其中提早种遇霜冻的概率为0.4,不提早种遇霜冻的概率为0.2 表1中的后果构成一矩阵,称为后果矩阵或益损矩阵,一般地,后果阵可表示为A=(an)mm 决策类型主要分以下三种 (ⅱ)确定型。只有一种自然状态,这种决策看起来似乎很简单,但若可供选择的方案很多,例 如有n个产地,m个销地的运输问题,当m和n较大时,要决定出一个运费最小的方案也并非易事 (ⅱ)风险型(统计型)有两种以上自然状态,并知该状态出现的概率 (ⅲi)不确定型,自然状态发生的概率未知。 我们下边主要介绍风险型决策方法,即当自然状态出现的概率已知时的决策问题。 首先须对“概率”进一步加以认识。以往,我们认为随机事件的概率是事件的客观属性,它具 有频率解释:在相同条件下大量重复的独立试验中事件发生的次数与总试验次数之比,称之为客观 概率,但对许多不确定事件,大量重复试验是不可行的。比如关于花费上亿元经费发射一枚导弹的 某项决策问题,就不能依赖反复试验来取得必要的数据。对于这种一次性的、不确定事件也应根据 所掌握的资料,对它们出现的可能性给出定量描述。这就产生了所谓主观概率。一个事件的主观概 率是人关于该事件出现的可能性在现有认识水平上给予的主观信任程度的一种度量,它不是以重复 试验为基础来作出判断,而是根据一种可以接受的数据(包括没有数据)和逻辑分析来作判断的 而且一个事件的主观概率随着事件信息增加而改变,因为信息增加将会减少不确定性,如在例1中, 若有中、长天气预报,则当年霜冻的可能性就会有较好的估计。 主观概率除了获得的方法不同外,其余与客观概率无异。下面介绍一种评定主观概率的方法 讯问法。 把事件E和它的补事件E-(即EUE=I,E∩E=Φ)进行比较。问决策者E与E-哪个更 可能发生?若回答是E,即PE)≥k,则把[%2等分成两段,分点为,再问决策者 P(E)≥4,与P(E)≥4,宁可接受哪个?若回答是后者,即均sPs·照此下去,直到 决策者对P(E)≥P与P(E-)≥1-P不加区别为止,就取P为E的主观概率 、最大可能法。在风险型决策问题中选择一个概率最大的自然状态进行决策,其它自然状态 可以不管,这就变成了确定型决策问题,称之为最大可能法。按此法分析例1,应选不提早种, 上述决策方法应用很广,但要注意,在一组状态中其中某一个状态出现的概率比其它的特别大, 而它们相应的益损值差别不很大,这种方法的效果是较好的。如果在一组状态中,它们发生的概率 都很小,且互相很接近,再要采用这种决策方法,效果是不好的,有时会引起严重错误。 期望值法。这里所说的期望值即概率论中的数学期望(E(X)=∑PX),若d∈D, E(d4)=∑qP,=12…m 即等于该行动对应的益损值与取此益损值(即相应自然状态出现的)概率乘积之和。对例 E(d1)=45×0.6+10×04=31 E(d2)=30×0.8+20×0.2=28 期望值法就是采取期望值最大(或最小)的行动方案,据此,例1应选早种 上述分析过程可用图表示如下
20 其中提早种遇霜冻的概率为 0.4，不提早种遇霜冻的概率为 0.2。 表 1 中的后果构成一矩阵，称为后果矩阵或益损矩阵，一般地，后果阵可表示为 ( ) A a = ij m n 。 决策类型主要分以下三种： （i）确定型。只有一种自然状态，这种决策看起来似乎很简单，但若可供选择的方案很多，例 如有 n 个产地，m 个销地的运输问题，当 m 和 n 较大时，要决定出一个运费最小的方案也并非易事。 （ii）风险型（统计型）有两种以上自然状态，并知该状态出现的概率。 （iii）不确定型，自然状态发生的概率未知。 我们下边主要介绍风险型决策方法，即当自然状态出现的概率已知时的决策问题。 首先须对“概率”进一步加以认识。