2 ) , ； 0 < ∑L−1 i=0 ui,k , ∑L−1 i=0 ηi,k , ∑L−1 i=0 3) ξi,k < L, 1 ⩽ k ⩽ c。 g = (gxy)M1×N1 G= (gxy)M1×N1 g¯ = ( ¯gxy)M1×N1 g = (gxy)M1×N1 H(i, j) = ∑M1 x=1 ∑N1 y=1 δ(gxy −i)δ( ¯gxy − j) 式中： 是图像 经式 (8) 利用 像素邻域信息加权所得的； 是图像 所对应邻域像素均值滤波图像，二维直方 图 。 ui,k ηi,k vk 针对最优化模型式 (10)，采用高斯核函数所 对应的隶属度 、中立度 和聚类中心 的迭代 表达式为： ui,k = 1−ηi,k −ξi,k ∑c q=1 ( (1−Kσ1 (i, vk))+α(1−Kσ2 (j, vk)) (1−Kσ1 (i, vq))+α(1−Kσ2 (j, vq))) 1 m−1 (11) ηi,k = ξi,k(2ηi,k +ξi,k)/c(ηi,k +2ξi,k) (12) ξi,k = 1−(ui,k +ηi,k)−(1−(ui,k +ηi,k) β ) 1/β (13) vk = ∑L−1 i=0 ∑L−1 r=0 H(i,r) ( ui,k 1−ηi,k −ξi,k )m (Kσ1 (i, vk)i+αKσ2 (r, vk)r) ∑L−1 i=1 ∑L−1 r=0 H(i,r) ( ui,k 1−ηi,k −ξi,k )m (Kσ1 (i, vk)+αKσ2 (r, vk)) (14) σ1 σ2 G= (gxy)M1×N1 G¯ = ( ¯gxy)M1×N1 式 中 和 利用加权和图像 及 邻 域均值平滑图像 的像素均方差进行 估计。 利用上述迭代表达式可构造鲁棒核空间图形 模糊聚类分割快速算法，其详细过程描述如下： G= (gxy)M1×N1 g = (gxy)M1×N1 g¯ = ( ¯gxy)M1×N1 1) 引入文献 [13] 思想，获取被分割原始图像 所对应的加权图像 ，以及对 加权图像获取局部均值滤波图像 。 g = (gxy)M1×N1 g¯ = ( ¯gxy)M1×N1 H(i, j),i, j = 0,1,··· ,L−1 2) 利用加权图像 和局部均值滤波 图像 获取不同位置像素对所对应的二 维直方图 。 H(i, j) σ1 σ2 3) 利用二维直方图 分别求出加权图像 的高斯核函数参数 和局部均值滤波图像的高斯 核函数参数 。 v (0) k c m ε t = 0 tmax = 1 000 α β β ∈ (0,1) 4) 初始化聚类中心 、选取聚类数 、糊指数 和迭代终止误差 ，设置初始迭代次数 ，最大 迭代次数 ，参数 和 依经验选取适当 值，其中 。 ui,k ηi,k ξi,k 5) 利用式 (11)、(12) 和式 (13) 所对应的隶属 度 、中立度 、拒分度 迭代表达式，计算相应 灰度级聚类模糊隶属度、中立度和拒分度值。 6) 采用式 (14) 所对应的聚类中心 vk迭代表达 式，更新相应的聚类中心。 max 1⩽k⩽c { |v (t+1) k −v (t) k | } > ε t+1 < T t = t+1 7) 若 且 时，执行迭 代次数增加 ，转 5)；否则，聚类分割算法 终止。 3 测试结果与分析 为了客观评价不同图形模糊聚类分割算法的 聚类性能，将现有的图形复合基 (picture composite cardinality，PCC)[18] 作为图形聚类性能好坏的 评价指标，将其进行修改并定义为： PCC = 1 n ∑n i=1 ∑c k=1 ui,k(1−ηi,k −ξi,k) (15) 一般而言，图形模糊聚类结果所对应的 PCC 值越小，则相应的模糊聚类性能越好，反之亦然。 