上积分5.1.35.1.45.1.5Darboux和充要条件中值定理Newton-Leibniz公式定理2对于区间[a.b]的任意两个分割T和T.将两个分割的分割点合起来形成一个新的分割T，则T既是对T的加密，也是对T的加密，因此有S(T)≤ S(T) ≤ S(T) ≤ S(T2)这说明一个分割对应的下和，总是不超过另一个分割对应的上和我们现在观察Darboux上和与下和当IT→0时的极限.因为上和与下和都是有界的，而且具有某种单调性（定理1）：类比于“单调有界数列有极限，而且极限就是数列的上确界或下确界”的事实，所以对于函数f（），我们考虑所有上和（下和）组成的集合的下确界（上确界），记I = sup S(T), I= inf S(T)T分别称为函数f（）的下积分和上积分.作为定理2的直接推论，对于任意两个分割，有不等式S(T)≤IIS(T2)返回全屏关闭退出二-6/38
5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿^ ¥½n Newton-Leibniz úª ½n 2 éu«m [a, b] ?¿ü© T1 Ú T2, òü©©:Ü å5/¤#© T , K T Q´é T1 \, ´é T2 \, Ïd k S(T1) 6 S(T ) 6 S(T ) 6 S(T2). ù`²©éAeÚ, o´ØL,©éAþÚ. ·y3* Darboux þÚeÚ kT k → 0 4. ÏþÚ eÚÑ´k., äk,«üN5£½n 1¤, a'u/üNk.êk 4, 4Ò´êþ(.½e(.0¯¢, ¤±éu¼ê f(x), · ĤkþÚ£eÚ¤|¤8Üe(.£þ(.¤, P I = sup T S(T ), I = inf T S(T ) ©O¡¼ê f(x) eÈ©ÚþÈ©. ½n 2 íØ, éu?¿ü ©, kØ ª S(T1) 6 I 6 I 6 S(T2) 6/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
5.1.5Darboux和上积分充要条件中值定理5.1.35.1.4Newton-Leibniz公式定理3对于任意一个有界函数f（α），有lim S(T) = I, lim S(T) = I.ITI-→0IT→0证明我们只证明第二个公式，第一个公式的证明是类似的，根据上确界的定义，对于任意给定的正数e，存在区间[a,b]的一个分割To:a=Co<Ci<...<Ci=b使得E< S(To)≤ I.2取E8=0,>2lw+1对于任意分割T，只要T<时，将T和T的分割点合起来组成一个新的分割T这时T是在T的分割点基础上，至多增加了T的I个分割返回全屏关闭退出7/38
5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿^ ¥½n Newton-Leibniz úª ½n 3 éu?¿k.¼ê f(x), k lim kT k→0 S(T ) = I, lim kT k→0 S(T ) = I. y² ·y²1úª, 1úªy²´aq. âþ( .½Â, éu?¿½ê ε, 3«m [a, b] © T0 : a = x0 < x1 < · · · < xl = b ¦ I − ε 2 < S(T0) 6 I. δ = ε 2lω + 1 > 0, éu?¿© T , kT k < δ , ò T Ú T0 ©:Üå5|¤ #© T 0 , ù T 0 ´3 T ©:Ä:þ, õO\ T0 l © 7/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
5.1.5上积分充要条件中值定理5.1.35.1.4Darboux和Newton-Leibniz公式点（“至多”的含义是有可能分割点有重复），因此，由定理1可知S(T) ≥ S(T) -lwTIl ≥ S(T) -lw|TlEEw>I>I-E22lw +1注意到显然有S(T) ≤ I,所以S(T)-II≤.这就证明了lim S(T) = I.ITI-→0返回全屏关闭退出I8/38
5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿^ ¥½n Newton-Leibniz úª :£/õ0¹Â´kU©:kE¤. Ïd, d½n 1 , S(T ) > S(T 0 ) − lωkT k > S(T0) − lωkT k > I − ε 2 − lω ε 2lω + 1 > I − ε 5¿w,k S(T ) 6 I, ¤± |S(T ) − I| 6 ε. ùÒy² lim kT k→0 S(T ) = I. 8/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
5.1.5Darboux和上积分充要条件中值定理5.1.35.1.4Newton-Leibniz公式定理4有界函数f(a）的Darboux上和与下和的极限相等，等价于nlimWidri= 0ITI-→0i-1这个结果的证明是简单的，只要注意到于任意分割TZw;Ae; = S(T) - S(T)i=1即可,返回全屏关闭退出I4-9/38
5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿^ ¥½n Newton-Leibniz úª ½n 4 k.¼ê f(x) Darboux þÚeÚ4 , du lim kT k→0 X n i=1 ωi∆xi = 0 ù(Jy²´{ü, 5¿u?¿© T , X n i=1 ωi∆xi = S(T ) − S(T ) =. 9/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
5.1.35.1.5Darboux和上积分充要条件中值定理5.1.4Newton-Leibniz公式定理5设函数f(α)在区间[a,b] 上有界,则函数f(α)在区间[a,b]上可积的充分必要条件是它的Darboux上和与下和的极限相等，或者说nlim wiAci = 0IT-→0i=1其中,w= M;一mi是函数 f(α)在区间[ci-1,cil,(i= 1,··n)上的振幅证明对于一个有界函数f(α），当ⅡT→0时，虽然并不知道它的任意Riemann 和 S(T)是否有极限，但它的 Darboux上和 S(T)与下和 S(T)的极限是存在的，由关于三种和的不等式S(T)≤ S(T)≤S(T)立刻可知，如果Darboux上和与下和的极限相等，则任意的Riemann和有相同的极限，即，f（α）可积反之，如果函数f(a）可积，即它的Riemann和有极限，即存在一个数I，关闭退出返回全屏10/38
5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿^ ¥½n Newton-Leibniz úª ½n 5 ¼ê f(x) 3«m [a, b] þk., K¼ê f(x) 3«m [a, b] þ È¿©7^´§ Darboux þÚeÚ4 , ½ö` lim kT k→0 X n i=1 ωi∆xi = 0 Ù¥, ωi = Mi − mi ´¼ê f(x) 3«m [xi−1, xi ], (i = 1, · · · n) þÌ. y² éuk.¼ê f(x), kT k → 0 , ,¿Ø§?¿ Riemann Ú S(T ) ´Äk4, § Darboux þÚ S(T ) eÚ S(T ) 4´3. d'un«ÚØ ª S(T ) 6 S(T ) 6 S(T ) á, XJ Darboux þÚeÚ4 , K?¿ Riemann Úk Ó4, =, f(x) È. , XJ¼ê f(x) È, =§ Riemann Úk4, =3ê I, 10/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