以往，我们认为随机事件的概率是事件的客观属性，它具 有频率解释：在相同条件下大量重复的独立试验中事件发生的次数与总试验次数之比，称之为客观 概率，但对许多不确定事件，大量重复试验是不可行的。比如关于花费上亿元经费发射一枚导弹的 某项决策问题，就不能依赖反复试验来取得必要的数据。对于这种一次性的、不确定事件也应根据 所掌握的资料，对它们出现的可能性给出定量描述。这就产生了所谓主观概率。一个事件的主观概 率是人关于该事件出现的可能性在现有认识水平上给予的主观信任程度的一种度量，它不是以重复 试验为基础来作出判断，而是根据一种可以接受的数据（包括没有数据）和逻辑分析来作判断的， 而且一个事件的主观概率随着事件信息增加而改变，因为信息增加将会减少不确定性，如在例 1 中， 若有中、长天气预报，则当年霜冻的可能性就会有较好的估计。 主观概率除了获得的方法不同外，其余与客观概率无异。下面介绍一种评定主观概率的方法： 讯问法。 把事件 E 和它的补事件 E －1（即 E E －1＝I，E E －1＝ ）进行比较。问决策者 E 与 E －1 哪个更 可能发生？若回答是 E，即 ( ) 1 2 P E ，则把 [ ,1] 1 2 等分成两段，分点为 3 4 ，再问决策者 3 ( ) 4 P E ，与 1 3 ( ) 4 P E− ，宁可接受哪个？若回答是后者，即 1 2 P 3 4 。照此下去，直到 决策者对 P E P ( ) 与 1 P E P ( ) 1 − − 不加区别为止，就取 P 为 E 的主观概率。 一、最大可能法。在风险型决策问题中选择一个概率最大的自然状态进行决策，其它自然状态 可以不管，这就变成了确定型决策问题，称之为最大可能法。按此法分析例 1，应选不提早种。 上述决策方法应用很广，但要注意，在一组状态中其中某一个状态出现的概率比其它的特别大， 而它们相应的益损值差别不很大，这种方法的效果是较好的。如果在一组状态中，它们发生的概率 都很小，且互相很接近，再要采用这种决策方法，效果是不好的，有时会引起严重错误。 二、期望值法。这里所说的期望值即概率论中的数学期望（ ( ) E X PX = i i ），若 d D i ， 则 1 ( ) , 1,2, , n i ij j j E d a P i m = = = 即等于该行动对应的益损值与取此益损值（即相应自然状态出现的）概率乘积之和。对例 1 有： E（d1）=45×0.6＋10×0.4＝31 E（d2）=30×0.8＋20×0.2＝28 期望值法就是采取期望值最大（或最小）的行动方案，据此，例 1 应选早种。 上述分析过程可用图表示如下：
不遇霜0.6 45(1) 提早 (0.6) 遇霜0.4 28 不遇霜0820(0.75) 不提早 (0.68) 遇霜0.2 这样构造的树状图称为决策树。它直观方便,特别适用于多级决策(包含若干个决策点)比如 发展某项新产品的决策过程如下图所示: 不发展 发展 第一个决策点(方框表示决策点)为是否发展该项产品,若决定发展,则其开发(包括研究等) 费是不确定的(如硏究费不能确切预知),必须对各种可能的开发费及出现的概率作出评定。第二个 决策点是对各开发费决定投入生产的规模(规模为0表示不投入生产),其生产费,由于原料的价格 等因素,又是不确定的。对各种生产费及出现的概率又要作出评定,最后面临的决策是决定产品的 售价。无论哪种售价,其销售量又是不确定的,对各种销量及可能岀现的概率应作出评定。不同的 可能售量决定该项产品的盈利值和亏损值。分析的步骤本质上与例1类似,应对每个决策点及其各 个可能结果作通盘考虑,从决策树最右端开始逐步往左,反向进行分析。首先对任一固定的售价, 评定各最终后果的期望值,比较各售价的期望值,选取最高者,作为该决策点的益损值,相应的行 动就是该决策点的最优决策。对每种生产费都这样进行,然后依此往左推,直到决策树的开始决策 点为止 、效用理论。