将改进的峰值信噪比 (peak signal to noise ratio, PSNR)[19] 作为量化指标来评价聚类算法抗噪 性能强弱，其定义为： PSNR = 10 ·log10(2552 /MSE) (16) MSE = 1 mn ∑m i=1 ∑n j=1 ||Ii j −Ki j||2 MSE Ii j Ki j m×n 式中： ， 表示均方根 误差； 表示无噪声干扰图像分割结果的像素值； 表示噪声干扰图像分割结果的像素值， 表 示图像大小。PSNR 的值越大表明聚类分割算法 抗噪性能越好，对噪声抑制能力越强。另外，为 了定量分析不同聚类分割算法的分割效果，本文 将误分率作为不同算法分割效果好坏的定量评定 指标，其定义式为： 第 4 期 吴其平，等：一种快速鲁棒核空间图形模糊聚类分割算法 ·807·
·808· 智能系统学报 第14卷 M=-24na[2} 同算法收敛的时间开销，以便客观评价各算法执 100% (17) 行效率。 式中：A表示分割算法所得图像中属于第类的像 素点数；B,表示无噪声理想分割图像中属于第类 的像素点数；c表示图像分割总类别数。ME值越 小表示分割结果与理想分割结果越相近，聚类分 割算法结果越好；反之，聚类分割算法越差。 (a)合成图 b)CT图 (c)遥感图 为了比较FC-PFS、PFCM、FC-PFS S1、PFCM S1、PKFCM S1、FGPKFCM算法及本文算法的分 图2标准灰度图像 Fig.2 Standard grayscale images 割性能、噪声抑制能力、时间开销等差异性，文中 选取大小为660×660的人工合成图、512×510的医 3.1 高斯噪声干扰图像测试与分析 学CT图和972×804的机场遥感图，如图2所示， 对图2中3幅标准灰度图像，分别添加均值 对其添加不同强度的高斯和椒盐噪声，采用FC 为0且均方差为98、98和57（归一化方差分别为 PFS、PFCM、FC-PFS_S1、PFCM_S1、PKFCM S1、 0.15、0.15、0.05)的高斯噪声，采用FC-PFS、PFCM FGPKFCM算法及本文算法对其分割测试，采用 FC-PFS_SI、PFCM_S1、PKFCM SI、FGPKFCM及本 改进的图形复合基、峰值信噪比值和误分率定量 文算法对其分割测试，所得结果如图3所示，以及各 评价不同算法的抗噪性能和分割性能，并统计不 算法聚类性能的图形复合基评价数值，如表1所示。 (a)加噪图 (b)FC-PFS (C)PFCM(dFC-PFSS1(e)PFCM S1(f)PKFCM S1(g)FGPKFCM(h)本文算法 图3高斯噪声干扰图像及分割结果 Fig.3 Images interfered by Gaussion noise and their segmentation results 表1不同算法抑制高斯噪声所对应的图形复合基 Table 1 Picture composite cardinality of different algorithms to suppress Gaussion noise 图像 指标 FC-PFS PFCM FC-PFS S1 PFCM SI PKFCM SI FGPKFCM 本文算法 合成图 PCC 0.3001 0.6308 0.2944 0.5114 0.4421 0.3821 0.0708 CT图 PCC 0.2475 0.5547 0.2479 0.5174 0.5240 0.5156 0.1254 遥感图 PCC 0.2542 0.5282 0.2393 0.4414 0.4233 0.4583 0.0321 从表1的测试结果可知，本文算法的PCC值 图形模糊聚类算法FC-PFSS1、PFCM S1、 最小，说明本文算法的聚类性能更为优越。另外， PKFCM S1及本文算法相比未嵌入邻域像素灰度 从图3的分割结果可知，FC-PFS和PFCM算法所 信息的FC-PFS、PFCM聚类算法具有更强的鲁棒 得分割结果被噪声污染较严重，存在明显噪声颗 分割能力；同时，相比其他6种算法，文中提出的算 粒，而其他5种算法比FC-PFS和PFCM抗高斯噪 法所得结果边缘更为清晰且颗粒噪声点明显减少。 声能力显著增强，其中，嵌入邻域像素灰度信息的 为客观定量评价各算法抗噪声性能强弱，表2
