上积分5.1.35.1.45.1.5Darboux和充要条件中值定理Newton-Leibniz公式对于任意的正数存在一个正数使得当分割T满足IT<时，有nEI-<f(E:)A:<I+22i=1对一切点siE[αci-1,ail，i=1，·，n成立，因而分别对每一个小区间中取上（下）确界，有EWI-E<I-≤S(T)≤S(T)≤I+<I+E122即上和与下和的极限相等几何意义：Darboux上和与下和的差就是那些正好覆盖函数图像的一些小矩形的面积之和（如第3页的图），随着分割的加密，它趋于零时（即，函数图像的面积为零）函数就是可积的返回全屏关闭退出11/38
5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿^ ¥½n Newton-Leibniz úª éu?¿ê ε, 3ê δ, ¦© T ÷v kT k < δ , k I − ε 2 < X n i=1 f(ξi)∆i < I + ε 2 é: ξi ∈ [xi−1, xi ], i = 1, · · · , n ¤á, Ï ©Oéz«m¥ þ(e)(., k I − ε < I − ε 2 6 S(T ) 6 S(T ) 6 I + ε 2 < I + ε =þÚeÚ4 . AÛ¿Â: Darboux þÚeÚ Ò´@ ÐCX¼êã Ý/¡ÈÚ (X1 3 ã), X©\, §ªu" (=, ¼ êã¡È") ¼êÒ´È. 11/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
上积分充要条件中值定理5.1.35.1.45.1.5Darboux和Newton-Leibniz公式定理 6 若函数 f(α)在区间[a,b] 上单调,则 f(α)在[a,bl 上可积证明不妨设f(α)单调递增.对于[a,b] 的任意分割T,有n70≤w;Aai=(M; -mi)Aaii=1i=1nn(f(ai) - f(ai-1)Aai ≤ IIT (f(ri) - f(ai-1)1i=1i=1= ITll(f(b) - f(a)这里注意到单调递增函数在区间[ai-1,ail上的振幅就是函数在两个端点函数值的差，所以n>limwici = 0.ITI→0i=1返回全屏关闭退出I12/38
5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿^ ¥½n Newton-Leibniz úª ½n 6 e¼ê f(x) 3«m [a, b] þüN, K f(x) 3 [a, b] þÈ. y² Ø f(x) üN4O. éu [a, b] ?¿© T , k 0 6 X n i=1 ωi∆xi = X n i=1 (Mi − mi)∆xi = X n i=1 (f(xi) − f(xi−1))∆xi 6 kT k X n i=1 (f(xi) − f(xi−1)) = kT k(f(b) − f(a)). ùp5¿üN4O¼ê3«m [xi−1, xi ] þÌÒ´¼ê3üà:¼ ê , ¤± lim kT k→0 X n i=1 ωi∆xi = 0. 12/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Darboux和上积分充要条件中值定理5.1.35.1.45.1.5Newton-Leibniz公式定理7若函数f(α)在区间[a,b]上连续,则f(α)在[a,b]上可积证明因为闭区间上连续函数一定是一致连续的，所以对任意给定的正数 ε,存在一个正数,使得当任意两点 α,α'E[a,b] 满足[α一α'l< 时,有E[f(α) - f(α')/ <b-a对于[a,b] 的一个分割T:a=Co<ai<..·<n=b因连续函数在闭区间上一定能够取到上（下）确界，可设M; = f(si), mi= f(ti), Si, ti E [ci-i,ail, i= l,..·,n返回全屏关闭退出I413/38
5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿^ ¥½n Newton-Leibniz úª ½n 7 e¼ê f(x) 3«m [a, b] þëY, K f(x) 3 [a, b] þÈ. y² Ï4«mþëY¼ê½´ëY, ¤±é?¿½ ê ε, 3ê δ, ¦?¿ü: x, x0 ∈ [a, b] ÷v |x − x 0 | < δ , k |f(x) − f(x 0 )| < ε b − a . éu [a, b] © T : a = x0 < x1 < · · · < xn = b ÏëY¼ê34«mþ½U þ£e¤(., Mi = f(si), mi = f(ti), si, ti ∈ [xi−1, xi ], i = 1, · · · , n 13/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