我们已看到,对例1,按期望值最大的原则应选提早种的方案,但应当指出: 对同一期望值,不同决策人会有不同的反映,就是同一决策者,在不同情况下也会有不同的反映 好比一杯水,在泰山顶上与泰山脚下,对一个人的效用是不一样的。在例1中设成本为15万,若提 早种又遇霜冻,则要亏本5万,即提早种要冒亏本的风险。不同的决策者对待风险的态度会有差别, 有的人回避,有的人无所谓,还有人敢冒风险,解释这种现象的理论是效用理论 用(06,45;0.4,10)表示提早种这一方案,虽说它的期望值是31,但风险较大,决策者甲可能 认为它只能与收入25(万元)等效用,可记为25~(0.6,45;0.4,10),同理可有28~(0.8,30;0.2,20) 这样甲在决策中必然选择方案:不提早。一般地,若C~(P,a;1-P,b)(称C为(P,a,1-P,b)的确定 性当量),则可用一个所谓效用函数u(*)来反映上述事实,效用函数的构造方法如下: 先找出最好与最差的后果C(如45)和C0(如10),令(C)=1,u(C)=0,而定义效
21 1 决 策 2 3 提 早 不 提 早 (0.68) (0.6) (0.68) 28 31 不 遇 霜 0.6 遇 霜 0.4 不 遇 霜 0.8 遇 霜 0.2 45（ 1） 10（ 0） 30（ 0.75） 20（ 0.4） 这样构造的树状图称为决策树。它直观方便，特别适用于多级决策（包含若干个决策点）比如 发展某项新产品的决策过程如下图所示： 1 不 发 展 发 展 开 发 费 生 产 规 模 不 生 产 生 产 费 售 价 销 量 盈 亏 第一个决策点（方框表示决策点）为是否发展该项产品，若决定发展，则其开发（包括研究等） 费是不确定的（如研究费不能确切预知），必须对各种可能的开发费及出现的概率作出评定。第二个 决策点是对各开发费决定投入生产的规模（规模为 0 表示不投入生产），其生产费，由于原料的价格 等因素，又是不确定的。对各种生产费及出现的概率又要作出评定，最后面临的决策是决定产品的 售价。无论哪种售价，其销售量又是不确定的，对各种销量及可能出现的概率应作出评定。不同的 可能售量决定该项产品的盈利值和亏损值。分析的步骤本质上与例 1 类似，应对每个决策点及其各 个可能结果作通盘考虑，从决策树最右端开始逐步往左，反向进行分析。首先对任一固定的售价， 评定各最终后果的期望值，比较各售价的期望值，选取最高者，作为该决策点的益损值，相应的行 动就是该决策点的最优决策。对每种生产费都这样进行，然后依此往左推，直到决策树的开始决策 点为止。 三、效用理论。我们已看到，对例 1，按期望值最大的原则应选提早种的方案，但应当指出： 对同一期望值，不同决策人会有不同的反映，就是同一决策者，在不同情况下也会有不同的反映。 好比一杯水，在泰山顶上与泰山脚下，对一个人的效用是不一样的。在例 1 中设成本为 15 万，若提 早种又遇霜冻，则要亏本 5 万，即提早种要冒亏本的风险。不同的决策者对待风险的态度会有差别， 有的人回避，有的人无所谓，还有人敢冒风险，解释这种现象的理论是效用理论。 用 (0.6,45;0.4,10) 表示提早种这一方案，虽说它的期望值是 31，但风险较大，决策者甲可能 认为它只能与收入 25（万元）等效用，可记为 25～（0.6,45;0.4,10），同理可有 28～(0.8,30;0.2,20)， 这样甲在决策中必然选择方案：不提早。一般地，若 C～(P,a;1-P,b)（称 C 为 ( , ;1 , ) P a P b − 的确定 性当量），则可用一个所谓效用函数 u(*)来反映上述事实，效用函数的构造方法如下： 先找出最好与最差的后果 C （如 45）和 0 C （如 10），令 u C( ) 1 = ， 0 u C( ) 0 = ，而定义效