ME = 1− ∑c i=1 Ai ∩ Bi · ∑c j=1 Bj −1 ×100% (17) Ai i Bi i c 式中： 表示分割算法所得图像中属于第 类的像 素点数； 表示无噪声理想分割图像中属于第 类 的像素点数； 表示图像分割总类别数。ME 值越 小表示分割结果与理想分割结果越相近，聚类分 割算法结果越好；反之，聚类分割算法越差。 660×660 512×510 972×804 为了比较 FC-PFS、PFCM、FC-PFS_S1、PFCM_ S1、PKFCM_S1、FGPKFCM 算法及本文算法的分 割性能、噪声抑制能力、时间开销等差异性，文中 选取大小为 的人工合成图、 的医 学 CT 图和 的机场遥感图，如图 2 所示， 对其添加不同强度的高斯和椒盐噪声，采用 FCPFS、PFCM、FC-PFS_S1、PFCM_S1、PKFCM_S1、 FGPKFCM 算法及本文算法对其分割测试，采用 改进的图形复合基、峰值信噪比值和误分率定量 评价不同算法的抗噪性能和分割性能，并统计不 同算法收敛的时间开销，以便客观评价各算法执 行效率。 (a) 合成图 (b) CT 图 (c) 遥感图 图 2 标准灰度图像 Fig. 2 Standard grayscale images 3.1 高斯噪声干扰图像测试与分析 对图 2 中 3 幅标准灰度图像，分别添加均值 为 0 且均方差为 98、98 和 57(归一化方差分别为 0.15、0.15、0.05) 的高斯噪声，采用 FC-PFS、PFCM、 FC-PFS_S1、PFCM_S1、PKFCM_S1、FGPKFCM 及本 文算法对其分割测试，所得结果如图 3 所示，以及各 算法聚类性能的图形复合基评价数值，如表 1 所示。 (a) 加噪图 (b) FC-PFS (c) PFCM (d) FC-PFS_S1 (e) PFCM_S1 (f) PKFCM_S1 (g) FGPKFCM (h) 本文算法 图 3 高斯噪声干扰图像及分割结果 Fig. 3 Images interfered by Gaussion noise and their segmentation results 表 1 不同算法抑制高斯噪声所对应的图形复合基 Table 1 Picture composite cardinality of different algorithms to suppress Gaussion noise 图像 指标 FC-PFS PFCM FC-PFS_S1 PFCM_S1 PKFCM_S1 FGPKFCM 本文算法 合成图 PCC 0.300 1 0.630 8 0.294 4 0.511 4 0.442 1 0.382 1 0.070 8 CT图 PCC 0.247 5 0.554 7 0.247 9 0.517 4 0.524 0 0.515 6 0.125 4 遥感图 PCC 0.254 2 0.528 2 0.239 3 0.441 4 0.423 3 0.458 3 0.032 1 从表 1 的测试结果可知，本文算法的 PCC 值 最小，说明本文算法的聚类性能更为优越。另外， 从图 3 的分割结果可知，FC-PFS 和 PFCM 算法所 得分割结果被噪声污染较严重，存在明显噪声颗 粒，而其他 5 种算法比 FC-PFS 和 PFCM 抗高斯噪 声能力显著增强，其中，嵌入邻域像素灰度信息的 图形模糊聚类算 法 FC-PFS_S1、 PFCM_S1、 PKFCM_S1 及本文算法相比未嵌入邻域像素灰度 信息的 FC-PFS、PFCM 聚类算法具有更强的鲁棒 分割能力；同时，相比其他 6 种算法，文中提出的算 法所得结果边缘更为清晰且颗粒噪声点明显减少。 为客观定量评价各算法抗噪声性能强弱，表 2 ·808· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